Основы математики

Задание 1

Вычислить определитель, используя правило треугольника и метод разложения по элементам ряда.

Решение:

По правилу треугольника:

Методом разложения по элементам ряда.

Ответ: -1026

Задание 2

Найти матрицу f (А) по данной матрице, А и функции f (x):

A=, f (x)=6xІ+7x+15

Решение:

Найдем

Найдем 7А

++=

Задание 3

Для матрицы, А найти обратную. Проверить равенство

А=

Решение:

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.

2) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.

Запишем результаты в присоединенную матрицу.

3) Транспонируем присоединенную матрицу.

4) Найдем обратную матрицу по формуле:

5) Проверим равенство:

Задание 4.

Даны матрицы ,. Вычислить матрицу D

Решение:

Найдем произведение матриц, А и В.

Транспонируем матрицу С Найдем матрицу D .

Задание 5.

Решить систему уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом.

Решение:

Решим систему методом Кремера.

Вычислим определитель основных коэффициентов.

Найдем добавочные определители, и

Найдем значения переменных по формулам Кремера:

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Решим систему матричным методом.

Запишем систему в матричном виде

или, откуда

Найдем матрицу .

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.

2) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.

Запишем результаты в присоединенную матрицу.

3) Транспонируем присоединенную матрицу.

4) Найдем обратную матрицу по формуле:

Найдем произведение этой матрицы на матрицу свободных коэффициентов.

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольной форме путем элементарных преобразований (они указаны справа у каждой строки).

??

Запишем систему, соответствующую последней расширенной матрице, и найдем неизвестные.

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Ответ: (-1;-1;-1)

Задание 6.

Даны вершины треугольника АВС.

А (2,2), В (2,-1), С (-3,0)

Найти:

уравнения сторон треугольника;

уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины В.

уравнение прямой l₁через точку С, l₁|| АВ;

уравнение прямой l₂ через точку В, l₂ l₁;

точку пересечения l₁ и l₂.

1. Уравнение прямой через две точки имеет вид:

Уравнение АВ: Уравнение АС:

Уравнение ВС:

2. Составим уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины В.

Найдем координаты середины отрезка АС, точки М по формуле:

А (2;2) С (-3;0) М: ,

следовательно, М (-0,5;1)

Составим уравнение медианы ВМ по формуле:

Уравнение ВМ:

Так как ВНвысота, опущенная на АС, то ВНАС.

Составим уравнение высоты ВH по формуле:

где и — координаты вектора, перпендикулярного прямой ВН.

Координаты вектора находим по формуле ().

АС (-5;-2) и В (2;-1)

Уравнение ВН:

Составим уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно АВ.

3. Используем формулу прямой, проходящей через точку параллельно вектору:

где и — координаты вектора АВ, параллельного прямой .

АВ (0;-3) и С (-3;0)

Уравнение :

4. Составим уравнение прямой l₂, проходящей через точку В, l₂ l₁;

5. Найдем точку пересечения прямых l₁ и l₂. Для этого решим систему уравнений этих прямых.

Таким образом, точка пересечения: (-3;-1)

Задание 7

Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ ;

2) площадь грани А₁А₂А₃ ;

3) объем пирамиды ;

4) уравнения прямой А₁А₂ ;

5) уравнение плоскости А₁А₂А₃ ;

6) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ .

Сделать чертеж.

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1) .

Решение

1. Найдем угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃

Составим уравнение прямой по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₄ (8; 4; 1) .

т. е. А₁А₄ :

Составим уравнение плоскости А₁А₂А₃ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8),

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим А₁А₂А₃ :

Из уравнения прямой А₁А₄: направляющий вектор

Из уравнения плоскости А₁А₂А₃: нормальный вектор

Найдем синус угла между прямой и плоскостью по формуле:

Найдем скалярное произведение векторов по формуле:

Найдем длины векторов по формуле:

Найдем синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А_3.

2. Найдем площадь грани А₁А₂А₃. Для этого достроим треугольник А₁А₂А₃ до параллелограмма.

Рассмотрим векторное произведение 2-х векторов .

Векторное произведение выражается формулой:

Найдем координаты векторов и. Вычислим векторное произведение.

Длина (модель) векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно. Площадь треугольника равна

3. Объем пирамиды. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение вычисляется по формуле:

Найдем смешанное произведение векторов

4. Составим уравнение прямой А₁А₂ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), .

Окончательно:

5. Составим уравнение плоскости А₁А₂А₃ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8),

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим А₁А₂А₃ :

6. Составим уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ .

Из уравнения плоскости А₁А₂А₃: нормальный вектор

Высота проходит через точку А₄ (8; 4; 1) параллельно вектору. Используем формулу:

Подставим координаты точки А₄ и вектора .

Задание 8

Заданы координаты векторов a b c d и точек М1, М2, М3, М4

Требуется:

1) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1 и имеет нормальный вектор a .

2) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М1, М2, М3.

3) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М2 и параллельной плоскости, проходящей через точки М1, М3 и М4

4) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М2, М3 и перпендикулярной к плоскости, проходящей через точку М1 с нормальным вектором b .

5) Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 с направляющим вектором c.

6) Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве, если она является линией пересечения плоскостей (из 1-го задания) и (из 2-го задания). Осуществить переход от общего уравнения к каноническому.

7) Составить уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 и М3.

8) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 параллельной прямым L1 (из 5-го задания) и L2 (из 6-го задания).

9) Определить угол между прямой L1 (из 5-го задания) и плоскостью (из 2-го задания).

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М2 и параллельной плоскости, которая проходит через точку М1 с нормальным вектором d.

Решение

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, имеет вид:

Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(4;5;-3) и имеет нормальный вектор a (1;1;-5) .

После преобразований получим:

:

2. Составим уравнение плоскости по формуле:

М₁ (4; 5; -3), М₂ (-2; 5;-3), М₃ (-2; 1;-1)

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости :

3. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) и параллельной плоскости, проходящей через точки М₁ (4; 5; -3), М₃ (-2; 1;-1) и М₄(-6;5;2).

Уравнение плоскости:

;

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, имеет вид:

Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) с нормальным вектором плоскости. .

После преобразований получим уравнение плоскости :

4. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точки М₂ (1;-1;0), М₃ (-2; 1;-1) и перпендикулярной к плоскости, проходящей через точку М₁ (4; 5; -3), с нормальным вектором b (-3;6;-4) .

Запишем уравнение плоскости

Составим уравнение плоскости .

Подставим в это уравнение координаты точек М₂ (1;-1;0), М₃ (-2; 1;-1) получим:

Так как плоскость перпендикулярна к плоскости, то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны.

т. е., откуда

Решим систему уравнений Пусть С=1, тогда и, следовательно

Подставим координаты точки М₂ (1;-1;0) и вектора в уравнение После преобразований получим уравнение плоскости :

5. Составить каноническое уравнение прямой L₁, проходящей через точку М₃ (-2; 1;-1) с направляющим вектором c (3;6;2).

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:

Подставим координаты и получим уравнение прямой L₁ :

6. Составить общее уравнение прямой L₂ в пространстве, если она является линией пересечения плоскостей: и:. Осуществить переход от общего уравнения к каноническому. Уравнение прямой L₂

Пусть z=0, тогда

Получим точку (;;0), принадлежащую прямой L₂.

Найдем координаты направляющего вектора по формуле:, где,. Вычислим векторное произведение.

Направляющий вектор прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:

Подставим координаты точки (;;0)и и получим уравнение прямой L₂ :

7. Составим уравнение прямой L₃, проходящей через точки М₂ (1;-1;0), М₃ (-2; 1;-1)

Составим уравнение прямой по формуле:

.

Окончательно уравнение прямой L₃:

8. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (4; 5; -3), параллельной прямым L₁: и L₂: .

Уравнение плоскости имеет вид:

;

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости:

9. Определим угол между прямой L₁: и плоскостью :

Найдем синус угла между прямой L₁и плоскостью

10. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ (1;-1;0) и параллельной плоскости, которая проходит через точку М₁ (4; 5; -3), с нормальным вектором d (-1;2;5).

Так как плоскости параллельны, то нормальный вектор плоскости является также нормальным вектором для плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, имеет вид:

Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) и имеет нормальный вектор d (-1;2;5).

треугольник уравнение гаусс матричный После преобразований получим:

: