Математика Г. В. Лейбница

Г. В. Лейбниц, несомненно, является одним из выдающихся представителей традиции материального эфира. Именно ему принадлежит новая модель эфира, которой будет суждено сменить первоначальную модель Декарта. Новая модель эфира должна была описывать модификации материи, которые возникают при потенциальном бесконечном делении. Речь идет о бесконечно малых частицах, получаемых в результате этого деления. Эти частицы соответствуют частицам огня Декарта. Новый эфир теперь является не декартовским воздушным, а светоносным. Этот новый эфир более не будет абсолютно жестким, состоящим из маленьких, но все равно конечных частиц воздушного эфира Декарта. Это будет упругий эфир, состоящий из бесконечно малых частиц.

Этот светоносный эфир возник в оптике как колебание светоносной среды в волновой теории света. Для описания этого нового эфира Лейбницу понадобилась совершенно новая математика, которая должна принципиально отличаться от математики Декарта. Суть этой математики — применение аппарата бесконечных малых для описания бесконечно малых частиц материи, возникающих при потенциальном бесконечном делении. Эти бесконечно малые частицы не являются атомами (неделимыми), но являются бесконечно малыми разностями.

Для изучения движения этих бесконечно малых разностей необходимо было ввести трансцендентные кривые, которые были запрещены в математике Декарта. А для описания этих кривых одних алгебраических методов оказалось явно недостаточно, необходимо было создать совершенно новое исчисление. Это исчисление и было названо математическим анализом в форме дифференциального и интегрального исчисления. Причем это исчисление не должно повторять атомизм, ибо атомизм явно не годится для описания непрерывного эфира. Математический атомизм основывается на идеи актуальной бесконечности, в то время как представители традиции материального эфира обязаны исходить из идеи потенциальной бесконечности.

Несмотря на различия, Лейбниц продолжил дело Декарта по исследованию материального эфира. Поэтому необходимо признать несомненное влияние, которое оказали Декарт и картезианство на Лейбница. «В студенческие годы сильное впечатление произвело на Лейбница изучение натурфилософии Декарта; он заинтересовался и математикой»^[1].

Особое влияние на Лейбница оказал X. Гюйгенс, который собственно и ввел Лейбница в большую науку. Сам Гюйгенс стоял на эфирной точке зрения и с большим уважением относился к новоевропейскому родоначальнику этой позиции — Декарту. Гюйгенс осознавал слабости эфирной модели Декарта, особенно из-за критических выпадов со стороны атомистов.

Христианскую философию первоэлементов к тому времени уже никто серьезно не воспринимал. Поэтому Гюйгенс сочувственно относился к экспериментам с математическими моделями эфира, которые начал Лейбниц. Но сам он так и не встал на позиции математического анализа. «Гюйгенс, весьма расположенный к Лейбницу, более внимательно познакомился с его статьями в „Acta Eruditorum“ лишь в 1690 году по настоятельной просьбе автора, после чего пришел к выводу, что в новой символике нет необходимости, как свидетельствует его, Гюйгенса, собственный опыт. Разъяснения Лейбница, которые теперь кажутся убедительными, не произвели впечатления на стареющего ученого, привыкшего к собственным методам»^[2]. Но мнение будущих поколений математиков было иное.

Итак, для описания упругого эфира Лейбницу понадобилось описать колебания этого эфира. А для описания колебания обычные алгебраические функции не очень хорошо подходят. Поэтому надо было начать активное изучение трансцендентных функций: показательной, логарифмической и тригонометрических. Таков был достаточно скромный арсенал трансцендентных функций, которые были в активном обращении в XVII в. Причем активно работали с ними и прямые конкуренты — атомисты.

Скажем несколько слов об отличии методов Ньютона и Лейбница. По большому счету и Ныотон, и Лейбниц достигли одинаковых результатов, но шли они принципиально разными путями. Эти пути были обусловлены их метафизическими позициями. Ньютон исходил из атомистической традиции, Лейбниц следовал новому пути, предначертанному Декартом. Ныотон использовал математические модели, описывающие течение (движение) неделимых точек и линий, Лейбниц исходил из решений уравнений в стиле Диофанта, но касательные понимал как результат бесконечно малых приращений. «В своем открытии исчисления бесконечно малых Лейбниц отправлялся не от квадратуры кривых, как Ныотон, а от проблемы касательных»^[3]. Ведь именно касательные формировали тот наклон, который понадобится Лейбницу для осуществления квадратур. Но об этом подробнее будет сказано ниже.

«Если знать, так сказать, алгоритм этого исчисления, которое я называю дифференциальным, то все прочие дифференциальные уравнения смогут быть получены при помощи общего вычислительного приема, и можно будет находить максимумы и минимумы, а также касательные, нс испытывая притом необходимости в устранении дробей или иррациональностей или других сложных выражений, как это приходилось, однако, делать, пользуясь доныне обнародованными методами»^[4]. Именно проникновение в область иррационального является главной заслугой Лейбница перед традицией материального эфира.

Во время своей первой поездки в Англию в 1673 г. Лейбниц познакомился с работой Меркатора «Логарифмотехника», где давалось разложение функции у = —-— в степенной ряд с помощью деления. Лейбниц сразу ‘1-х.

«попытался применить меркаторов способ деления к разложению в ряд иррационального выражения, встречающегося при квадратуре круга»^[3]. С помощью такого деления Лейбниц сумел свести интеграл иррационального выражения к интегралу рационального. Кроме того, на этом пути он смог получить ряды для площадей секторов круга, эллипса и гиперболы. Но это было только начало длинного пути изучения иррационального.

Первая печатная работа Лейбница по дифференциальному исчислению называется «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которых не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». Это еще раз подчеркивает осознаваемую Лейбницем новизну своего метода, которая и позволяет продвинуться в область иррационального. «Проблема дифференцирования иррациональных функций решается с предельной простой в силу замечания, сделанного сразу после правила дифференцирования произведения: „заметим, что в этом исчислении обращаются сх и dx так же, как су и dy или с какой-нибудь другой неопределенной буквой или дифференциалом“»^[6].

В этой же работе Лейбниц утверждает, что его метод вполне подходит для изучения трансцендентных кривых: «Для этого нужно только всегда держаться того, что найти касательную — значит провести прямую, соединяющую две точки кривой, расстояние между которыми бесконечно мало {infinite parvn), или же провести продолженную сторону бесконечноугольного многоугольника, который для нас равнозначен кривой. А такое бесконечно малое расстояние можно всегда выразить с помощью какого-либо известного дифференциала… или же с помощью отношения к нему, т. е. с помощью некоторой известной касательной»^[7].

Так в чем же состоит суть предложенного Лейбницем нового исчисления? Попытаемся в этом разобраться. Для алгебраических кривых было достаточно методов, которые использовали Аполлоний и Диофант, т. е. это были методы, связанные с конечными величинами. Эти методы оказались бессильны в области иррационального и трансцендентного.

Здесь хорошо действовали бесконечно малые атомизма, но для последователей эфирной теории использовать атомы было нельзя. Надо было создать свой аналог бесконечно малых атомизма, но именно создать нечто, что не противоречит понятию потенциальной бесконечности. И вот Лейбниц первым в этой традиции пытается ввести потенциально бесконечно малые. Цель заключается в том, чтобы овладеть трансцендентными функциями и иррациональным для описания новой модели упругого эфира.

Но как определить эти новые бесконечно малые? Лейбниц определяет их через пропорцию с конечными величина. Итак, dy так относится к dx, как ордината у к подкасателыюй. Здесь dy и dx обозначают бесконечно малые приращения ординаты и абсциссы, в то время как величины у и подкасателыюй оказываются конечными (т.е. новое исчисление отличается от евклидовой геометрии только одним маленьким «нюансом»). В классической геометрии вполне естественно написать было пропорцию: dy и dx так относятся друг к другу, как у к х. А у Лейбница вместо х появляется подкасательная. Поэтому самым важным вопросом и оказывается построение касательной.

В отличие от Ньютона Лейбниц первоначально исходил не из рассмотрения степенных рядов, а именно из понятия касательной и характеристического треугольника Паскаля. «Мысли эти мы встречаем в его бумагах, относящихся к 1673 году. Здесь он прежде всего находит касательную к произвольной кривой при помощи так называемого характеристического треугольника, образованного разностями между абсциссами и между ординатами двух бесконечно близких точек и лежащею между этими точками дугою, т. е. величинами, которые он позже обозначает через dx, dy и ds. Треугольник этот подобен треугольнику, образуемому подкасательной, ординатой и касательной, который также иногда называется Лейбницем характер исти ч ес к и м «^[8].

Вводимые Лейбницем дифференциалы позволяют начать исследование трансцендентных функций. Они открывают область иррационального. Аполлоний в принципе не занимался областью иррационального. Диофант лишь в одной задаче упоминал, что решение оказывается иррациональным. Необходимо понять, что иррациональную точку на кривой невозможно локализовать конечной величиной. Это может сделать только такая специфическая величина, как дифференциал.

Дифференциал сам не есть величина, имеющая определенную конечную величину. Лейбниц искал различные способы понимания бесконечно малого в рамках традиции материального эфира. В первом десятилетии XVIII в. Лейбниц стал рассматривать бесконечно малые даже как особого рода нули: «Если явления (или данные) непрерывно сближаются так, что напоследок одно переходит в другое, то это же должно произойти и с соответствующими последующими или результатами (или искомыми)»^[9].

Наиболее ясный образ потенциально бесконечно малой, возникающей при потенциальном делении, создал Коши. Потенциально бесконечно малая понимается как предел исчезающих количеств. И как раз теоретические взгляды Лейбница согласуются с представлениями о бесконечно малых как о переменных, исчезающих количествах. «По существу в них содержалась целая программа построения анализа на основе понятия потенциально бесконечно малой величины. Оригинальную попытку такого рода предпринял в 1796 г. Л. Карно, но впервые это удалось в 20-е годы XIX в. О. Коши»^[10].

Получив ключ в виде отношения dy/dx, Лейбниц сразу получает признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости. Он способен с помощью своего метода определить не только экстремумы в простейших случаях, но и точки перегиба кривых. Но это все уже известные результаты. Совершенно новая область исследования открывается, когда Лейбниц вводит через два года понятие об интеграле. Он так говорит о своем методе: «У нас суммы и разности, или J и d, также взаимно обратны, как степени и корни в обыкновенном исчислении»^[11].

С помощью интеграла Лейбниц записывает уравнение циклоиды в новой интегральной форме. Исходя из этой формы он выводит все свойства циклоиды. Рассматривает он в цитируемой работе и другие примеры подобного рода. «Красной нитью в ней проходит мысль, что новые методы распространяются на бесчисленные трансцендентные величины, источником которых служат интегрирование и обратный метод касательных»^[12].

Теперь покажем очень важное отличие методов Лейбница от математических методов атомизма в вопросах квадрирования. Для атомизма квадрирование заключается в преобразование одной площади в другую, более известную. Это осуществляется за счет перекомпоновки неделимых-атомов. Совсем иначе решает эту задачу Лейбниц. Для него квадрирование — это построение квадрирующей кривой.

Такая кривая должна обладать соответствующей производной. «Общая задача квадратуры сводится к отысканию линии, обладающей определен;

% dF (лт) ным законом наклона"^[13], т. е. J f (x)dx = F (x), если ——— = /(х), при этом.

0 их

неявно предполагается, что F (0) = 0 или же что квадрируемая и квадрирующая кривые обе проходят через начало координат. То есть для Лейбница интеграл — это не площадь под кривой, а некоторая линия (кривая). Лейбниц называет ее квадратрисой — «кривой, ординаты которой у выражают соответствующие площади, связанные с первой кривой»"^[14].

Лейбниц берег кривую/(х, v) = 0 и ищет ее квадратрису F (x, у) = 0. «Прежде всего Лейбниц берет для последней кривой уравнение с неопределенными коэффициентами, члены которого он располагает в порядке возрастания степеней. Отсюда он определяет, но правилу Слюза подкасательную t и полагает затем t/y (будущее свое dy/dx, которому он здесь не дает еще особого обозначения) равным a/v. Уравнение между х и v, получаемое путем исключения у, должно тогда совпадать с уравнением /(х, v) = 0] данной кривой. Это обстоятельство позволяет определить коэффициенты уравнения квадратрисы [F (x, у) = 0] или, если это оказывается невозможным, говорит о невозможности выполнить квадратуру данной кривой алгебраически»^[14].

В случае когда алгебраическая квадратура невозможна, следует разлагать функцию в ряд. До Лейбница с такой точкой зрения на квадрирование можно было встретиться, например, у Барроу. Но только Лейбниц впервые превратил обратные задачи на касательные в систематически развитое математическое исчисление. Квадрированная таким способом площадь позволяет описать характеристики квадрируемой кривой. В первую очередь речь идет об изменении ее площади. Ведь каждая ордината квадратрисы — это значение площади исходной кривой. Как бы получается график изменения площади. Это было очень важно для исследования трансцендентных функций. А именно они и были целью Лейбница.

Благодаря интегрированию стало появляться огромное количество новых кривых, о существовании которых раньше никто и не подозревал. Лейбниц, так же и как атомисты, видел в бесконечных рядах средство для их представления. Но он понимал бесконечные ряды немного иначе, чем атомисты. Для построения бесконечного ряда Лейбниц использовал декартовский метод неопределенных коэффициентов. Так, Лейбниц писал: «Бесконечные ряды можно получить удобнее и более общим образом, если принимать искомый ряд за уже найденный, с тем чтобы коэффициенты членов определять в дальнейшем. Таким образом, всегда можно прийти к ряду, когда свойство линии дано сколь угодно сложным суммарным или дифференциальным или дифференцио-дифференциальным и т. д. уравнением. Искомое при этом в точности выражается рядом, если брать его целиком, и с любым приближением, если применять часть ряда»^[16].

Используя метод неопределенных коэффициентов, Лейбниц представил в виде рядов так нужные ему для описания упругого эфира показательную и логарифмическую функции. При этом он исходил из дифференциального уравнения dy = adx/(a + .г). Не менее важный ряд для х = asin (y/a) был получен из дифференциального уравнения a^[16]dy^[16] = a^[16]dx^[16] + x^[16]dy^[16]. «Тем самым Лейбниц впервые аналитически вывел частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, столь важного в теории колебаний»^[23].

Все это показывает, что Лейбниц пытается выводить нужные ему трансцендентные функции иначе, чем это делает атомист Ныотои. Очевидно, что Лейбниц отталкивается в первую очередь от дифференциальных и интегральных уравнений. По Лейбницу, сначала надо написать дифференциальное уравнение задачи, данной в геометрической форме. «Он указывает этим на обратные задачи на касательные, которые принимают теперь вид дифференциальных уравнений»^[24]. И только после этого с помощью дифференцирования строится либо алгебраическая квадратура, а если невозможно, то и разложение в степенной ряд. Сами степенные ряды оказываются для него уже чем-то вторичным по сравнению с составлением дифференциальных уравнений.

• [1] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 250.
• [2] Там же. С. 266.
• [3] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 127.
• [4] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений // Успехи математической науки. 1948. Т. III. Вып. I (23). С. 169.
• [5] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 127.
• [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 258.
• [7] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 170.
• [8] Цейтпеп Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 421.
• [9] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 194.
• [10] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 282.
• [11] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 173.
• [12] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 262.
• [13] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 176.
• [14] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 423.
• [15] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 423.
• [16] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [17] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [18] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [19] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [20] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [21] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [22] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. С. 177—178.
• [23] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 265.
• [24] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 435.