Свойства функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой

Теория оптимального быстродействия, основу которой составляет принцип максимума JI.C. Понтрягина [1]—[4], предоставляет принципиальную возможность построения оптимальных процессов во многих прикладных задачах. Наиболее полно изучена задача быстродействия для линейных стационарных систем (см. [2]-[7] и библиографию в [8]), для которых в ряде случаев удается построить позиционное управление [2, гл. 1, § 5], [5]. Если же изучаемая система оказывается нестационарной, то для таких систем, как правило, строится программное управление [9]-[12]. Вопросы существования и построения позиционного управления достаточно изучены для автономных систем [13] (в том числе для автономных систем с возмущением [14]), тогда как для неавтономных систем эти вопросы изучены достаточно мало [15, гл. 5, § 20], [16].

Рассмотрим задачу быстродействия для управляемой нестационарной системы x = v (t, x, u), (t, x) eR1+n, и Elf, (0.1) где U — компакт вГ, 0? U и v (t, 0,0) = 0. Пусть D = Rx D (t) — некоторая фиксированная область в пространстве М1+п, 0? intD (i).

Определение 0.1. Функцию u (t, x), определенную в области D и принимающую значения в U будем называть устойчивым к внешним возмущениям позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, если выполнены следующие четыре условия.

1. Для всякой точки (¿-о, xq)? © решение x (t-to, XQ) (понимаемое в смысле А. Ф. Филиппова [17, с. 40]) замкнутой системы х — v (t, х, u (t, х)) определено и единственно при всех t ^ tq. 0.

2. Найдется такой момент времени что x (t-tQ, x0).

3. Программное управление u (t-to, xo) =u (t, x (t-to, xo)) является оптимальным для задачи быстродействия $(«(•)) —>¦ min, x = v (t, x, u), и G U, (0.2) x (t0) = х0, x (t 0 + #)=0.

Время быстродействия для задачи (0.2) обозначим rn (to, xo).

4. Для всякого е > 0 найдется такое $ > 0, что каждой функции w (t, x) G О£(0), (t, x) G D, и любому rj > 0 отвечает функция w^t^x) G 0™(w (t, x)), (t, x) G 2), для которой любое решение xv (t-tQ, xo) (в смысле А.Ф. Филиппова) системы.

X = v (t, X, u (t, х)) + Wq (t, х), (t, x) eD, (to, Xo) G 5), (0.3) удовлетворяет равенству x^tto, xo) |i=i = 0 при некоторомд^ = ^r,(to, xo) > 0, причём |^(i0,?o) — Tn (t0,x0) < e.

Последнее условие обычно не включается в определение позиционного управления, оптимального в смысле быстродействия, но это условие является важным с точки зрения приложений, поскольку обеспечивает непрерывную зависимость времени быстродействия от возмущений основной системы (0.1). Это условие близко к требованию универсальности стратегии в теории дифференциальных игр, которое впервые введенно H.H. Красовским [18] и подробно изучалось в работах H.H. Красовского и его учеников [19], [20].

Замечание 0.1. Поскольку всюду в этой работе рассматривается лишь устойчивое к внешним возмущениям позиционное управление, оптимальное в смысле быстродействия, то для краткости это управление будет называться позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия или просто позиционным управлением.

Замечание 0.2. Для некоторых систем функция го (?, ж) может быть «большой». Как следует из сформулированной ниже теоремы 0.10, для класса систем, рассматриваемых в данной работе, эта функция должна удовлетворять лишь «односторонним» ограничениям. Так, для скалярного уравнения х = и + IV (х), |и| ^ 1 управление 1, х<0.

ЩХ) = <

— 1, я>0 является позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, если, например, и)(х) = —ж3 +втж.

Замечание 0.3. Предположим, что для нестационарной возмущенной системы вида (0.3) существует позиционное управление и (Ь, х), оптимальное в смысле быстродействия. Сложность синтеза такого, управления заключается в следующем. Для построения поверхностей переключения (которые обозначим Мп) необходимо решить при каждом фиксированном Ц задачу синтеза программного управления о5^о) Для? ^(¿-о) — Иными словами, для решения задачи синтеза необходима информация о состоянии системы в будущем, что не всегда возможно (например, в случае случайных возмущений «-(£, х)). Если же для позиционного управления я), оптимального в смысле быстродействия, основной (невозмущенной) системой и для возмущений этой системы выполнено четвертое условие определения 0.1, то, решив один раз задачу синтеза для основной системы, можно обеспечить (под действием полученного управления)^{-оптимальное} поведение возмущенной системы.

В этой работе изучен класс линейных нестационарных систем вида х = А (г)х + &(*)", жеК", (0.4) с одним входом, для которых существует позиционное управление, оптимальное в смысле быстродействия. Также изучается структура множества управляемости и свойства функции быстродействия таких систем. Все результаты получены в предположении неосцилляции решений сопряженной системы ф = -фА{г) (0.5) относительно гиперплоскости, определяемой нормальным вектором &(?). Системы (0.4), для которых выполнено это условие, названы в [21] докритическими. Термин «докритичность» введен в 50-е годы Н. В. Азбелевым в работах, посвященных краевым задачам и дифференциальным неравенствам: так назывался максимальный интервал разрешимости фиксированного класса задач Валле-Пуссена. Оказалось, что вопрос о существовании оптимального в смысле быстродействия позиционного управления для системы (0.4) тесно связан с вопросом о разрешимости некоторого класса п-точечных задач.

Показано, что, независимо от гладкости, А и 6, в любой окрестности нуля пространства (?, ж)-переменных существуют (отличные от нуля) точки, в которых функция быстродействия теряет гладкость, но таких точек «достаточно мало». Более точно, в работе показано, что, в предположении докритичности, в расширенном фазовом пространстве (пространстве (?, ж)-переменных) существует слабо инвариантное гладкое многообразие Мп размерности п, содержащее нуль и обладающее тем свойством, что в каждой точке (?, х)? Мп функция быстродействия не имеет производной. Далее, во всех точках (?, х) множества ?) = {(£, х): ^? 1, тп^, х) < сг (£)} (ст (£) определяет интервал докритичности), не лежащих на многообразии Л/" «, функция быстродействия имеет гладкость на единицу больше гладкости функции? —> (А (£), &(?)), задающей систему (0.4).

Оказывается, что аналогичным образом функция быстродействия ведет себя на многообразии Л/'&trade-: во всех точках многообразия ЛГ", за исключением точек, находящихся на некотором (слабо инвариантном) подмногообразии ЛЛ1−1 размерности п — 1, функция тп{Ь, х) непрерывно дифференцируема при (?, х) Е И в направлении любого вектора, лежащего в пространстве, касательном к Мп в точке х).

Многообразия Мк, к = 1 ,., п, обладают тем свойством, что на них оптимальное в смысле быстродействия управление разрывно (управление переключается с +1 на — 1 или с —1 на +1), а конус допустимых векторов скоростей (который направляет оптимальное движение, если понимать такое движение в смысле определения А.Ф. Филиппова) касается одного из многообразий Мк (т. е. конус находится по одну сторону от касательного пространства и имеет с этим пространством общий вектор). Это обстоятельство позволяет корректно определить позиционное управление, оптимальное в смысле быстродействия. При этом позиционное управление достаточно задать только на многообразии М1+п максимальной размерности, так как движения (?, ж (£)) (в смысле Филиппова) системы с разрывной по фазовым координатам правой частью не зависят от того, как определена правая часть на множествах, мера Лебега которых (в М1+п) равна нулю. Таким образом, наличие докритичности (факторизации Полиа-Маммана) влечет существование позиционного управления, оптимального в смысле быстродействия.

В работе описан класс таких допустимых возмущений основной докритической системы (0.4), что оптимальное в смысле быстродействия позиционное управление для основной системы доставляет в нуль каждое решение возмущенной системы (не обязательно за минимальное, но за конечное время), начинающееся в точках расширенного множества управляемости ?).

Сконструированы и реализованы численные алгоритмы оценки интервала докритичности и моделирования многообразий Д^, к = 1,., п — 1 и Мк, к = 1,., п, приведены численные примеры и иллюстрации.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [21]—[25].

Ниже приведены формулировки основных результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов.

1. Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, Вып. 1(85). С. 3−20.

2. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, С. 384.

3. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22, № 4. С. 449−474.

4. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования // Изв. АН СССР. Сер. матем. 3(1968), Т. 28, С. 481−514.

5. Черноусько Ф. Л., Шматков A.M. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка. // Прикл. матем. и мех. 1997. Т. 61, Вып. 5. С. 723−731.

6. Киселев Ю. Н. Оптимальный синтез в гладкой линейной задаче быстродействия // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 232−237.

7. Благодатских В. И. Линейная теория оптимального управления. М.: Наука, 1978.

8. Аввакумов С. П., Киселев Ю. П., Орлов М. В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 3−31.

9. Тонкое Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 12. С. 2180−2185.

10. Тонкое Е. Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 2. С. 269−278.

11. Сатимов Е. Я., Азамов А. О числе переключений в линейных системах //Изв. АНУзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1982. № 2. С. 20−23.

12. Тонкое Е. Л. Неосцилляция и структура множества управляемости линейного уравнения // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. Вып. 5 (233). С. 131.

13. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Прищепова C.B. Синтез оптимальной по быстродействию дискретной системы // Автомат, и теле-мех., 1991, № 12, С. 92−99.

14. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И. Оптимизация линейной системы управления в режиме реального времени. // Техническая кибернетика, 1992, № 4, С. 3−19.

15. Тонкое Е. Л. К теории линейных управляемых систем // Дис. д.ф.-м.н., ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1983, С. 267.

16. Альбрехт Э. Г., Ермоленко Е. А. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 33, № 11. С. 1443−1450.

17. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985, С. 223.

18. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

19. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985, С. 518.

20. Субботина H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19. № 11. С. 1890−1896.

21. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1996, m 2(8), С. 47−68.

22. Николаев С. Ф. Функция быстродействия и позиционное управление // Тезисы докладов международгой математической конференции «Еругинские чтения-IV», Витебск, 20−22 мая 1997 г. — С. 77−78.

23. Николаев С. Ф. Численная оценка интервала докритичности // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1998. № 1(12). С.81−88.

24. Николаев С. Ф., Тонкое E.JI. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1998, № 2(13), С. 3−26.

25. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения хpn (t)x = 0 // Успехи матем. наук. 1969. Т. 24, № 2(146), С. 4396.

26. Brunovski P. Regular synthesis and singular extremas // Lect. Contr. and Inform. Sei. 1980, V. 22, P. 280−284.

27. Brunovski P. Existence of regular synthesis for general control // J. Different. Equat., 1980, V. 38, № 3, P. 317−343.

28. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М., 1985.

29. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М., 1986.

30. Родионова А. Г., Тонкое Е. Л. О непрерывности функции быстродействия линейной системы в критическом случае // Изв. ВУЗов. Математика. 1993, № 5(372), С. 101−111.

31. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М., 1974.

32. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., 1973.

33. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., 1968. С. 475.

34. Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans. Automat. Control, 1965, Vol. 10, № 1.

35. Боднер В. А. Теория автоматического управления полетом. М., 1964.

36. Азбелев Н. В., Цалюк З. В. К вопросу о распределении нулей решений линейного дифференциального уравнения третьего порядка. // Математический сборник. 1960, Т. 51(93), № 4, С. 475−486.

37. Антонов И. Л. Случайные колебания. Свойства траекторий. М.: Изд-во механико-математич. факультета МГУ, 1993, С. 176.

38. Bressan Aldo, Motta Monica. On minimum time problems for a pendulum with variable length and a conjecture based on a law of Galilei // Atti. 1st. veneto sci., lett. ed arti. CI. sci. fis., mat. e.natur. 1993;1994(1995). 152, № 3. P. 305−314.

39. Брусин B.A. Глобальная стабилизация системы «обращенный маятник на тележке» при действии на маятник неизмеряемых возмущений // Изв. АН. Техн. кибернет. (Россия). 1993. № 3. С. 30−39.

40. Lawson J.D. Generalized Runge-Kutta processes for stable systems with large Lipschitz constants // SIAM Journal on Numerical Ana-lisys, 1967, V. 4, № 3.

41. Субботин А. И. Минимаксные решения уравнений с частными производными первого порядка // Успехи матем. наук, 1996. Т. 51. Вып. 2(308). С. 105−138.

42. Aubin J.-P. Mutational and Morphological Analysis. Tools for Shape Regulation and Optimization. 1998. 352 p.