Моделирование движения тела под действием двух центров масс

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана»

Калужский филиал Факультет «Фундаментальных Наук»

Кафедра «Программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики» (ФН1-КФ) РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Тема: «Моделирование движения тела под действием двух центров масс»

Студент Пименов А.Е.

Преподаватель Гинзгеймер С.А.

Калуга 2010 г.

Аннотация В различных науках о природе есть такие задачи, которые не решены до сих пор, несмотря на их важность для развития самих наук и познания окружающего нас мира.

Одной из таких наук является небесная механика — наука о движении естественных и искусственных небесных тел под действием сил различной физической природы. Одна из важнейших задач, изучаемая небесной механикой — знаменитая задача трех тел (точнее, трех материальных точек).

• Постановка задачи
• 1. Исследовательская часть
• 1.1 Выбор средства разработки
• 1.2 Обзор используемой литературы
• 2. Конструкторская часть
• 2.1 О законах Кеплера и о всемирном тяготении
• 2.2 Точные решения задачи трех тел
• 2.3 Аналитические и численные решения
• 2.4 Ограниченная задача трех тел
• 2.5 Вывод уравнений
• 3. Технологическая часть
• Заключение
• Литература

Постановка задачи

mathcad математический задача кеплер Рассмотрим задачу Кеплера для трех тел. Тело массой m, в первоначальный момент времени находиться в точке с радиус вектором и имеет скорость. Притягивающие центры массами М₁ и М₂ находятся в точках с радиус векторами и, соответственно. Необходимо определить траекторию движения тела в зависимости от его начальных координат, начальной скорости и кинетической энергии.

Рис. 1

1. Исследовательская часть

1.1 Выбор средства разработки

Для реализации курсовой работы была использована система MathCAD.

Система MathCAD предоставляет собой мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система MathCAD настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами.

Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований. Более 600 000 только зарегистрированных пользователей владеют различными версиями системы MathCAD во всем мире Вычислительные возможности MathCAD нисколько не затрудняют удивительно простое и интуитивно предсказуемое общение с системой на общепринятом языке математических формул и графиков.

Исключительно велика роль системы MathCAD в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики, делая его интересным и достаточно простым. Грамотное применение системы в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования. Система MathCAD позволяет готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.

Программа Mathcad сочетает в себе:

· набор мощных инструментов для технических расчетов с полиграфическим качеством написания формул;

· гибкий, полнофункциональный текстовый редактор.

С помощью эффективной среды решения задач программы Mathcad можно выполнять работу и демонстрировать результаты в одном и том же документе — на рабочей странице Mathcad. Прекрасное взаимодействие с другими инженерными, графическими и бизнес приложениями делает Mathcad необходимым элементом любого многогранного решения. Мощные средства Интернет-опубликования ускоряет процесс ознакомления с документами коллег и других Mathcad пользователей. В отличие от другого технического программного обеспечения Mathcad осуществляет математические расчеты в той же последовательности в которой Вы их записываете. Вводятся уравнения, данные для построения графика функции и текстовые примечания в любом месте страницы, при этом математические выражения в Mathcad записываются в полиграфическом формате.

Единственная разница с обычным текстом, включающим математические формулы и графики состоит в том, что в Mathcad уравнения и графики — «живые». Изменение значений переменных, данных графика или уравнений приведет к немедленному перевычислению рабочей страницы.

Набор математических функций и методов вычислений, входящих в Mathcad настолько велик, что его можно сравнить с математической энциклопедией с живыми формулами. Например, Mathcad содержит все элементарные математические функции и большое количество специальных функций; обрабатывает данные, в том числе статистическими методами, находит подгоночные функции; строит двухи трехмерные графики; решает численно и аналитически системы дифференциальных уравнений, как обыкновенных так и с частными производными, а также решает множество других задач. Взаимодействие с другими приложениями.

Вы можете легко расширить вычислительную мощность Mathcad используя специализированные OLE объекты, позволяющие связываться с другими приложениями и источниками данных. Например, конструкторские чертежи, созданные при помощи программ SmartSketch и AutoCad, могут быть помещены в рабочий документ Mathcad и взаимодействовать с переменными Mathcad. Обратно, Mathcad вычисления можно интегрировать в другие приложения для решения задач или демонстрации идей. Например, Excel Add-in для Mathcad позволяет вставлять Mathcad вычисления в электронные таблицы Excel. Вы можете автоматизировать Ваши AutoCAD чертежи и автоматически изменять их из Mathcad в соответствии со спецификациями. Вы можете даже использовать Visual Basic и OLE объекты для создания независимых приложений, включающих Mathcad вычисления.

В стандартный комплект поставки Mathcad входят компоненты для связи со следующими приложениями: Excel, MATLAB, S-PLUS, Axum, и SmartSketch, которые требуют наличия соответствующих версий этих продуктов.

Mathcad ресурсы.

Только подготовленные Mathcad пользователи постоянно находят новые способы использования Mathcad, а для начинающего его возможности могут быть казаться ошеломляющими. Учебники Mathcad предназначены пользователям Mathcad любого уровня — от начинающих до квалифицированных специалистов. Имеются следующие интерактивные учебные материалы:

Tutorials (Учебники) — могут быть полезны пользователям с любым опытом работы. Для начинающих имеется руководство, позволяющее шаг за шагом изучить правила построения и редактирования выражений, форматирования графиков, ввода и форматирования текста, работы с единицами физических величин, использования встроенных функций и операторов.

QuickSheets — набор рабочих документов для типичных графиков, вычислений и анализов. Вы можете найти готовые модели для большого количества Ваших задач и, меняя входные параметры, получать нужные Вам результаты.

Reference Tables (справочные таблицы) — содержат физические постоянные и математические формулы, Вы можете найти нужные Вам формулы без других математических или инженерных справочников.

Mathcad и Интернет.

Mathcad — это Интернет инструмент, помогающий использовать Интернет как ресурс и публиковать Ваши Mathcad электронные документы в HTML формате. Mathcad 11 включает расширения для математической нотации в HTML документах — язык MathML. В дальнейшем Вы можете читать эти документы из Интернет без потери информации. На сайте www.mathsoft.com имеется большое количество созданных пользователями электронных книг, графиков и анимаций. Интернетфорум пользователей Mathcad позволит Вам через инструмент Mathcad Mathconnect быстро и эффективно взаимодействовать с другими пользователями Mathcad, обмениваться идеями, электронными документами и методами расчетов.

1.2 Задача двух тел

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Задачу двух тел можно представить как две независимых задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

1.3 Задача трех тел

Задача трёх тел (в астрономии) — частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В общем случае не существует решения этой задачи. Известно только 5 точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов. Общая задача 3-тел в небесной механике является задачей с начальными условиями для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для заданных начальных условий и для различных j и k, нужно найти решение системы уравнений второго порядка

где m1, m2,m3 — массы тел, и q1, q2,q3 — их трёхмерные векторные функции, зависящие от времени t, описывающие положение этих масс.

1.4 Обзор используемой литературы

Книги о движении космических тел:

1. А. П. Маркеев. Задача трех тел и ее точные решения, 1999.

2. Е. И. Бутиков. Движения космических тел в компьютерных моделях.

Для работы со специфическими функциями MathCad 2000 использовалась стандартная справка. Некоторые материалы взяты с сайта www.exponenta.ru.

2. Конструкторская часть

2.1 О законах Кеплера и о всемирном тяготении

Геометрические законы движения небесных тел, составляющих Солнечную систему, были установлены трудами немецкого ученого Иоганна Кеплера, который в своих трудах опирался на материалы наблюдений, полученные его предшественниками, в частности на богатый наблюдательный материал датского ученого Тихо Браге. В результате многотрудных поисков И. Кеплер установил три следующих закона.

1. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей.

Законы Кеплера имеют только кинематический характер, то есть они не рассматривают причины (силы), обусловливающие движение планет, хотя некоторые ученые эпохи Кеплера были близки к правильному пониманию этих причин, отмечали свойство небесных тел притягиваться друг к другу (Н. Коперник, Г. Галилей). Сам И. Кеплер писал: «Если в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком расстоянии друг к другу и вне сферы действия какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам». Еще более близок к пониманию причин, объяснявших движение планет, был Р. Гук, отметивший увеличение силы взаимодействия небесных тел при уменьшении расстояния между ними.

Наиболее полное и строгое описание взаимодействия тел дал Исаак Ньютон в 1687 году в своем знаменитом трактате «Математические начала натуральной философии». Ньютон открыл закон, который впоследствии получил название закона всемирного тяготения или закона притяжения Ньютона: две материальные точки масс m1 и m2 притягиваются одна к другой с силой F, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними, то есть

.(1)

Здесь — универсальная гравитационная постоянная, одна и та же для всей Вселенной, .

Закон всемирного тяготения является фундаментом небесной механики. Во всех ее основных задачах силы взаимодействия между телами определяются формулой Ньютона (1).

2.2 Точные решения задачи трех тел

Хотя общее решение задачи трех тел получить не удалось, тем не менее уже более двухсот лет известны ее точные частные решения.

В 1772 году Лагранж опубликовал свой знаменитый мемуар «О задаче трех тел», удостоенный впоследствии премии Парижской академии наук. В нем, занимаясь уравнениями задачи трех тел, Лагранж, между прочим, указывает на существование двух классов движений в задаче трех тел, которые описываются несложными математическими формулами.

Для движений одного класса три взаимно притягивающиеся по закону Ньютона точки P1, P2 и P3, расположенные в вершинах равностороннего треугольника произвольных размеров, при определенных по величине и направлению скоростях будут и в последующем двигаться, постоянно образуя равносторонний треугольник. Величина стороны треугольника изменяется со временем согласно законам Кеплера, а сам треугольник вращается в фиксированной плоскости вокруг общего центра масс тел, также подчиняясь законам Кеплера. Частные решения этого класса называют треугольными, или лагранжевыми, решениями. В движениях второго класса все три тела постоянно находятся на одной прямой, вращающейся вокруг общего центра масс тел в соответствии со вторым законом Кеплера, а расстояния между телами изменяются опять же по законам кеплеровских движений. Существование таких частных решений было отмечено Леонардом Эйлером в 1767 году, за пять лет до мемуара Лагранжа. Решения второго класса получили название прямолинейных (коллинеарных), или эйлеровых. Траектории тел P1, P2 и P3, соответствующие точным решениям задачи трех тел, показаны на рис. 2. Представлен случай эллиптического движения. Точками на рис. 2, а (рис. 2, б) отмечены положения тел для трех (двух) моментов времени. Существование упомянутых точных решений задачи трех тел можно доказать элементарными средствами. Особенно просто это можно сделать, когда тела движутся относительно их общего центра масс по круговым орбитам. Не останавливаясь на подробностях, отметим только, что в этом случае доказательство может быть основано на том, что центробежная сила для каждого из тел, вращающихся вокруг общего центра масс, должна уравновешиваться силами притяжения двух других тел.

2.3 Аналитические и численные решения

Точные аналитические решения дифференциальных уравнений движения замечательны тем, что описываемые такими решениями движения оказываются весьма простыми. В частности, классическая задача Кеплера о движении тела под действием центральной силы тяготения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, имеет аналитическое решение, которое описывает сравнительно простые возможные движения по коническим сечениям. К сожалению, точные решения редко встречаются в физике. При наличии возмущающих воздействий (тяготение других планет, отличие силы тяготения небесного тела от строгой сферической симметрии, и т. п.) уравнения движения становятся неинтегрируемыми. Присущее кеплеровым движениям «чудо» замкнутых орбит, равно как и замечательная их простота, бесследно исчезают. Математическое исследование возмущенных движений неизмеримо усложняется.

Когда возмущающие воздействия малы по сравнению с основной силой тяготения, можно использовать приближенные аналитические методы. В некоторых случаях допустимо принять кеплерово движение в качестве нулевого приближения, считая, что возмущения вызывают сравнительно медленные изменения параметров кеплеровой орбиты, и попытаться найти аналитические выражения для этих медленных изменений. В задачах о межпланетных перелетах можно применять приближенный аналитический метод сопряженных конических сечений. Когда же возмущения нельзя считать малыми, как, например, в общем случае так называемой задачи трех тел, даже приближенные решения получить не удается. Тогда остается полагаться только на численные методы решения уравнений движения.

Поясним идею численных методов расчета движения. Пусть для некоторого начального момента времени заданы положение и скорость рассматриваемого космического тела (планеты, космического аппарата), а также расположение всех небесных тел, сообщающих ему ускорение своими силами тяготения. На основе закона всемирного тяготения можно вычислить гравитационное ускорение, сообщаемое данному телу каждым небесным телом в отдельности, а значит, и полное ускорение как векторную сумму этих ускорений. Зная величину и направление скорости тела, можно, учитывая вычисленное ускорение и считая его постоянным, рассчитать положение и скорость тела через небольшой промежуток времени («шаг» интегрирования). Для найденного нового положения можно снова рассчитать ускорение тела, и затем по той же схеме рассчитать следующее положение тела и его скорость, и так далее. Таким путем можно шаг за шагом проследить все движение рассматриваемого тела.

Единственное приближение, которое при этом приходится допускать, заключается в том, что в течение каждого небольшого промежутка времени (шага расчета) ускорение тела считается постоянным, тогда как на самом деле оно все время изменяется. Но точность расчета можно повысить, уменьшая шаг интегрирования. Конечно, за повышение точности приходится платить увеличением объема вычислений.

Мы описали здесь так называемый алгоритм Эйлера численного интегрирования уравнений движения, известный также как метод ломаных. Этот метод дает сравнительно невысокую точность и приводит к накапливающимся ошибкам. Существует множество улучшенных модификаций алгоритма Эйлера. Например, можно предсказать для очередного шага новые положения тел (а значит и новые ускорения в конце этого шага), а затем повторить этот шаг еще раз, взяв для ускорения каждого из тел среднее между ускорением в начале данного шага и предсказанным ускорением для конца шага. При компьютерном моделировании обычно используют несколько более сложный метод Рунге? Кутта четвертого порядка точности, лишенный недостатков, присущих простому методу Эйлера. На практике проверить качество используемого численного алгоритма можно, применяя его к задаче Кеплера, и сравнивая результат с известным аналитическим решением.

При добавлении еще одного тела к системе двух взаимодействующих тел задача в общем случае становится аналитически неразрешимой, в то время как при использовании численных методов никаких принципиальных трудностей не возникает, лишь несколько возрастает объем необходимых вычислений.

2.4 Ограниченная задача трех тел

Для небесной механики и динамики космических полетов наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения тела P малой массы m3 под действием ньютоновского притяжения тел S и J, обладающих конечными массами m1 и m2 (m1 и m2 >> m3) в предположении, что тело малой массы не влияет на движение тел конечных масс.

Тем самым в ограниченной задаче тела S и J движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что их движение известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тел сводится к исследованию движения только одного тела P малой массы. Например, если пренебречь притяжением Солнца, то движение космического аппарата на трассе Земля-Луна с приемлемой точностью описывается в рамках ограниченной задачи трех тел.

Конечно, ограниченная задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел, но и ее общее решение не найдено.

В зависимости от формы орбит тел S и J конечных масс можно различать гиперболическую, параболическую и эллиптическую ограниченные задачи трех тел. Когда тела S и J движутся по окружностям, то говорят о круговой ограниченной задаче. Если тело P малой массы во все время движения находится в плоскости движения тел S и J, то говорят, что соответствующая ограниченная задача плоская. Если же тело P в своем движении выходит из плоскости орбит тел S и J, то говорят о пространственной ограниченной задаче.

Со многих точек зрения удобно изучать движение тела P в системе координат, вращающейся вместе с телами S и J, выбрав единицу длины такой, чтобы и для некруговой задачи расстояние между телами S и J было постоянным. В этой системе координат упомянутым выше точным решениям задачи трех тел соответствуют фиксированные точки — положения равновесия тела P. Точки, лежащие на прямой, проходящей через S и J, обозначают через L1, L2 и L3, а точки, образующие равносторонние треугольники с телами S и J, обозначают через L4 и L5 (рис. 3). Если тело P поместить в Li с нулевой (во вращающейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвижным. Точки Li часто называют точками либрации или либрационными центрами; L4 и L5 — треугольные, а L1, L2, L3 — прямолинейные (коллинеарные) точки либрации.

2.5 Вывод уравнений

Предваряя численное решение задачи, необходимо провести обезразмеривание переменных.

Уравнение движения тела в прямоугольной системе координат будет иметь вид:

(2)

Проведем обезразмеривание уравнения (2). Выберем в качестве единиц измерения расстояния и времени радиус орбиты R и период обращения T, соответствующие движению тела по окружности.

Введем безразмерные переменные, , и. При этом скорость движения тела по окружности радиусом R будет равна

(3)

а величина ускорения

.(4)

Отметим, что в этом случае при движении по круговой орбите, и. Подставим выражения (3) и (4) в (2):

(5)

сократив общие множители в (5) получим

.(6)

Период обращения может быть найден по формуле

.(7)

Подставив выражение (7) в (6) получим

(8)

где .

Потенциал данной системы имеет вид:

.(9)

Произведем обезразмеривание (9) и вынесем общие множители

(10)

где, а .

Величина безразмерной кинетической энергии будет равна

.(11)

Таким образом, полная энергия системы

.(12)

3. Технологическая часть

Программа производит расчет траектории движения тела под действием двух центров масс. Пользователь может менять входные данные, которыми являются:

(X1, Y1), (X2, Y2) — координаты соответственно первого и второго притягивающих центров;

Rx, Ry — начальные координаты тела;

Vx, Vy — скорость тела;

M1, M2 — массы соответственно первого и второго притягивающих центров;

W — кинетическая энергия тела.

На основании входных данных программа вычисляет скорость тела, потенциал и траекторию движения тела, строя при этом графики траектории и потенциала. Графики построены с использованием авто масштаба, но пользователь может самостоятельно выделить необходимый ему для наблюдения фрагмент графика.

В программе приведены расчеты и графики следующих типов движения тела:

1. Инфинитное движение Входные данные:

M1 = 2

M2 = 1

Rx = -1.5

Ry = 0

Vx = 0

Vy = 9.734

W = 1.2

График траектории имеет вид:

Тело движется по дуге параболы.

2. Финитное движение вокруг двух притягивающих центров

Входные данные:

M1 = 2

M2 = 1

Rx = -0.47

Ry = 0

Vx = 0

Vy = 11.922

W = 1.8

График траектории имеет вид:

Тело совершает движение по эллипсу вокруг обоих центров масс.

3. Финитное движение вокруг второго притягивающего центра

Входные данные:

M1 = 2

M2 = 1

Rx = 1.7

Ry = 0

Vx = 0

Vy = 6.283

W = 0.5

График траектории имеет вид:

Тело движется по эллипсу вокруг второго притягивающего центра.

4. Круговое движение вокруг первого притягивающего центра в случае M1 >> M2

Входные данные:

M1 = 2

M2 =

Rx = -1

Ry = 0

Vx = 0

Vy =

W = 0.5

График траектории имеет вид:

Тело совершает движение по окружности вокруг первого притягивающего центра.

Заключение

В рамках данной курсовой работы средствами системы MathCAD было осуществлено решение одной из важных задач небесной механики и динамики космических полетов — ограниченной задачи трех тел. Вычислены и показаны на графиках возможные траектории движения тела.

1. А. П. Маркеев. Задача трех тел и ее точные решения, 1999.

2. Е. И. Бутиков. Движения космических тел в компьютерных моделях.

3. Кунин С. Вычислительная физика. — М. Мир, 1992.

4. Поршнев С. В. Копьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета MathCAD — М. Горячая линия — Телеком, 2002.

5. www.exponenta.ru