Когомологии и спектральный синтез ?-равномерных алгебр

В сороковых годах прошлого века И. М. Гельфандом была создана теория коммутативных банаховых алгебр. Согласно этой теории, каждой коммутативной (полупростой) банаховой алгебре можно поставить в соответствие некоторую банахову алгебру функций па локально компактном пространстве с нормой не слабее равномерной.

Спустя более десяти лет работами Г. Е. Шилова были заложены основы теории равномерных алгебр, банаховых алгебр непрерывных функций на компактных множествах, наделенных равномерной нормой. Теория коммутативных банаховых алгебр, в частности теория равномерных алгебр, пролила свет на ряд разделов математического анализа, выявила их алгебраическую сущность.

Позднее появляются работы Э. Бишопа, А. Глисона, Дж. Вернера, А. Броудера, Т. Гамелина, Е. А. Горина и других, обогатившие теорию равномерных алгебр.

В середине семидесятых годов прошлого века Р. Баком в работе «Bounded continuous functions on a locally compact space», опубликованной в мичиганском математическом журнале, начато исследование /3-равномерных алгебр, то есть алгебр функций на локально компактном пространстве, наделенных топологией с помощью непрерывных функций, обращающихся в ноль на бесконечности (/3-топологии, построение этой топологии будет описано далее). Такие алгебры являются естественным обобщением равномерных алгебр, и, как показано в этой работе, из каждой равномерной алгебры можно получить нетривиальную /^-равномерную алгебру. Работы последующих исследователей /3-равномерных алгебр посвящались, с одной стороны, распространению результатов из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, а с другой стороны, выяснению таких свойств этих алгебр, у которых нет аналогов для равномерных алгебр (см. [31],.

Данная работа посвящена исследованию свойств /5-равномерных алгебр. В ней рассматриваются два типа задач: распространяются известные утверждения из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, и доказываются утверждения, которые справедливы только для /3-равномерных алгебр.

Интерес к изучению /3-равномерных алгебр связан с возможностью приложения их к вопросам С*-алгебр, теории динамических систем, теории функций многих комплексных переменных, теории локально выпуклых алгебр на локально компактных группах.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию свойств /?-равномерных алгебр. В ней, наряду с известными результатами, есть новые утверждения, в частности, показано, как из равномерных алгебр строить /3-равномерные алгебры.

Пусть О. — локально компактное множество. Множество называется ег-компактным, если Q = Ц?=1 К, где Fn с Fn+ j и каждое Fn — компактное множество. Везде в этой работе под локально компактным множеством будем подразумевать о-компактное мноэ/сество.

Пространство Сь (П) всех непрерывных, ограниченных комплекснозначных функций на локально компактном пространстве Q является банаховым пространством относительно равномерной нормы oo = sup|/(x)|. п.

Если также определить произведение двух фуикций, как поточечное умножение, то Ci (Sl) становится банаховой алгеброй. Функция е (х') = 1 является единичным элементом этой алгебры, т. е. — унитальная алгебра. Тогда Со (Г2) — подалгебра всех функций из Cb (fl), обращающихся в нуль в бесконечности, есть замкнутый идеал.

Линейный функционал <р: Cb (Q) —> С называется мультипликативным, если Wife) = Каждый линейный ненулевой мультипликативный функционал является непрерывным с единичной нормой. Множество X всех мультипликативных линейных функционалов образует замкнутое в *-слабой топологии подмножество единичного шара пространства Сь (Л)*, сопряженного к Сь (О). Так как шар в Сь{$ 1)* компактен в этой топологии, то X — компактное множество. С помощью х Е О, можно определить мультипликативный функционал 8Х: Сь (£1) —> С, полагая <5Х (/) = /(х), для всех / G Сь (П). Поэтому можно считать, что fi есть локально компактное подмножество множества X.

Преобразованием Гелъфаг1да функции / из С’ь (0.) называется функция / на f (ip) — (/). Очевидно, что fg = fg, т. е. это преобразование сохраняет мультипликативность. Из определения *-слабой топологии следует, что / непрерывная функция на X. Поэтому преобразование Гельфанда порождает гомоморфизм между алгебрами Сь (П) и С (Х). Если алгебру С (Х) наделить равномерной нормой, то этот гомоморфизм станет изометрическим изоморфизмом между алгебрами С&-(0) и С (Х). Отождествляя х и 5Х, можно полагать, что Сь (Г2) есть сужение алгебры С (Х) на множество J7 в X и изометрический изоморфизм порождается оператором сужения / —" /|пОтсюда нетрудно увидеть, что П всюду плотно в Л" (в противном случае из леммы Урыеона следовало бы, что существует нетождественная непрерывная функция на X, равная единице на ?7). Множество X называется компактификацией Cmoy}ia-4exa локально компактного пространства.

С помощью функций из Со (П) определим на Сь (П) семейство полунорм {Pg}gec0(n), полагая.

P9(f) = НЛ/lloo.

Определенная таким образом топология называется /? — топологией на В дальнейшем банахову алгебру Сь (П), наделенную /^-топологией, будем обозначать Cp (Q) (см. [28], [31]). Отметим, что /3-топология является локально выпуклой топологией, порожденной семейством полунорм {Pa}g (zc0(п). Поскольку функция д — maxi.