Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний

Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной ии (х,?)-ихх (х, г) = 0. (1).

Уравнение (1) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.

Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см. например, [1] - [34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным ¡-смещением и" начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.

Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой теримнологии, мы будем называть критическим (Ткрит) — Было показано (см., например, [18],[19],[21]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших Ткрит. существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (1) было установлено, что Ткрит = в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I в случае управления на двух концах.

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж. Л. Лионе ([1], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре Г2 х (0,Т) с начальными условиями и (х, 0) = <�р (х), 0) = чр (х), в Г2 (2) и граничными условиями u (x, t) = n (t), в Г х (О, Т). (3).

Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов: <�р (х) е ?2^), G? x{t) € L2[0,T], a u (x, t) являлось слабо обобщенным решением. Задача заключалась в нахождении такой функции ?{t) е L2[0,T], для которой в классах Ь2 и Я-1 выполнялись бы равенства и (ж, Т) = 0- щ{х, Т) = 0, в U, (4) где u (x, t) — решение задачи (1) — (3) с граничным условием? u,(t). Лионсом была доказана неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времениТ > 2R (Q) 1 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае.

В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [6]) на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.

В статье Ф. П. Васильева [7] была’предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ([8], [9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.

А.З. Ишмухаметовым в работе [10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.

Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались А. Г. Бутковский, А. И. Егоров и Л. Д. Акуленко (см., например, работы [ 11 ] - [ 14]).

Большой цикл работ, выполненный В. А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 — 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W%(QT), а потом и из класса здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < /] х [0 < t < Г]. Эти.

Под Л (П) понимается диаметр области П классы были впервые введены В. А. Ильиным в работах [15], [18]. Так класс И^фг) определяется как2 множество функций и (х, ?), непрерывных в прямоугольнике От и имеющих в нём обе обобщенные производные их (х, Ь), щ (х, 1), каждая из которых не только принадлежит классу Ь2{Ят), но и принадлежит классу Ь2[0, /] для всех? е [О, Г] и классу Ь2[0, Г] для всех х е [0,1}. Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия. В работах В. А. Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния (2) в произвольное финальное состояние и (х, Т) = <�р (х) щ{х, Т) = :ф (х), (5) Л где <�р (х) е Ш2[0,/], ф (х) € Ь2[0,1. При этом отдельно исследовались случаи управления на двух концах и управление на одном конце.

В работах [15]- [22] был подробно изучен случай малых промежутков времени Т: 0 < Т ^ ТкритСначала в работах В. А. Ильина [15] и [16] для управления смещением на двух концах и для управления смещением на одном конце при закрепленном втором были установлены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия для существования единственного решения из класса ^(ф^) задачи граничного управления, при выполнении которых это решение выписывалось в явном виде, а также была конструктивно доказана неединственность (континуальность) решения данных задач при промежутках времени Т строго больших, чем ТкритЗатем в работах [17], [20] - [22] эти результаты были перенесены на случай задач с другими граничными условиями. В свете этих результатов особую актуальность приобретают задачи оптимизации, которые позволили бы выделить из бесконечного числа решений то, которое минимизирует граничную энергию струны. Поэтому, в дальнейших работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева (см., например, [23] - [29]) был сформулирован критерий оптимальности, основанный на минимизации соответствующего интеграла граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из выполнения начальных и финальных условий и условия согласования начальных и финальных смещений. Была доказана единственность оптимального решения, удовлетворяющего этому критерию. Это решение предъявлялось в явном виде для промежутков времени Т кратных 21 или 41.

Для решения аналогичных задач при произвольных (больших Ткрит) промежутках времени техники развитой в работах [23] - [29] оказалось недостаточно, поэтому потребовалась ее существенная модификация. В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым был разработан новый метод.

2Класс И’гСФг) определяется аналогично см. [15] см., например, [30] - [35]), основанный на сведении рассматриваемой задачи оптимизации к другой задаче, содержащей произвольную постоянную в минимизируемом интеграле и не содержащей условия согласования начальных и финальных условий.

В задачах оптимизации с одним закрепленным концом ([30], [31]) было доказано, что если вместо функции, доставляющей минимум интегралу граничной энергии т т.

J fj!(t)fdt или J[n{t)fdt, о о искать функцию, минимизирующую интеграл с подынтегральным выражением, возведенным в произвольную степень р т т.

J ?'(t)pdt или J Ht) pdt, о о то при всех р ^ 1 оптимальные граничные управления будут иметь тот же аналитический вид, что и при р = 2.

Г. Д. Чебакаури (см. [36]) при 0 < Т < Ткрит рассмотрел случай, когда начальные и финальные функции не удовлетворяют необходимым условиям существования граничного управления, полученным в работе [21 ]. Он нашел в явном виде финальные функции (p*(x), ip*(x), наименее отклоняющиеся в метрике W^fO, /] х Ь2[0,1] от желаемого, но недостижимого финального состояния (р (х),-ф{х).

Отметим, что во всех вышеуказанных работах решались задачи граничного управления, основанные на смешанных задачах с краевыми условиями первого и второго родов. Процессы с условиями третьего рода также изучались некоторыми авторами. Назовем работы В. В. Тихомирова [37],[38], J1.H. Знаменской [39], A.C. Дудкина (в печати). В перечисленных работах исследование проводилось лишь для промежутков времени Т, не превосходящих Ткрит, когда решение задачи граничного управления не более, чем единственно3. Отметим также работу Ф. О. Найдюка и В. Л. Прядиева [40], в которой изучалась смешанная задача для волнового уравнения (1) с однородными граничными условиями.

0,0 = 0, ux (l, t) + hu (l, t) = 0, ?>0 и следующими начальными условиями и (х, 0) = </?(ж), щ (х, 0) — 0, 0 ^ х ^ I.

3 В работе В. В. Тихомирова [38] кроме того была доказана неединственность решения задачи граничного управления смещением на левом конце струны при упруго закрепленном правом конце для промежутков времени Т > Ткрит.

В работе М. М. Потапова [41] была предложена устойчивая вычислительная процедура построения приближенных решений задач управления и наблюдения для широкого класса линейных динамических систем. В дальнейших работах ([42],[43]) была показана применимость этого метода для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями третьего рода для случаев односторонних и двусторонних граничных управлений. Построенные в этих работах разностные приближения, при измельчении разностной сетки сходятся сильно в метрике пространства Ь2 к граничным управлениям с минимальнойнормой.

Трудности в изучении управляемых процессов с граничными условиями третьего рода по сравнению с их аналогами с краевыми условиями Дирихле и Неймана были вызваны отсутствием на достаточно больших временных промежутках аналитических представлений для обобщенных решений смешанных задач при фиксированных управлениях. Существенным прорывом в исследовании задач управления с граничными условиями третьего рода стала работа Е. И. Моисеева и В. В. Тихомирова [44]. В ней была решена в аналитической форме следующая смешанная задача с однородным краевым условием третьего рода для произвольных промежутков времени Т. Именно в этой работе было установлено, что для представления этого решения в явном виде приходится использовать полиномы Лагерра4. Попутно в этой статье была доказана единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с первым и третьим краевыми условиями. Решение сформулированной смешанной задачи, полученное в работе Е. И. Моисеева и В. В. Тихомирова [44], имеет вид5 где L (z) — полиномы Лагерра.

В свете перечисленных выше работ, приобретают актуальность следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение смешанных задач с неоднородным условием.

4Определение ортогональных полиномов Лагерра см. [45, с. 188].

5Через /?(t) обозначена функция, равная функции /i{t) и продолженная нулем при t ^ 0. utt{x, t) — uxx (x, t) = 0, и{х, 0) = 0, щ (х, 0) = 0, u (Q, t) = fi{t), ux (l, t) + hu (l, t) = 0 оо u (x, t) = iJ,{t-x-2kl) — p (t + x-2kl) + и.

6) третьего рода. Во-вторых, представляет интерес исследование малоизученных задач граничного управления с условием третьего рода. В частности выделение оптимального (единственного) решения задачи граничного управления — установление критерия оптимальности при промежутках времени больших Ткрит, основанного на минимизации некоторого интеграла граничной энергии.

Эти задачи и рассматриваются в настоящей диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию смешанной начально-краевой задачи для волнового уравнения (с нулевыми начальными условиями, неоднородным третьим краевым условием на левом конце струны ж = 0и неоднородным первым краевым условием на правом конце х = 1).

О — ихх (х, 0 = 0, в (Зг, и (ж, 0)=0, ^(т, 0) = 0, при 0 ^ х ^ /, их{0,0 — М0,0 =/ДОи (М) = 1/(0. приодет, где и (х, ?) — обобщенное решение из класса Ж^фт), fj. it) е Ь2[0,Т], и (1) е И-^О, Т]. Показывается как решение данной задачи может быть использовано для изучения задачи граничного управления при промежутках времени Т меньших Ткрит = IУставливается единственность решения задачи граничного управления при данных значениях промежутка времени Т.

Вторая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с неоднородным условием Неймана на левом конце струны и неоднородным третьим краевым условием на правом конце. То есть задачи ии (х, 0 — ихх (х, 0 = 0, в (Зт, и (х, 0) = 0, щ (х, 0) = 0, при 0 < х < I, их{о, о =/ДО. их (1,г) + /ш (м) = КОприо^г^т, где и (х, 0 — обобщенное решение из класса /х (0 € Ь2[0,Т], и{0 6 Ь2[0,Т].

Доказывается единственность поставленной задачи в классе обобщенных решений при произвольных Т > 0. Аналогично первой главе, показывается как эта смешанная задача используется для решения задачи граничного управления при докритических промежутках времени Т: 0 < Т < I.

Третья глава посвящена установлению критерия оптимальности для решения задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с управлением третьим краевым условием на левом конце струны при закрепленном правом.

Для постановки задачи оптимизации введём в рассмотрение следующую функцию Н (?, г), определенную равенством.

Н (*, т) = {е~Нт ¦ [Цпт+1(2Лт) + Ь1пт (2Нг)], при 21 т <? < Щт + 1), т = 0,2та + 1},.

Поставим задачу, заключающуюся в отыскании среди всех функций р^) е Ьр[О, Т], являющихся граничными управлениями, той, которая доставляет минимум обобщенному интегралу граничной энергии г г о о при наличии условий связи, извлекаемых из выполнения произвольно заданных начальных и финальных условий. Доказывается следующая.

ТЕОРЕМА Решение рассматриваемой задачи граничного управления, удовлетворяющее данному критерию оптимальности, существует.

На каждом отрезке [21т, 21 (т + 1)] (т = 0,2п + 1) оно представляется формулой.

— 1) т+1 щу 21т),. .{-)тЛ1Щ1−21т)^± ас, р

2п + 2 о где Т>(у) — определяемая в явном виде функция, зависящая только от начальных и финальных условий задачи,.

2П-тп+2 / 2п т + 2.

0/-*) = 1Р1(2п-тп + 1- г- %-*)), г=0 V 2 /.

1Р1(ас- г) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера см. [46, с. 183]. При р > 1 вышеуказанное оптимальное решение является единственным.

Приложение, А посвящено изучению задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с неоднородным условием второго рода на левом конце струны и с упруго закрепленным правым концом. Трудность решения этой задачи состоит в отсутствии условия закрепления. Поэтому, кроме условия связи, являющегося равенством функций из ?2, потребовалось выписать еще одно условие, названное В. А. Ильиным условием согласования начальных и финальных смещений. Для решения данной задачи потребовалось разработать новый метод оптимизации, основанный на продолжении финальных функций на отрезок [—Т, Т], а также использовать технику из работ [32] - [35]. Это позволило провести минимизацию интеграла от квадрата граничного управления. Функция минимизирующая этот интеграл энергии, выписывается в явном виде.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю В. А. Ильину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. А также Е. И. Моисееву, А. А. Кулешову, М. М. Потапову и В. В. Тихомирову за полезные обсуждения.

1. J. L. Lions, «Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems» // S1. M Review, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1−68.

2. J. L. Lions, «On the controllability of distributed systems» // Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 4828−4835, May 1997, Applied Mathematics.

3. E. Zuazua, «Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation» // J. Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1−31.

4. Michael V. Klibanov and Masahiro Yamamoto, «Exact Controllability for the Non Stationary Transport Equation» // SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 46, Issue 6 Pages 2071;2195.

5. Li Tatsien, Wang Zhiqiang, «A Note On The Exact Controllability For Nonautonomous Hyperbolic Systems» // Communications on Pure and Applied Analysis, Volume 6, Number 1, 2007pp. 229−235.

6. Komornik V. «Exact controllability and stabilization. The multiplier method», // Chichester: John Wiley and SonsParis: Masson, 1994.

7. Ф. П. Васильев, «О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения» // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, номер 11. с. 1893 1900.

8. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов «Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны» /'/ Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. № 3, с. 8- 15.

9. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, А. В. Разгулин «О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны» // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. № 2, с. 3 8.

10. А. 3. Ишмухаметов «Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня» // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1981. № 4, с. 46 50.

11. А. Г. Бутковский «Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами» // М.: Наука, 1965.

12. А. И. Егоров," Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах" // Прикладная матиматика и механика. 1963. Т.27, N 4. с. 688−696.

13. А. И. Егоров, «Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности «// Изв. АН СССР. Серия Математика 1965. — Т.29, N6. с. 1205−1256.

14. JI. Д. Акуленко «Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия» // Прикладная математика и механика, 1981, Т.45, Вып. 6, с. 1095−1103.

15. В. А. Ильин, «Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени» // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 11. с. 1517- 1534.

16. В. А. Ильин, «Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце» // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 12. с. 1640−1659.

17. В. А. Ильин, В. В. Тихомиров «Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса «// Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N5. с. 692 704.

18. В. А. Ильин, «Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией» // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, N11. с. 1513 1528.

19. В. А. Ильин, «Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией» // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N12. с. 1670 1686.

20. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури, «Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса» // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N 6. с. 806 815.

21. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури," Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N8. с. 1082−1095.

22. A.A. Никитин, «Граничное управление упругой силой на одном конце струны», // Доклады академия наук. 2006. Т.406, № 4. с. 458−461.

23. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, «Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце» // Дифференциальные уравнения. 2005. TAI, N 1. с. 105 115.

24. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, «Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны», // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N1. с. 16 20.

25. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 5. с. 587 591.

26. В. А. Ильин, «Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны», // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 6. с. 731 735.

27. Ильин В. А., Моисеев Е. И. «Оптимизация граничных управлений колебаниями струны» Ц УМН, 2005, Т. 60, № 6 с. 89−114.

28. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2004. Т.399, N 6. с. 727 731.

29. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на двух концах", // Доклады академии наук, 2005. Т.402, N2. с. 163 169.

30. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой" // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42, N12. с. 1699−1711.

31. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, «Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за любой достаточно большой промежуток времени» // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N10. с. 13 691 381.

32. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны" // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N11. с. 1528−1544.

33. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени" II Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N12. с. 1655−1663.

34. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промеэюуток времени Ц Дифференциальные уравнения, 2008. Т.44, N1. с. 89−110.

35. Г. Д. Чебакаури, «Оптимальное граничное управления процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в случае ограниченной энергии» // Дифференциальные уравнения. 2007. ТАЗ, N4. с. 553−561.

36. В. В. Тихомиров, «Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. Г // Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 3. с. 393−403.

37. В. В. Тихомиров, «Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. И» II Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 4. с. 529−537.

38. Л. Н. Знаменская, «Управление упругими колебаниями», // 2004. М. ФИЗМАТЛИТ.

39. Ф. О. Найдюк, В. Л. Прядиев," Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода" Л Вестник В ГУ, Серия физика, математика, 2004, N1. с. 115−122.

40. М. М. Потапов, «Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором» // Доклады академии наук. 1999. Т. 365. № 5. С. 596−598.

41. М. М. Потапов, «Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами», // Доклады академии наук, 2007, том 414, № 6, С. 738−742.

42. М. М. Потапов, «Разностная аппроксимация задач Дирихле наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода» // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47, № 8, с. 1323−1339.

43. Е. И. Моисеев, В. В. Тихомиров, «О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. 2005. Вып. 5. с. 42−52.

44. Г. Бейтмен, А. Эрдейи," Высшие трансцендентные функции. Т. 1″ // М. Наука, 1973.

45. Г. Бейтмен, А. Эрдейи," Высшие трансцендентные функции. Т. 2″ // М. Наука, 1974.

46. Ильин В. А., «О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений» // УМН. 1960. Т.15, номер 2. с. 97 154.

47. А. С. Калашников, «Классы единственности для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Вольтерра типа свертки», // «Функциональный анализ и его приложения», // 1979. Т. 13, N2. с. 83 84. Публикации автора по теме диссертации.

48. А. А. Никитин, Граничное управление третьим краевым условием, // Автоматика и телемеханика. 2007, № 2, с 120−126.

49. A.A. Никитин, Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием, // Доклады академии наук. 2007, Т.417, № 6, с 743−745.

50. А. А. Никитин, О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференциальные уравнения, 2007, ТАЗ, № 12, с 1692—1700.

51. A.A. Никитин, A.A. Кулешов, Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, № 5, с 681−690.