Компонентные матрицы и компонентные уравнения

Одновременно с формированием топологических матриц, используемых затем для составления уравнений баланса токов и напряжений, в программах автоматизированного анализа цепей производится формирование компонентных матриц, необходимых для составления компонентных уравнений цепи в матричной форме. В большинстве программ машинного анализа цепей с целью упрощения и унификации компонентных уравнений ветвей применяют расширенное топологическое описание цепи, при котором каждый идеализированный двухполюсный элемент выбирается в качестве отдельной ветви. Полагая для простоты, что исследуемая цепь не содержит вырожденных источников, используем один из вариантов расширенного топологического описания цепи, при котором активный двухполюсник, состоящий из идеального источника тока или напряжения и сопротивления, которое можно рассматривать как внутреннее сопротивление соответствующего источника, представляется в виде одной ветви графа.

В зависимости от того, какая из величин (ток или напряжение) выбрана в качестве независимой переменной, компонентные уравнения ветвей, содержащих идеализированные пассивные элементы, могут быть записаны в одной из двух форм: для сопротивления (1.9) или (1.10), емкости (1.13) или (1.16) и индуктивности (1.22) или (1.23). Если с целью унификации формы записи компонентных уравнений принять, что положительные направления токов и напряжений всех ветвей цепи совпадают, компонентные уравнения ветви, содержащей источник напряжения (рис. 10.2, а), можно представить в виде.

Рис. 10.2. Положительные направления токов и напряжений ветвей, содержащих источники напряжения (а) и тока (б).

а компонентные уравнения ветви с источником тока (рис. 10.2, б) — в виде.

Вводя обозначения , где s — оператор дифференцирования; s~^l — оператор интегрирования, компонентные уравнения каждой ветви при произвольном внешнем воздействии можно записать (табл. 10.1) либо в форме Z.

либо в форме У

Здесь и, i — напряжение и ток ветви; У, Z— коэффициенты, определяемые параметрами входящих в ветвь идеализиро;

Таблица 10.1

Компонентные уравнения ветвей электрических цепей.

Тип ветви.	Форма компонентного уравнения.
	Z	Y
R
С
L
е
j

Рис. 103. Схемы замещения обобщенных ветвей, соответствующих компонентным уравнениям в форме Z (а) ив форме У (б) ванных пассивных элементов; i_v, w_v, i_g, u_g — величины, характеризующие внешние воздействия на цепь и независимые начальные условия.

Уравнениям (10.22), (10.23) можно поставить в соответствие обобщенные ветви, схемы замещения которых приведены на рис. 10.3, а, б. При гармоническом внешнем воздействии компонентные уравнения ветвей сохраняют ту же структуру, но мгновенные значения токов и напряжений заменяются их комплексными изображениями, оператор s — на jсо, независимые начальные условия полагают равными нулю.

Если компонентные уравнения всех ветвей цепи представлены в одной и той же форме (Z или У), то их можно объединить в одно матричное компонентное уравнение цепи в форме Z.

либо в форме Y

где Z, Y — квадратные матрицы, называемые матрицами сопротивлений и проводимостей ветвей; i, и — векторы (матрицы-столбцы) мгновенных значений токов и напряжений ветвей; u_v, i_v, ig, Ug — задающие векторы, характеризующие внешние воздействия на цепь и независимые начальные условия.

Пример 10.2. Сформируем компонентные матрицы цепи, схема которой приведена на рис. 10.4, а. Граф, соответствующий принятому в этой главе топологическому описанию цепи, изображен на рис. 10.4, б.

Используя табл. 10.1, запишем компонентные уравнения всех ветвей в форме У:

Рис. 10.4. К примеру 10.2.

Объединяя компонентные уравнения всех ветвей в одно, получаем матричное компонентное уравнение цепи в форме Y:

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (10.25), находим компонентные матрицы:

Записывая компонентные уравнения всех ветвей той же цепи в форме Z и приводя к виду (10.24), определяем компонентные матрицы:

Таким образом, зависимости между токами и напряжениями всех ветвей электрической цепи могут быть представлены в виде одного матричного компонентного уравнения в форме (10.24) или (10.25), причем вся информация о характере ветвей и параметрах входящих в них элементов заключается в компонентных матрицах Z, u_v, i_v или Y, u_g, i_g.

Необходимо отметить, что введенные компонентные и топологические матрицы цепи относятся к так называемым разреженным матрицам, содержащим большое число нулевых элементов. Хранение таких матриц в памяти ЭВМ в виде двухмерных массивов неэкономично (значительная часть памяти будет занята хранением нулевых коэффициентов). Как правило, программы анализа цепей организуют таким образом, чтобы в памяти ЭВМ хранилась информация только о ненулевых элементах матриц. Данные о координатах и значениях ненулевых элементов компонентных и топологических матриц представляют в виде совокупности одномерных массивов, называемых списками [8, 22]. Дополнительно объем памяти ЭВМ можно сэкономить за счет того, что ненулевые элементы топологических матриц могут принять значения только +1 или -1.

Так как элементы компонентных и топологических мат риц численно равны коэффициентам компонентных (10.24) или (10.25) и топологических (10.4), (10.6) уравнений, запись в память ЭВМ элементов этих матриц можно рассматривать как занесение и память ЭВМ коэффициентов основной системы уравнений электрического равновесия цепи, а форми рование компонентных и топологических матриц равносильно, следовательно, формированию основной системы уравнений электрического равновесия цепи в матричной форме.

При использовании принятого в этой главе топологического описания основная система уравнений электрического равновесия цепи, содержащей р ветвей, включает в себя 2р уравнений. Число уравнений электрического равновесия может быть уменьшено за счет исключения из основной системы уравнений зависимых токов и напряжения с помощью методов узловых напряжений и контурных токов.