Термоупругость пластин и пологих оболочек переменной толщины при конечных прогибах

Прогресс техники привел к широкому применению разнообразных тонкостенных конструкций, элементами которых являются пластины и оболочки, находящиеся не только под действием механических нагрузок, но и высокого температурного поля. Задачи о температурных напряжениях возникают в машиностроении, авиации, металлургии, строительстве, реакторостроении, космоплавании и других областях, где вопросы прочности, связанные с температурными воздействиями, могут иметь большое, а часто и решающее значение.

Исследования термонапряжений и устойчивости пластин и оболочек отстают, в связи со сложностью проблемы, примерно на тридцать лет от исследований НДС и устойчивости таких конструкций, подвергающихся механическим нагрузкам. Исследованию вопросов термоупругости посвящены работы таких ученых, как В. В. Болотин, А. А. Ильюшин, А. Д. Коваленко, В. Новацкий, Б. Г. Коренев, А. Синицин, В. И. Феодосьев, Э. Фридман, М. Био, Б. Гейтвуд, Э. Мелан, Г. Паркус, Т. Уилер, Н. Хофф, Д. Уэйнер, Б. Боли и другие. Решено большое количество задач о температурных напряжениях в стержневых системах, пластинках, оболочках и различного рода массивных конструкциях. Вопросами термоупругого расчета пластин и оболочек занимались у нас такие ученые как А. И. Лурье, А. Л. Гольденвейзер, В. З. Власов, Д. Ю. Панов, Э.И.Григо-люк, А. Д. Коваленко и многие другие. Абсолютное большинство работ, посвященных расчету пласти н и оболочек, работающих в условиях температурного поля, опубликованных до 1960 года, ограничиваются рассмотрением малых перемещений. Обширный библиографический материал по расчету пластин и оболочек, работающих в условиях температурного поля можно найти в следующих работах [20, 31, 74, 135, 163, 173, 17 В ].

Появление после второй мировой войны сверхзвуковых самолетов и снарядов, развитие космонавтики поставило перед конструкторами новые задачи, связанные с температурами, температурными напряжениями и свойствами материалов в этих условиях. В работе Б. Е. Гейтвуда [69] отмечается, что «.если конструкторы двигателей проделали значительную работу в этом направлении (температурных расчетов пластин и оболочек), то конструкторы корпусов летательных аппаратов делают лишь первые попытки в решении этих задач применительно к тонкостенным металлическим конструкциям». Тонкие пластинки и оболочки большого прогиба широко применяются в различных областях техники. Они являются важными конструктивными элементами самолетов и ракет, надводных кораблей и подводных лодок, всевозможных приборов и аппаратов, резервуаров, затворов платин, элементами набора обшивки вагонов и т. д. Находят они все большее применение и в строительстве [53]. Напряженно деформированное состояние таких конструкций описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений.

В работах, посвященных нелинейной теории пластин и оболочек, можно усмотреть два направления. Работы, посвященные выводу систем уравнений, получению общих принципов, разработке приближенных вариантов решений и установлению пределов применимости той или иной теории. К этому направлению относятся рабо-ты М. А. Алумяэ, В. З. Власова, А. С. Вольмира, И. И. Воровича, К.З.Га-лимова, Т. Кармана, Х. М. Муштари, В. В. Новожилова, Д. Ю. Панова, И. В. Свирского, В. И. Феодосьева, Ф. Муркгана, Ген Вей-Цанга и др. Работы второго направления посвящены решению многих прикладных задач. Сюда относятся работы А. С. Вольмира, В. Винцека, Доннела, К. З. Галимова, М. М. Казарова, Х. Л. Кокса, М. А. Колтунова, М. С. Корнишина, Х. М. Муштари, В. В. Петрова, В. И. Феодосьева и др.

В настоящее время известны основные соотношения геометрически нелинейной теории пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, решено достаточно большое количество частных задач. Вопросам вывода дифференциальных уравнений термоупругости пластин и оболочек конечного прогиба посвящены работы Ямагути [266], С. Г. Винокурова [46, 47], К. З. Галимова и Х. М. Муштари [59], В. В. Болотина [32, 33], М. С. Ганеевой [64], Л. М. Куршина [153], А. Н. Кудинова [151], С. М. Дургарьяна [85], А. П. Присакова [194] и др.

Решенные задачи по расчету гибких пластин и оболочек, находящихся в условиях температурного поля следует условно разбить на две группы. К задачам первой группы относятся осесимметричные задачи для пластин и оболочек круглого плана, а так же задачи о бесконечно длинных пластинах-полосах и задачи цилиндрического изгиба ограниченных пластин, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравненими [154, 256, 273, 84, 251, 46, 17, 76, 268, 249, 238, 104−106, 255, 270 ]. К задачам второй группы следует отнести задачи о термоупругих напряжениях в прямоугольных пластинах конечных размеров и в пологих оболочках прямоугольного плана, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Это работы В. В. Болотина [32−34], М. С. Ганеевой [65−67], А. Ю. Биркгана и Е. В. Дедика, Э.М.Ясина[250], работы В. А. Крысько и его учеников [148−150], работы коллективов авторов [19], [20], [74]. Из работ иностранных авторов здесь можно отметить следющие работы [272], [259−261, 269], [272], [262], [267], [265], [263], [264]. Во всех выше перечисленных работах решения получены либо с помощью вариационных методов, либо методом конечных разностей, при этом рассматривались, как правило задачи двойной симметрии, что позволяло вести расчет для четвертой части плана конструкции. Расчеты выполнялись либо в невысоких приближениях вариационных методов, либо методом конечных разностей при небольшом числе узлов сетки разбиения плана оболочки.

Все рассмотренные ранее работы решались в такой постановке, что физико-механические характеристики материала считались независящими от температуры. Однако, как указывется в работе [20] Н. И. Безухова и др. гораздо серьезней обычно принимаемое ограничение о независимости упругих констант материала от температуры. Как известно, во многих задачах, поставленных современной техникой, это ограничение не может быть принято. Учет же зависимости технических характеристик материала от температуры приводит, как правило, к большим математическим трудностям. Это, очевидно, является причиной весьма малого количества публикаций по этим исключительно актуальным проблемам". Дело в том, с ростом температуры изменяются прочностные и физические характеристики материалов. Так, предел пропорциональности и модуль упругости с повышением температуры уменьшаются, в небольших пределах изменяется коэффициент Пуассона, увеличивается коэффициент теплового расширения материала, изменяются характеристики участвующие в расчетах распределения температур в конструкции. В работе [74] указывается, что с точностью, достаточной для практических расчетов можно аппроксимировать модуль упругости линейной или квадратичной зависимостями температуры, а коэффициент теплового расширения материала линейной зависимостью. В некоторых источниках [20], [195] отмечается, что учет зависимости коэффициента Пуассона материала от температуры на расчет конструкции отражается незначительно. Одним из острых вопросов современности является вопрос создания новых жаропрочных материалов, имеющих достаточно высокие прочностные характеристики при повышенных температурах и не очень сильно меняющих свои физико-механические свойства в достаточно больших интервалах изменения температур. Проблема жаропрочных материалов располагает обширной библиографией [41, 43, 89, 90, 132, 195, 198, 208, 210, 217, 247], здесь же можно найти данные по зависимости модуля упругости и коэффициента теплового расширения материала от температуры для некоторых материалов.

Число работ, в которых физико-механические характеристики принимались зависящими от температуры, сравнительно мало. К таким работам можно отнести работы Н. И. Безухова и др., И. И. Гольденблатт и.

Н.А.Николаенко, БЛ. Кантора и Л. М. Афанасьевой, В. А. Миловидова, Крысько В. А. и Федорова П. Б., В. В. Карпова, В. В. Петрова и др.

Если для гладких пластин и оболочек решены многие задачи термоупругости, то для ребристых пластин и оболочек они далеки от завершения исследований, хотя большинство тонкостенных конструкций, применяемых в технике — это подкрепленные оболочечные конструкции.

Основные идеи расчета ребристых оболочек были высказаны в конце 40-х годов А. И. Лурье и В. З. Власовым, хотя впервые для пластинки подход к учету ребер был высказан еще И. Г. Бубновым. И А. И. Лурье и В. З. Власов считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. В. З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А. И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое, используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Третий подход состоял в том, что жесткость ребер «размазывалась» по всей оболочке.

В конце 60-х годов П. А. Жилин заметил, что при подходе А. И. Лурье привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии. Все задачи здесь рассматривались в линейной постановке.

Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины была разработана В. В. Карповым. В ней учитывается дискретное расположение ребер, их ширина, совместная работа ребер при их пересечении, сдвиговая и крутильная жесткость ребер и наличие в одной конструкции ребер накладок и вырезов. Идея введения ступенчато-переменной толщины конструкции использовалась механиками в 60−70 г. г. (Вайнберг, Н. П. Абовский, Л. В. Енджиевский и др.). Учет же совместности работы ребер при их пересечении впервые использовал В. В. Карпов. Он же доказал эквивалентность подходов А. И. Лурье и В. З. Власова к ребристым оболочкам и показал, что краевые условия (свободный край) на боковой поверхности ребер и краю вырезов входят в уравнения равновесия и выполняются автоматически при решении краевых задач.

За последние 60 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Это работы Н. А. Алумяэ, И. Я. Амиро, В. А. Заруцкого, Г. Д. Гавриленко, Е. С. Гребня, Э. И. Григолюка, П. А. Жилина, Б. Я. Кантора, В. В. Карпова, Б. К. Михайлова, Ю. В. Немировского, И. Н. Преображенского, В. А. Постнова и В. Г. Корнеева, В. М. Рассудова, И. Е. Милейковского и И. П. Гречанинова, О. И. Теребушко, С. А. Тимашева и других.

Хотя в последнее время и появилось большое число работ относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек ослабленных вырезами, однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию оболочек в линейной постановке. Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. В работах И. Я. Амиро и В. А. Заруцкого [11−13] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек в статической и динамической постановках. В области статики ребристых оболочек следует отметить обзор составленный Б. Я. Кантором и др. [108]. Кроме того, сюда следует добавить работы ученых Красноярского края Н. П. Абовского, Л. В. Енджиевского и др. [1, 2, 88], а так же В. В. Карпова [130], С. А. Тимашева [215] и В. И. Климанова [133].

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер — теории тонких стержней Кирхгофа-Кпебша. В большинстве работ принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн ипередают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях пренебрегается некоторыми факторами. Зачастую пренебрегается влиянием сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС конструкции, поперечными сдвигами.

В работе Н. А. Коротенко [143] в линейной постановке проводится расчет оболочек с учетом влияния ребер на кручение. Показано, что это влияние существенно.

В работах О. А. Грачева [76, 77] рассматриваются сферические оболочки в линейной постановке с учетом сдвиговых деформаций (модель типа Тимошенко). Исследовано влияние сдвиговых деформаций на критические нагрузки в зависимости от эксцентриситета ребер.

В работе В. И. Климанова и С. А. Тимашева [133] дан вывод нелинейных уравнений и условий сопряжения для гибких пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом упругих и неупругих деформаций, линейной и нелинейной ползучести материала, несовершенств формы поверхности. В детерминированной и стохастической постановках решены новые задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закритического поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными ребрами и оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер.

Решение задач для оболочек, ослабленных отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Н. И. Кривошеева и М. С. Корнишина [146]. Для решения используется МКР, поперечные сдвиги не учитываются.

Единичные функции для задания дискретности изменения толщины пластин и оболочек применяются в работах ученых красноярского края Абовского Н. П., Енджиевского JI.B. и др. Ими решаются задачи и в геометрически, и в физически нелинейной постановке. При этом расчитываются оболочки подкрепленные ребрами и ослабленные вырезами.

Исследованию температурных напряжений и устойчивости тонкостенных ребристых пластин и оболочек посвящены работы Г. Н. Белосточного, В. А. Волоса, В. М. Гембары, В. А. Гущина, В. А. Заруцкого, В. В. Карпова,.

В.В.Кабанова, Ю. М. Коляно, Р. М. Кушнира, А. Н. Кулика, Я. С. Постригача, В. М. Рассудова, В. В. Улитина, В. Н. Филатова, Ю. А. Чернухи, В. И. Феодосьева, М. Брюлля, Ф. Пола, Р. Хенденделя, Г. Эзенхарда и др. И опять, в основном, решены задачи в линейной постановке, зачастую для цилиндрических оболочек. Не учитывались и такие факторы, как изменение модуля упругости (Е) и коэффициента теплового расширения материала (а) от температуры, теплообмен конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер. В основном рассматривалась линейная аппроксимация температурного поля по толщине конструкции.

В нелинейной теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э. И. Григолюком и В. И. Шалашилиным в их совместной монографии [81]. Однако, еще в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В. В. Петров получил метод последовательных нагружений (МПН), имеющий широкое применение [180, 183, 184], его учениками получены другие разновидности метода продолжения решения по параметру. Так В. В. Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки. В. В. Карповым за параметры берутся высота ребер и кривизна оболочки и получены соответственно метод последовательного наращивания ребер (МПНР) и метод моследовательного изменения кривизны (МПИТ). Если за параметр принять температуру, то получаем метод последовательных нагреваний.

Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое количество публикаций [11, 39, 91, 92, 100, 115, 141, 183, 191]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало важным моментом исследования, что все учебники по строительной механике содержат главы, посвященные методам расчета, например [101]. Для решения линейных задач используются как точные и приближенные аналитические методы [11], так и численные методы: метод конечных разностей [141, 142], метод конечных элементов [190] и др. При использовании аналитических методов решения разыскиваются в форме двойных рядов [11]. При решении нелинейных задач широко используется метод Бубнова-Галеркина [54] и метод конечных элементов (МКЭ) [189, 190].

В работе В. А. Постнова и В. С. Корнеева [190] за отдельный элемент в МКЭ принят усеченный конус, что позволило с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

Из проведенного анализа литературных источников видно, что тонкостенные оболочечные конструкции находят широкое применение в различных областях техники. Для придания большей жесткости тонкостенная часть пластинок и оболочек подкрепляется ребрами жесткости. Конструкции могут подвергаться не только механическим, но и тепловым воздействиям. Расчеты на прочность и устойчивость таких конструкций играют важную роль при проектировании современных машин, аппаратов и сооружений. Поведение гладких тонкостенных конструкций и конструкций ступенчато-переменной толщины, находящихся в температурном поле и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследованы недостаточно и являются объектом нашего исследования.

Известно, что с изменением температуры, меняются механические характеристики материала. Учет этого факта вызывает серьезные математические трудности, а неучет — приводит к существенным погрешностям при расчете напряженно деформированного состояния (НДС) конструкции. Одно из направлений наших исследований посвящено этой проблеме.

Совершенно недостаточно исследована устойчивость пластин и оболочек, находящихся в неравномерном температурном поле, и это является предметом наших исследований.

При наличии температурного воздействия на конструкцию, при рассмотрении несвязанной задачи термоупругости, до решения задачи термоупругости необходимо решать задачу теплопроводности для определения температурных полей, возникающих внутри конструкции, что вызывает определенные трудности для ребристых пластин и оболочек, так как вид уравнения теплопроводности и его решение зависят от числа и расположения ребер, учета или не учета теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер. Мало исследовались ребристые конструкции работающие при высоких и низких температурах, особенно при больших прогибах. Эти проблемы также является объектом наших исследований.

При расчете пластин и оболочек вариационными методами, а именно такими методами мы пользуемся при решении задач в нашей работе, необходимо иметь вид базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям на кромках конструкции (пластины, оболочки). Как правило решаются задачи, когда конструкция шарнирно закреплена по контуру и тогда составляющим перемещения удовлетворяют системы синусов, являющиеся полными системами, удовлетворяющими граничным условиям шарнирного закрепления. В случаях других вариантов закрепления сторон контура такие полные системы, достаточно хорошо реализуемые в расчетах, отсутствуют. Один из вопросов, разработанных в диссертации, посвящен подбору полных систем функций, удовлетворяющих вариантам закреплений сторон контура, отличным от шарнирного.

Изложенные выше факторы существенно усложняют решение задачи термоупругости для пластин и оболочек и приводят к необходимости разработки более эффективных методов решения таких задач. Поэтому разработка теории, методики решения поставленных задач и проведение исследований НДС и устойчивости как гладких, так и ребристых пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, является актуальной задачей.

Научная новизна проведенных исследований заключается в следующем:

— разработана геометрически нелинейная теория пластин и пологих оболочек переменной толщины, находящихся в температурном поле, учитывающая изменение модуля упругости (Е) и коэффициента теплового расширения материала (а) от температуры для двух кинематических моделей работы конструкции (модели Кирхгофа-Лява — прямой недеформируемой нормали и модели типа Тимошенко, учитывающей поперечные сдвиги) и получены обобщенные уравнения термоупругости для пологих оболочек переменной толщины;

— из решения обратной вариационной задачи для температурного функционала, записанного в трехмерном пространстве, построены двумерные уравнения теплопроводности для пластин переменной толщины, из которых строятся уравнения теплопроводности для гладких и ребристых пластин, в том числе, с учетом теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер;

— из ранее построенных обобщенных уравнений термоупругости кинематической модели Кирхгофа-Лява для гибких пологих оболочек переменной толщины как частные случаи строятся уравнения для гладких оболочек, учитывающие изменение модуля упругости и коэффициента теплового расширения материала от температуры и уравнения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины;

— впервые примененен вариационно параметрического метода к решению задач термоупругости для пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины;

— разработана модификация статического метода В. З. Власова подбора систем аппроксимирующих функций, служащих для решения задач теории пластин и оболочек вариационными методами, доказывается полнота строящихся систем, которые апробируются на решении задач теории гибких пластин и оболочек;

— исследовано влияния на НДС гладких и ребристых пластин и пологих оболочек конечного прогиба следующих факторов :

1) изменения Е и, а от температуры,.

2) учета теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер,.

3) аппроксимации температурного поля по толщине конструкции и выбора рационального вида такой аппроксимации,.

4) зависимости НДС и устойчивости пластин и оболочек от жесткости, числа и расположения ребер,.

5) совместного воздействия на конструкцию механических нагрузок и температурного поля.

На защиту выносится:

— геометрически нелинейная теория пластин и пологих оболочек переменной толщины, находящихся в температурном поле, учитывающая изменение Е и, а от температуры;

— уравнения термоупругости для пологих оболочек постоянной толщины, учитывающие изменение Е и, а от температуры;

— уравнения термоупругости для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при различной аппроксимации температуры по толщине;

— уравнения теплопроводности для пластин переменной толщины и ребристых пластин с учетом теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер при различной аппроксимации температурного поля по толщине конструкции;

— вариационно-параметрический метод расчета термоупругости пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины;

— модификация статического метода В. З. Власова подбора систем аппроксимирующих функций, служащих для решения задач теории пластин и оболочек вариационными методами;

— результаты исследования влияния различных факторов на НДС и устойчивость пологих оболочек и пластин постоянной и ступенчатопеременной толщины, находящихся в температурном поле: учета неравномерности изменения температурного поляучета изменения Е и, а от температурыучета теплообмена пологих ребристых оболочек с окружающей средой через боковую поверхность ребервида аппроксимации температурного поля по толщине конструкциизависимости НДС от числа и жесткости подкрепляющих оболочку реберсовместного действия на оболочку механических нагрузок и температурного поля.

Диссертация состоит из: введения, семи глав, заключения общим объемом 256 стр., которые содержат 61 рисунок и 11 таблиц, списка литературы из 273 наименований на 27 стр. и приложений на 116 стр.

В первой главе выводятся дифференциальные уравнения термоупругости и формулируются граничные условия для пластин и пологих оболочек переменной толщины в геометрически нелинейной постановке.

Записываются сотношения связи деформаций с перемещениями и физические уравнения связи напряжений с деформациями при наличии температурного поля, когда модуль упругости Е и коэффициент теплового расширения материала, а зависят от температуры. Соотношения записываются для случая конечных прогибов для двух кинематических моделей работы материала конструкции: модели прямой недеформированной нормали Кирхгоф а-Лявамодели типа Тимошенко, учитывающей поперечные сдвиги. Далее для этих двух случаев записываются выражения потенциальной энергии деформации через компоненты перемещения U, V и W и углы поворота отрезка нормали у срединной поверхности оболочки в сечениях оболочки плоскостями XOZ, YOZ соответственно щ и у/г. Исходя из вариационного принципа Лагранжа, получены полные вариационные уравнения из которых построены уравнения термоупругости модели типа Тимошенко и модели Кирхгофа-Лява. Обсуждаются граничные условия на кромках контура оболочки, следующие из контурных интегралов полного вариационного уравнения.

Во второй главе выводятся уравнения теплопроводности для пластин и оболочек переменной толщины. Получены так же уравнения теплопроводности для ребристых пластин с учетом теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер.

В этой же главе решаются задачи построения температурных полей в гладких и ребристых пластинах и оболочках. Исследуется характер распределения температурного поля внутри конструкции в зависимости от количества и геометрии ребер при разных параметрах внешней температуры и при различной аппроксимации температурного поля по толщине. Исследуется возможность использования упрощенных способов аппроксимации температуры по толщине конструкции, что в дальнейшем значительно упрощает решение задач термоупругости.

В третьей главе строится теория термоупругости гладких пологих оболочек конечного прогиба и приводится методика решения формулируемых граничных задач.

Полученные в первой главе для оболочек переменной толщины уравнения термоупругости кинематической модели Кирхгофа — Лява упрощаются на случай гладких пологих оболочек конечного прогиба, когда зависимость Е и, а от температуры присутствует, а перепад температуры по толщине не учитывается.

Граничная задача для построенных нелинейных дифференциальных уравнений решается здесь с помощь следующей последовательности действий: -исходная нелинейная система линеаризируется методом последовательных нагружений (нагреваний) и, таким образом, решение исходной системы сводится к последовательному решению линейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которые вычисляются по рекурентным формулам ;

— далее полученные линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных сводим к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью вариационного метода Власова-Канторовича ;

— граничная задача для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к начальной задаче методом дополнительных функций так, что начальные условия находятся в середине отрезка интегрирования.

— начальные задачи решались методом Рунге — Кутта четвертого порядка точности. Система линейных алгебраических уравнений, при отыскании начальных условий, решалась методом Гаусса.

Описанная методика решения исходных уравнений уже в первом приближении дает результаты для достижения которых другими вариационными методами требуются высокие приближения, кроме того она удобна для реализации на ЭВМ, поскольку для вычисления определенных интегралов, решения линейных систем алгебраических уравнений и решения начальной задачи методом Рунге — Кутта имеются стандартные программы (СП), что существенно облегчает процессы программирования и вычислений.

Поскольку для решения задач теории пластин и оболочек с помощью вариационных методов требуется задавать вид базисных функций в направлении аппроксимирования, то в этой главе нами предложена модификация статического метода В. З. Власова подбора аппроксимирующих функций, позволяющая подбирать полные системы аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям на двух противоположных кромках контура пластины (оболочки). В работе подбираются системы аппроксимирующих функций для некоторых вариантов закрепления сторон контура. Доказывается полнота построенных систем. Построенные системы апробируются на задачах механического (безтемпературного) нагружения, из сравнения с решениями других авторов, полученных другими методами, делается вывод об эффективности их использования. В дальнейшем построенные системы используются при решении задач термоупругости.

В четвертой главе решаются задачи термоупругости для гладких пластин и оболочек.

Для выяснения влияния контурных закреплений на момент потери устойчивости и НДС пластин, рассчитывались гибкие квадратные в плане пластины различным образом закрепленные по контуру на действие равномерного температурного поля. Из приводимых в работе результатов видно, что критические температуры, величина и характер прогибов и напряжений существенно зависят от характера закрепления сторон контура пластины.

Для исследования поведения пластин находящихся в условиях температурного поля отличного от равномерного были проведены расчеты пластин находящихся в температурных полях изменяющихся только в направлении одной из координат. Для найденных во второй главе температурных полей рассчитывалась квадратная шарнирно неподвижно закрепленная по контуру пластина. Расчеты наряду с равномерным температурным полем выполнялись для случаев, когда Е и, а принимались не зависящими от температуры, когда зависящим от температуры принимался один из параметров или Е, или яг, когда оба параметра зависели от температуры. В результате проведенных исследований установлено, чтос ростом температуры эпюры напряжений претерпевают качественные изменения;

— погрешности, вносимые в расчет не учетом изменения Е и, а от температуры, являются погрешностями того же порядка, что и погрешности вносимые в расчет за счет осреднения неравномерного температурного поля- -учет изменения Е и, а от температуры вносит качественные изменения в НДС пластин;

— учет изменения от температуры лишь одной из характеристик (Е или а) недопустим, так как погрешности расчета возрастают по сравнению со случаем, когда одновременно принимаются Е и, а не зависящими от изменения температуры.

Были проведены расчеты пологих оболочек на действие равномерной температуры. Показано, что, как и в случае пластинок, учет зависимости Е и, а от температуры оказывает существенное влияние на расчетные напряжения и деформации. При рассмотрении воздействия отрицательных температур показана возможность потери устойчивости оболочкой.

Проведены расчеты пластин и оболочек на совместное действие равномерной температуры и равномерно-распределенной нагрузки. Решение для пластины сравнивается с известным решением М. С. Танеевой, выполненным методом конечных разностей и показывается их хорошее согласование. При решении задачи для оболочек показано, что если поперечная нагрузка не достигает критической величины, то действие температурного поля приводит к уменьшению прогибовесли же поперечная нагрузка достигает критической величины, то действие температурного поля ведет к увеличению прогибов. Учет зависимости Е и, а от температуры существенно влияет на НДС оболочки в случае такого комбинированного нагружения.

В пятой главе строится теория термоупругости пологих оболочек конечного прогиба ступенчато — переменной толщины и приводится методика решения формулируемых граничных задач.

Полученные в первой главе для оболочек переменной толщины уравнения термоупругости кинематической модели Кирхгофа — Лява конкретизируются на случай пологих оболочек ступенчато — переменной толщины конечного прогиба, когда зависимость Е и, а от температуры не учитывается.

Граничная задача для построенной системы нелинейных дифференциальных уравнений коэффициентами которых являются разрывные функции решается с помощь следующей последовательности методов: последовательных нагружений (нагреваний), Бубнова-Галеркина, Гаусса.

В этой же главе, исходя из построенных уравнений для ребристых оболочек, когда ребра вводятся дискретно, строятся уравнения метода конструктивной анизотропии, когда жесткость ребер (вырезов) «размазывается» по всей конструкции, что может быть сделано в случаях конструкций с часто расставленными ребрами малой жесткости или конструкций ослабленных большим числом отверстий-перфорированные конструкции, в которых существенных местных эффектов не наблюдается.

В шестой главе проводится исследование НДС пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, работающих в температурном поле.

Исследовались квадратного плана пластинки и пологие оболочки шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру и подкрепленные регулярным набором двух, четырех и восьми ребер: на действие равномерной температуры, причем, рассматривается как случай не учета Ей, а от температуры, так и учета этого факторана действие температурного поля, изменяющегося по толщине пластины.

Выполнены расчеты часто подкрепленных пластин и пологих оболочек по схеме метода конструктивной анизотропии.

Из проведенных расчетов видно, что количество ребер и их конфигурация существенно влияют и на напряженное и на деформированное состояние оболочек как при положительных, так и при отрицательных температурах. Учет изменения механических характеристик материала от нагревания, как и в случае гладких конструкций, оказывает достаточно большое влияние на расчетные параметры.

В седьмой главе на основе вариационно-параметрического метода проведены исследования термоупругости пластинок и пологих оболочек ступенчато переменной толщины при конечных прогибах.

Исходя из выражения, полученного в первой главе, для потен-циальной энергии деформации термонапряженной оболочки переменной толщины, записывается выражение потенциальной энергии для пологих оболочек ступенчато переменной толщины при конечных прогибах в случае кинематической модели Кирхгофа-Лява.

Для минимизации функционала потенциальной энергии применяется метод Ритца, что приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомых функций в ряды по системам базисных (аппроксимирующих) функций.

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений применяется метод последовательных нагружений (нагреваний), который является частным случаем метода продолжения решения по параметру и сводит решение исходной нелинейной системы алгебраических уравнений к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений, которые решаются методом Гаусса. Так как, порядок производных искомых функций в функционале полной энергии деформации в 2 раза ниже чем в уравнениях равновесия, то коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений существенно упрощаются.

По описанной методике составлена программа на языке PASCAL для ПЭВМ. Для апробирования описанной методики было проведено решение для квадратных в плане гладких пластин и оболочек на действие равномерной температуры. Расчеты выполненные здесь с помощью вариационно-параметрического метода сравнивались с расчетами выполненными ранее в четвертой главе и показывают их хорошее совпадение. Из новых задач решены задачи для ребристых пластин и оболочек на действие температурного поля изменяющегося по толщине оболочки. Исследовалось НДС пластин и оболочек с разным количеством ребер на действие температурного поля, когда учитывалась теплопередача через боковую поверхность ребер и когда этот фактор не учитывался (боковая поверхность ребер теплоизолирована). Расчеты проводились при аппроксимации температурного поля по толщине оболочки квадратичной зависимостью.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

В приложения вынесены коэффициенты уравнений и программы решения задач.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались.

— на ежегодных научно-технических конференциях Саратовского политехнического института (Саратов, 1967;2000г.г.);

— на VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Днепропетровск, 1969);

— на конференции «Тепловые напряжения в элементах конструкций» (Канев, 1972);

— на Всесоюзной конференции по современным проблемам строительной механики и прочности летательных аппаратов (Москва, 1983);

— на ежегодных научно-технических международных конференциях в политехническом институте г. Ильменау ГДР (1988, 1990);

— на научном семинаре секции строительной механики и сопротивления материалов при Ленинградском доме ученых АН СССР (Ленинград, 1992);

— на Международном симпозиуме по проблемам механики сплошных сред.

Тбилисси, 1997);

— на Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций» (Волгоград, 1998).

Полностью работа докладывалась: -на расширенном семинаре кафедры теоретической механики СПб ГАСУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, профессора Санжаровского Р. С. (февраль 2000 г.);

— на семинаре кафедры вычислительной математики и информатики СПб ГАСУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Вагера Б. Г. (февраль 2000 г.);

— на семинаре кафедры сопротивления материалов СПб Гос. Академии холода пищевых технологий под руководством профессора, академика Международной Академии холода Мамченко В. О. (февраль 2000 г.) — -на объединенном семинаре кафедр прочности Волгоградской ГАСА под руководством ректора академии, профессора Игнатьева В. А. (май 2001 г.) — - на расширенном заседании кафедры механики и прикладной информатики СГТУ под руководством академика Российской академии архитектуры и строительных наук, профессора Петрова В. В. (июнь 2001 г.).

7.7. Выводы.

Разработан и апробирован вариационно-параметрический метод термоупругого расчета пластинок и пологих оболочек ступенчато переменной толщины при конечных прогибах.

Исходя из выражения, полученного для потенциальной энергии деформации термонапряженной оболочки переменной толщины, записывается выражение потенциальной энергии для пологих оболочек ступенчатопеременной толщины при конечных прогибах в случае кинематической модели Кирхгофа-Лява.

Для минимизации функционала потенциальной энергии применяется метод Ритца, что приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомых функций U, V и W в ряды по системам базисных (аппроксимирующих) функций. Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений применяется метод последовательных нагружений, который сводит решение исходной нелинейной системы алгебраических уравнений к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений, которые решаются методом Гаусса.

Для апробирования описанной методики проведено решение для квадратных в плане гладких пластин и оболочек на действие равномерной температуры. Расчеты выполненные здесь с помощью вариационно-параметрического метода сравнивались с расчетами выполненными ранее и показывают их хорошее совпадение.

Из новых задач решены задачи для ребристых пластин и оболочек на действие температурного поля изменяющегося по толщине оболочки. Исследовано НДС пластин и оболочек с разным количеством ребер на действие температурного поля, когда учитывалась теплопередача через боковую поверхность ребер и когда этот фактор не учитывался (боковая поверхность ребер теплоизолирована). Расчеты проводились при аппроксимации температурного поля по толщине оболочки квадратичной зависимостью. Обсуждается возможность более простых аппроксимаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные результаты и выводы.

1. Используя интегральные вариационные принципы механики, выведены дифференциальные уравнения термоупругости гибких пологих оболочек переменной толщины, учитывающие зависимость модуля упругости (Е) и коэффициента тепловаго расширения материала (а) от температуры, для двух кинематических моделей работы конструкции — модели Кирхгофа-Лява, прямой недеформированной нормали и модели типа Тимошенко, учитывающей поперечные сдвиги. Наряду с уравнениями в перемещениях для кинематической модели Кирхгофа-Лява, получены уравнения в смешанной форме.

2. Используя процедуру А. Д. Коваленко осреднения по толщине конструкции, построены двумерные уравнения теплопроводности для тонких пологих оболочек постоянной толщины при аппроксимировании температуры по толщине оболочки по линейному закону.

Решен ряд задач по определению температурных полей в конструкциях постоянной толщины. Показано, что при больших разбросах температур сред, омывающих конструкцию со стороны основных (верхней и нижней) поверхностей, температурные градиенты на несколько порядков ниже температуры срединной поверхности и, в большом числе практически важных случаев, перепадом температуры по толщине можно пренебречь. Показано крайне малое влияние величины кривизны пологой оболочки на распределение температурного поля внутри конструкции и возможность использования для пологих оболочек температурных полей, найденных для пластины .

3. На основании решения обратной вариационной задачи для трехмерного уравнения теплопроводности при учете граничных условий, выведены двумерные уравнения стационарной теплопроводности для пластин переменной толщины, когда температурное поле принимается изменяющимся по толщине по квадратичному закону.

4. Из построенных уравнений теплопроводности для пластин переменной толщины, строятся уравнения для ребристых пластин, как для случая не учитывающего теплопередачу через боковую поверхность ребер, так и для случая учитывающего этот фактор.

5. Для пластин ступенчато-переменной толщины проведен анализ решения задач теплопроводности при различном числе и конфигурации ребер, различной аппроксимации температуры по толщине конструкции, учете теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер и показано, что для высоких ребер необходима квадратичная аппроксимация температуры по толщине конструкции, а для невысоких ребер (высотой 3−4 толщины обшивки) достаточно линейной аппроксимации. Показано, что необходим учет теплообмена конструкции с окружающей средой через боковую поверхность ребер.

6. Полученные ранее для оболочек переменной толщины уравнения термоупругости кинематической модели Кирхгофа — Лява упрощаются на случай гладких пологих оболочек конечного прогиба, когда зависимость Е и, а от температуры учитывается, а перепад температуры по толщине отсутствует.

7. Разработана и реализована на ЭВМ методика решения нелинейных краевых задач, состоящая из метода последовательных нагружений (нагреваний), метода Власова-Канторовича, метода Рунге-Кутта. Проанализирована достоверность и точность получаемых решений.

8. Поскольку для решения задач теории пластин и оболочек с помощью вариационных методов требуется задавать вид базисных функций в направлении аппроксимирования, то предложена модификация статического метода В. З. Власова подбора аппроксимирующих функций, позволяющая подбирать полные системы функций, удовлетворяющих граничным условиям для различных вариантов закрепления сторон контура.

9. Решен большой круг задач термоупругости для гладких пластин и оболочек.

Для выяснения влияния контурных закреплений на момент потери устойчивости и НДС пластин, расчитывались гибкие квадратные в плане пластины различным образом закрепленные по контуру на действие равномерного температурного поля. Из приводимых в работе результатов видно, что критические температуры, величина и характер прогибов и напряжений существенно зависят от характера закрепления сторон контура пластины.

Были проведены расчеты пластин квадратного плана шарнирно неподвижно закрепленных по контуру находящихся в температурных полях отличных от равномерного. Расчеты наряду с равномерным температурным полем выполнялись для случаев, когда Е и, а принимались не зависящими от температуры, когда зависящим от температуры принимался один из параметров или Е, или а, когда оба параметра зависели от температуры. В результате проведенных исследований установлено, что.

— характер распределения напряжений существенно зависит от характера температурного поля;

— неравномерность температурного поля сильнее отражается на НДС пластины, если это поле температуры является несимметричным относительно центра пластины;

— с ростом температуры эпюры напряжений претерпевают качественные изменения;

— погрешности, вносимые в расчет неучетом изменения Е и, а от температуры, являются погрешностями того же порядка, что и погрешности вносимые в расчет за счет осреднения неравномерного температурного поля- -величины погрешностей, вносимых в расчет неучетом изменения Е и, а от температуры зависят как от уровня, так и от характера распределения температурного поля.

— учет изменения Е и, а от температуры вносит качественные изменения в эпюры напряжений.

— влияние изменения коэффициента теплового расширения материала сравнимо с влиянием изменения модуля упругости от температуры.

— учет изменения от температуры лишь одной из характеристик (Е или а) недопустим, так как погрешности расчета возрастают по сравнению со случаем, когда одновременно принимаются Е и, а не зависящими от изменения температуры.

Показано, что для пологих оболочек, как и в случае пластинок, учет зависимости Е и, а от температуры оказывает существенное влияние на расчетные напряжения и деформации. При рассмотрении воздействия отрицательных температур показана возможность потери устойчивости оболочкой.

Проведены расчеты пластин и оболочек на совместное действие равномерной температуры и равномернораспределенной нагрузки. При решении задачи для оболочек показано, что если поперечная нагрузка не достигает критической величины, то действие температурного поля приводит к уменьшению прогибовесли же поперечная нагрузка достигает критической величины, то действие температурного поля ведет к увеличению прогибов. Учет зависимости Е и, а от температуры существенно влияет на НДС оболочки в случае такого комбинированного нагружения.

10. На основе полученных уравнений термоупругости для оболочек переменной толщины кинематической модели Кирхгофа — Лява строятся уравнения термоупругости пологих оболочек конечного прогиба ступенчато — переменной толщины как для случая, когда ребра вводятся дискретно, так и по методу конструктивной анизотропии, когда жесткость ребер (выемок) «размазывается» по всей конструкции, что может быть сделано в случаях конструкций с часто расставленными ребрами малой жесткости или конструкций ослабленных большим числом отверстий (перфорированные конструкции), в которых существенных местных эффектов не наблюдается.

11. Для решения полученных нелинейных задач применяется методика, основанная на методе последовательных нагружений и методе Бубнова-Галеркина, так как, коэффициенты уравнений содержат разрывные функции.

12. Решен ряд задач для пластин и пологих оболочек конечного пргиба ступенчато-переменной толщины, работающих в температурном поле.

Исследовались пластины и пологие оболочки, подкрепленные регулярными наборами ребер

— на действие равномерной температуры (рассматривается как случай неучета Е и, а от температуры, так и учета этого фактора);

— на действие температурного поля, изменяющегося по толщине конструкции.

Выполнены расчеты часто подкрепленных пластин и пологих оболочек по схеме метода конструктивной анизотропии.

Из проведенных расчетов видно, что количество ребер и их конфигурация существенно влияют на напряженное и деформированное состояние оболочек как при положительных, так и при отрицательных температурах. Учет изменения механических характеристик материала от нагревания, как и в случае гладких конструкций, оказывает достаточно большое влияние на расчетные параметры. Резюмируя результаты проведенных расчетов по методу конструктивной анизотропии отмечается, что предложенный метод безусловно применим для расчета часто подкрепленных оболочек на температурные воздействия и с оглядкой должен применяться для расчета пластин особенно в районе критических значений температур.

13. Разработан и апробирован вариационно-параметрический метод (ВПМ) термоупругого расчета пластинок и пологих оболочек ступенчато переменной толщины при конечных прогибах, основанный на минимизации функционала полной энергии деформации и последующем продолжении решения по параметру, позволяющий проводить расчеты НДС пластин и оболочек гораздо проще, чем при решение краевых задач для таких конструкций и, кроме того,.

256 позволяющий находить рациональные параметры конструкции (жесткость ребер, кривизну).

Для апробирования ВПМ проведено решение для квадратных в плане гладких пластин и оболочек на действие равномерной температуры. Выполненные расчеты сравнивались с расчетами полученными ранее и показывают их хорошее совпадение.

14. Решены задачи для ребристых пластин и оболочек на действие температурного поля изменяющегося по толщине оболочки. Исследовано НДС пластин и оболочек с разным количеством ребер на действие температурного поля, когда учитывалась теплопередача через боковую поверхность ребер и когда этот фактор не учитывался (боковая поверхность ребер теплоизолирована). Расчеты проводились при аппроксимации температурного поля по толщине оболочки квадратичной зависимостью.