Истечение через большое отверстие

Большим называется отверстие, у которого вертикальный размер (а) более , т. е. , где - глубина погружения центра тяжести отверстия под свободной поверхностью.

При истечении из отверстия больших размеров в боковой стенке сосуда напор Н неодинаков во всем сечении отверстия. Для точек нижней части сечения он будет больше, а в верхней — меньше. Однако давление во всех точках вытекающей струи будет одинаковым (при истечении в атмосферу оно будет равно атмосферному давлению), что не соответствует распределению давления по гидростатическому закону. В связи с этим уравнение Бернулли здесь можно применить не ко всей струе в целом, а лишь к отдельным элементарным струйкам. Чтобы определить среднюю скорость истечения и расход жидкости, площадь поперечного сечения отверстия подразделяется на элементарные площади и для каждой из них находится элементарный расход. Полный расход определяется суммированием элементарных расходов по всему сечению.

Пусть a и b — высота и ширина бокового отверстия в тонкой стенке некоторой емкости (рис. 8.3). Разобьем площадь поперечного сечения отверстия на полоски высотой dz. Элементарный расход через такую полоску сечением bdz согласно формуле (8.1) будет.

где µ - коэффициент расхода для малого отверстия.

Рис. 8.3. Схема истечения жидкости через большое отверстие.

Принимая и считая, что скорость на свободной поверхности , получаем.

(8.2).

Обозначая через полный напор над центром тяжести отверстия, найдем и . Разлагая члены вида по формуле биномиального ряда, будем иметь (ограничимся четырьмя членами разложения).

Учитывая эти соотношения, выражение, заключенное в скобки в формуле (8.2), примет вид.

(8.3).

Второй член в скобке обычно мал по сравнению с единицей, и им можно пренебречь. Тогда формула (8.2) с учетом равенства (8.3) примет вид.

или.

(8.4).

Учитывая, что , получаем.

где? — площадь сечения отверстия.

Эта формула имеет тот же вид, что и формула для определения расхода при истечении жидкости из малого отверстия в тонкой стенке (см параграф 8.1).

Допущения, принятые при выводе формулы (8.4), корректируются уточнением коэффициента расхода р. Как показывают опыты, этот коэффициент существенно зависит от формы, размеров отверстия и напора. Так, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размера отверстия на коэффициент расхода.

Истечение через затопленное отверстие

Рассмотрим открытый сосуд, разделенный перегородкой на два отделения с разными уровнями жидкости (рис. 8.4). В перегородке имеется отверстие, через которое жидкость перетекает из одной части сосуда в другую. Требуется определить скорость истечения жидкости через отверстие и ее расход.

Рис. 8.4. Схема истечения жидкости через затопленное отверстие.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1−1 и с-с (примем для простоты ):

Учитывая, что, но формуле гидростатического давления и принимая вследствие ее малости, получим.

Отсюда.

где

Расход жидкости через отверстие определяется по формуле.

(8.5).

где - площадь струи в узком сечении.

Учитывая, что (см. параграф 8.1), где - площадь сечения отверстия, формула (8.5) запишется как.

Так как , где - коэффициент расхода, то.

Опыт показывает, что коэффициент расхода µ для затопленных и незатопленных отверстий практически одинаков.

Истечение жидкости при переменном напоре

Истечение при переменном напоре является, по сути, неустановившимся движением жидкости. Мы ограничимся лишь тем случаем, когда такое движение можно приближенно считать установившимся, т. е. пренебрежем силами инерции. Рассмотрим простейший случай опорожнения резервуара, имеющего площадь живого сечения (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Истечение жидкости при переменном напоре.

Пусть начальный напор равен и конечный . Расчет опорожнения резервуара заключается в определении времени этого процесса. Количество жидкости, вытекающее за время dt, равно.

или.

где знак «минус» взят потому, что dz отрицательно, a dV принимаем положительным.

Тогда.

Отсюда.

Интегрируя, получаем.

Время полного опорожнения получим, положив : или.

где - время истечения при постоянном напоре ; V — объем резервуара; Q — расход жидкости при напоре

Таким образом, время опорожнения сосуда при переменном напоре в 2 раза больше того времени, которое требуется для вытекания жидкости при начальном напоре , в количестве, равном первичному объему .