Свободные колебания под действием силы тяжести

Колебательные процессы, с которыми мы сталкиваемся в макромире, вызываются в основном двумя типами взаимодействий: гравитационными и электромагнитными. В общем случае на колебательную систему действуют силы — как гравитационные, так и силы, имеющие в своей основе электромагнитную природу (чаще всего это сила упругости). В каждом конкретном случае на протекание процесса существенное влияние оказывает только одна из этих сил. Поэтому различают колебания, происходящие под действием силы тяжести, и колебания, происходящие под действием силы упругости. Именно последняя мысль должна быть подчеркнута учащимся перед тем, как перейти к рассмотрению колебаний под действием силы тяжести (на примере математического маятника) и под действием силы упругости (на примере пружинного маятника).

На первых уроках, при общем ознакомлении с колебательным движением и при формировании понятия «колебательная система», мы не пользуемся понятием «маятник». Делается это неслучайно. Как показывает практика, знания учащихся о колебательном движении в большинстве случаев ассоциируются только с движением маятника в часах. Во избежание такого ограниченного представления о колебательном движении следует расширить число примеров колебательных систем при предварительном ознакомлении с колебательным движением. На данном этапе о маятнике, возможно, и не следует говорить. В пользу такого подхода к изучению вопросов говорит и тот факт, что маятники при изучении колебаний в школьном курсе физики играют особую роль: все закономерности колебательного движения в механических системах получаются на примере колебаний пружинного и математического маятников, как оригинальных примеров колебаний под действием силы упругости и силы тяжести. Поэтому изучение колебательных систем — маятников — является следующим этапом расширения представлений учащихся о колебательном движении, а именно получение количественных закономерностей протекания наиболее простых — гармонических — колебательных процессов.

Рассматривая особенности свободных колебаний в системах, в которых действуют разные по своей природе силы, мы в итоге получаем уравнение движения и на этой основе делаем необходимые выводы о колебаниях. Именно об этом говорим учащимся перед тем, как перейти к изучению колебаний под действием силы тяжести и силы упругости. На этой основе формулируется проблема исследования: будут ли различаться уравнения колебательных движений, происходящих под действием разных по физической природе сил — силы тяжести и силы упругости? Данная проблема решается в течение нескольких уроков.

Сообщив учащимся, что сначала будут изучаться колебания под действием только внутренних сил системы, т. е. свободные колебания в отсутствие трения, переходим к рассмотрению колебаний под действием силы тяжести.

Несмотря на то, что изучение физического маятника действующей программой не предусматривается, в целях осуществления дидактического принципа связи обучения с жизнью изучение колебаний под действием силы тяжести целесообразнее начать именно с рассмотрения примеров колебаний тел, подвешенных так, что центр массы их находится ниже точки подвеса, т. е. с физического маятника. При этом определение физического маятника можно не давать. Следует остановиться на том, что такая система удовлетворяет всем условиям, которые были сформулированы при определении колебательной системы.

Наблюдая колебания таких маятников (два-три примера), находящихся на демонстрационном столе, приходим к выводу, что эти колебания быстро прекращаются и установить количественные закономерности такого движения в общем случае не представляется возможным. Так учащиеся подводятся к необходимости изучения колебаний идеализированных систем — моделей реально существующих колебательных систем. Одной из таких моделей является математический маятник. Здесь же целесообразно дать его определение.

Математическим маятником называется система, состоящая из материальной точки, подвешенной на длинном невесомом и нерастяжимом подвесе.

Реально с большой степенью точности математический маятник можно заменить системой, состоящей из массивного шарика, подвешенного на практически нерастяжимой нити, длина которой во много раз превосходит размеры шарика. Впоследствии его будем называть нитяным маятником. Сообщаем учащимся, что такой системой и пользуются в обычных демонстрационных опытах при изучении колебаний математического маятника.

В большинстве случаев приведенным определением с короткими комментариями обычно и ограничиваются. Однако при таком подходе перед учащимися остается нераскрытым физический смысл идеализации, т. е. выделения модели изучаемого объекта. В своей методике обучения после формулировки определения математического маятника задаем вопрос: почему именно такую идеализацию реального физического маятника мы проводим? Что она нам дает? Сформулированный вопрос ведет к возникновению проблемной ситуации. В данном случае налицо третий тип проблемной ситуации, когда возникло противоречие между практически достигнутым результатом выполнения учебного задания и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования. Анализ ситуации позволяет сформулировать учебную проблему: какие факторы и каким образом влияют на протекание колебаний физического маятника? Иными словами, учащиеся в итоге должны раскрыть для себя физику процесса. Основную роль при этом играет демонстрационный эксперимент с использованием колебаний физического маятника. На основе эвристической беседы учитель подводит школьников к раскрытию влияния сил, под действием которых колеблется маятник, и тех причин, которые тормозят это движение. Выясняется, что колебания физического маятника происходят под действием силы тяжести. Колебания прекращаются вследствие наличия трения в подвесе и силы сопротивления окружающей среды, значение которой растет при увеличении площади соприкосновения маятника со средой. На этой основе формулируются выводы, раскрывающие смысл идеализации:

• 1) предполагается, что вся масса системы сосредоточена в точке, и это позволяет рассматривать движение не огромного числа частиц, из которых состоит любое тело, а изучать движение только точечной массы (нить невесома);
• 2) определение требует постоянства длины маятника — подвес должен быть нерастяжимым. В противном случае в разных точках траектории движения маятник имел бы разную длину, т. е. кроме рассмотренных колебаний появились бы колебания вдоль нити, вызванные растяжением последней;
• 3) поскольку колебательная система имеет малые размеры, то площадь соприкосновения ее с окружающей средой, а следовательно, и сила сопротивления движению тела, будут равны нулю. Поэтому колебания математического маятника происходят исключительно за счет внутренних сил системы «маятник — Земля».

Следовательно, заменяя изучение физического маятника его идеальной моделью, мы получаем возможность исследовать закономерности протекания процессов в зависимости от параметров самой колебательной системы.

Затем демонстрируются колебания нитяного маятника и сравниваются с колебаниями физического маятника (по длительности колебаний).

После этого переходим к выводу уравнения колебаний математического маятника под действием внутренних сил. Рассматриваем плоское движение маятника по окружности радиуса I с центром в точке О (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Математический маятник.

В общем случае положение точки m определяется углом отклонения (р радиуса I от вертикали. В проекции на касательное направление ОХ к траектории (в положении равновесия) уравнение движения маятника будет иметь вид.

где т — масса маятника.

Поскольку v = /(d (p/dt), получим.

Упрощая последнее соотношение, имеем.

Выражение (3.2) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний математического маятника.

В школьном курсе физики изучаются колебания с малыми амплитудами, так называемые малые колебания. Последние реализуются для колебаний с амплитудными значениями ф, не превышающими 5—6°, т. е. когда sin ф = ф (рад). При этом уравнение (3.2) примет вид.

При этом для малых углов можно записать соотношение ф = х/1.

Учитывая, что d²ф/dt² = (g/l)d²x/dt² = 0, получим.

Именно в таком виде в школьном курсе физики записывают уравнение малых колебаний математического маятника.

После получения уравнения (3.4) делаем вывод: малые свободные колебания, происходящие в изолированной системе под действием силы тяжести, совершаются с ускорением, пропорциональным смещению и направленным к положению равновесия.