Процессы теплопередачи играют огромную роль при работе разнообразных технических устройств и промышленного оборудования, также они чаще всего определяют физико-химические процессы, происходящие в различных технологических циклах. Кроме этого, степень надежности различных промышленных изделий, а также отдельных узлов и деталей, в значительной степени зависят от температурных режимов, при которых эти изделия и их отдельные части эксплуатируются. Поэтому неслучайно вопросам теплопередачи посвящено большое количество работ и публикаций, а исследования, относящие к процессам теплообмена, имеют более чем двухсотлетнюю историю.
Появление в 50-е годы быстродействующих вычислительных машин и их применение в передовых областях науки и техники (атомной, авиационной и космической) привело к быстрому развитию вычислительной математики и методов численного решения всех типов задач математической физики. Широко стали применяться методы математического моделирования, включающие в себя этапы разработки математических моделей, численных методов, программного обеспечения, анализа результатов с последующим внедрением в практику. Математическое моделирование существенным образом преобразует сам характер научных исследований, устанавливая новые формы взаимосвязи между экспериментальными и математическими методами [24]. Несмотря на то, что эксперимент по-прежнему играет очень важную роль, особенно при исследовании сложных систем, в процессе проектирования отчетливо проявляется тенденция к более широкому использованию вычислительного подхода. Эта тенденция во многом связана с соображениями экономии, когда стоимость проведения экспериментов неуклонно растет, а стоимость вычислительной техники, постоянно уменьшается одновременно с увеличением ее быстродействия.
Дополнительным преимуществом использования математического моделирования является возможность проводить комплексное исследование прогрева модели при различных внешних условиях за сравнительно короткое время.
Большая область применения задач моделирования лежит в таком разделе инженерной науки, как материаловедение, занимающееся изучением структурных преобразований в материалах. Как известно, структурные и фазовые изменения, происходящие в твердом состоянии, и определяющие, в конечном счете, физико-механические и эксплуатационные свойства зависят от режимов химико-термической обработки, и в значительной степени от скоростей охлаждения (при закалке). При термической обработке температуры нагрева для сталей должны находиться в области их аустенизации, а от скоростей охлаждения зависят структура и величина зерна стали. Высокие скорости охлаждения способствуют получению крайне мелкозернистой структуры, вплоть до нано-размерной области. Однако, такие технологии сегодня находятся на уровне эксперимента, не имея вполне научно-обоснованной теоретической базы. Моделирование процессов термической обработки объектов с неоднородной внутренней структурой и определение температуры в любой точке изделия позволит решить задачу структурообразования в реальных изделиях, что является востребованным и актуальным. Такие технологические процессы могут быть существенным образом оптимизированы за счет создания адекватной физической и математической моделей и проведения серии численных экспериментов. Особо важную роль в этом случае играет математическое моделирование динамического поведения системы под воздействием меняющихся внешних условий (на границе задаются температуры и/или тепловые потоки).
Использование аналитических методов решения задач теплопроводности ограничено небольшим количеством задач, в которых геометрия исследуемого объекта представлена лишь простейшими формами (окружность, прямоугольник и др.). Дополнительной сложностью, не позволяющей использовать аналитические методы решения, является наличие ликваций и различных неоднородностей. в изделии* или в материалах, из которых он изготовлен^ (коэффициенты в уравнении теплопроводности меняются в зависимости от пространственных координат). Возможность получения решения для таких задач основана на применении численных подходов, для которых должны выполняться условияпо аппроксимации и устойчивости получаемого приближенного решения. Получение адекватных данных по распределению температурных полей и тепловых потоков в таких неоднородных системах со сложной геометрией ставит также задачу моделирования общей структуры объекта и внешних условий воздействия.
Таким образом, задача построения моделей сложных неоднородных двумерных объектов и расчета в них температурных полей является актуальной и* востребованной задачей математического моделирования и материаловедения.
Сложность поставленной задачи состоит в необходимости решения следующих проблем: •>> разработки специализированных программных средств, позволяющих описывать различные теплофизические задачи, в том числе задавать теплофизические характеристики модели, а также начальные условия, распределение источников и стоков теплоты, и различные типы граничных условий, зависящих от времени;
• разработки устойчивых алгоритмов для решения задач нестационарной теплопроводности в неоднородных средах;
• применение алгоритмов, обеспечивающих возможности проведения параллельных вычислений с целью использования многопроцессорных систем для. уменьшения времени расчета модельных задач;
• анализа точности получаемых расчетных величин" и их соответствие экспериментальным данным.
Таким образом, существует проблема полученияадекватных расчетных данных по динамическому изменению температуры и тепловых потоков! в неоднородных, изделиях за, приемлемое*вычислительное время. Решение* этой проблемы актуально" для различных прикладных задач в, энергетике, алюминиевой и сталелитейной1 промышленности, машиностроении и" других областях теплотехники и материаловедения и является в высшей степени востребованной.
Предметом исследованиям являются, математические методы решения двумерных уравнений теплопроводности, методы оценки точности получаемых результатов, принципы создания геометрически сложных объектов, а также программные средства расчета и визуализации нестационарных тепловых процессов в неоднородных средах для прикладных задач теплотехники и материаловедения.
Целью работыявляется создание интерактивного программного продукта для расчета температурных полей в двумерных неоднородных, областях со сложной геометрией, позволяющего решать прикладные технические задачи.
Задачами исследования являются:
— анализ методов и расчетных схемиспользуемых^ при. численном решении двумерных уравнений в частных производных, в частности, для уравнений теплопроводности;
— вывод интегральных и интегро-дифференциальных уравнений для описания теплофизических процессов, а* также алгоритмов их численного решенияразработка универсального подхода к геометрическому представлению сложных объектов,' при которомформирование области модели происходит путем объединения" областей входящих в него элементарных объектов (кластерное моделирование);
— реализация принципов геометрического моделирования в програм-ном комплексе;
— создание программной среды, позволяющей проводить расчеты задач нестационарной теплопроводности для геометрически сложных неоднородных изделий в-двумерном случае.
Методы исследования. При разработке формальных моделей в диссертации использовались методы и модели математического анализа, численного моделирования, методы линейной алгебры и теории вычислений, методы решения уравнений математической физики и др. При написании программной среды использовался язык программирования Visual С++, средства разработки интерфейсов на основе библиотек MFC, а также средства визуализации данных DirectX.
Научная новизна работы состоит в разработке новых методов решения задач нестационарной теплопроводности и методов геометрического проектирования:
• получена система интегро-дифференциальных уравнений для тепловых потоков, описывающая нестационарный процесс теплопроводности в неоднородных средах в двумерном случае;
• предложен итерационный алгоритм, численного^ решения задачи теплопроводности, позволяющий свести решение многомерной задачи в сложной геометрической области к итерационному решению системы взаимосвязанных одномерных задач (метод интегральной декомпозиции);
• разработан метод оценки точности найденных распределений температурных полей и тепловых потоков на основе анализа невязки в системе интегральных уравнений" и вычисления коэффициента обусловленности для системы одномерных задач;
• сформулированы принципы описания геометрии сложных объектов с использованием кластерного подхода, при котором область модели формируется на основе объединения набора областей элементарных объектов;
• создана программная среда по моделированию тепловых процессов для широкого круга практических задач теплотехники и материаловедения;
• решены ряд задач по прогреву композиционных материалов и распределения в них температурных полей, проведены модельные расчеты для задачи термообработки прокатных валков и задачи лазерной термообработки — прогрева поверхности инструмента с нанесенным покрытием из тугоплавких компонентов для получения структурированных упрочняющих фаз.
Достоверность результатов подтверждена проведением аналитических исследований и вычислительных экспериментов, сравнением полученных расчетных данных с известными результатами.
Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования при математическом моделировании широкого круга тепло физических процессов в сложных геометрических объектах для задач теплотехники, и особенно материаловедения, в которых процессы структурных (эвтектоидных) превращений в изделии существенным образом зависят от поведения во времени температурных полей в изделии. Совокупность научных положений, идей и практических результатов представляет интерес для теоретических и практических методов исследования теплофизических процессов в сложных неоднородных системах, а также при решении задач материаловедения.
На защиту выносятся следующие положения:
• формализованное описание процесса распространения теплоты через систему интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра второго рода для тепловых потоков;
• кластерный подход геометрического моделирования сложных двумерных объектов;
• численный алгоритм решения уравнения теплопроводности для двумерного случая, основанный на декомпозиции полученных интегро-дифференциальных уравнений, позволяющий использовать многопроцессорные системы;
• интегрированная программная среда, в которой реализованы методы расчета теплофизических процессов, разработан интерфейс для описания сложных геометрических объектов, и разработаны программные модули для проведения вычислений и отображения получаемых результатов.
Диссертация состоит из четырех глав, в которых приводится решение поставленных задач.
В первой главе рассмотрены проблемы физического и математического описания процессов распространения тепла. Рассмотрены различные постановки задач теплопроводности с учетом вида граничных условий и типов происходящих тепловых процессов, проанализированы подходы к их решению.
Проведен общий обзор существующих методов численного решения уравнений теплопроводности в одномерном и многомерном случаях, их устойчивость и сходимость. Проанализированы проблемы, возникающие при описании и численном решении уравнений теплопроводности.
Кроме' этого, дан краткая характеристика принципов создания геометрических объектов в известных системах проектирования (ЗБ Мах, АЫБУБ, Т-Р1ех и др.) и продемонстрированы возникающие для пользователя сложности при моделировании двумерных и, особенно, трехмерных объектов.
Во второй главе дано описание подхода, дающего возможность поставить задачу теплопроводности в интегральном виде. Показаны преимущества интегрального представления по сравнению с использованием уравнений в частных производных. Выведены интегральные уравнения в одномерном случае для четырех видов граничных условий, включая смешанные задачи. Для двумерного случая получена связанная система интегро-дифференциальных уравнений для модифицированных тепловых потоков, решение которой может быть проведено численно с использованием^ итерационной процедуры приведения к системе одномерных уравнений (в дальнейшем будем пользоваться названием метод интегральной декомпозиции). Исследованы способы их дискретизации с целью1 применения численных процедур нахождения решения и дано описание способа достоверной оценки ошибки приближенного решения.
В третьей главе рассмотрены программные средства визуализации геометрических моделей с использованием библиотеки DirectX и представлены основные принципы кластерной — геометрии для описания структуры сложных объектов. Кластерный подход предполагает, что собственно геометрическая модель состоит из набора элементарных объектов, каждый из которых определяет геометрию определенной части области. Вид этой области зависит от свойств кластерного элемента, которые могут изменяться пользователем в интерактивном режиме. Объединение элементарных областей, и построение граничной области модели при кластерном представлении объекта происходит автоматически программным способом. Приведены примеры трехмерных кластерных моделей и детально описан способ формирования двумерных объектов на основе введенных базовых определений. Представлена структура кластерного элемента и показаны возможности кластерной геометрии при создании топологически связанных структур.
Представлена внутренняя структурная схема разработанного программного комплекса и детально изложены средства интерактивного взаимодействия с пользователем. Дано описание разработанных базовых классов, использованных в программной оболочке.
В четвертой главе рассмотрены прикладные задачи материаловедения, в которых для моделирования тепловых процессов использовался созданный программный комплекс. В частности, исследовались задачи, в которых условия динамического прогрева является* основным фактором, определяющим конструктивные особенности изделия, а также структурные изменения в «материале изделия при термической обработке:
• прогрев многокомпонентных слоистых сред с целью определения их эффективной теплопроводности и стационарного распределения температурных полей;
• моделирование процессов поверхностной закалки прокатных валков;
• расчет процессов теплопередачи при лазерном легировании и модифицировании поверхностного слоя изделия.
Для каждой из задач были проведены предварительные исследования, которые' позволили строго сформулировать условия прогрева, и, следовательно, поставить, начальные и граничные условия, применяемые в расчетных моделях. Каждая из задач представляет большой практический интерес и их решение применительно к конкретной производственной технологоии приведет к значительной экономии материальных ресурсов-и трудовых затрат.
Апробация, работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах под рук. акад. РАН И. Г. Горячевой (Институт проблем механики РАН, 2008) и д.т.н. В. В1Лунева (ЦНИИ машиностроения, 2010), научном семинаре кафедры «Молекулярная физика» МГУ им. М. В. Ломоносова под рук. д.ф.-м.н. И. А. Знаменской (2009), XIV и XV международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. М. Горшкова (Ярополец- 2008, 2009), VTII международной конференции «Авиация и космонавтика» (Москва, 2009), VII международной конференции ВМСПП'2009 (Алушта, 2009), IV международной конференции по моделированию тепловых процессов ICTMCS-2010 (Шанхай, 2010).
Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 14 научных статьях, в том числе в 5 статьях Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ, и в 8 тезисах докладов. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит диссертанту.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и Приложения. Диссертационная работа изложена на 165 страницах, содержит 60 иллюстраций, 2 таблицы и Приложение на 12 страницах. Библиография включает 119 наименований.
ВЫВОДЫ.
В работе были получены следующие результаты:
• выведена связанная, система интегро-дифференциальных уравнений для тепловых потоковописывающая нестационарный процесс теплопроводности в двумерном случае’для произвольных геометрически сложных областей и учитывающая граничные условия первого и второго рода, а также смешанные граничные условия;
• обоснован итерационный алгоритм численного решения задачи теплопроводности, позволяющий свести решение многомерной’задачи к итерационному решению системы одномерных задач (метод интегральной декомпозиции), и позволяющийизбежать осцилляций в приближенных решениях;
• для оценки точности найденных распределений температурных полей и тепловых потоков предложен способ анализа невязки в* системе интегральных уравнений;
• разработаны принципы описания геометрии сложных объектов с использованием кластерного подхода, при котором область модели формируется на основе объединения набора областей элементарных объектов;
• проведено исследование температурных полей в задачах по прогреву объектов с неоднородной внутренней структурой, в том числе задачи по определению эффективной теплопроводности различных видов композиционных материалов композиционных материалов и распределения в них температурных полей.
• создан программный комплекс на языке Visual С++ по моделированию тепловых процессов в широком круге практических задачах материаловедения, в том числе задачи определения распределения температурных полей при термообработке прокатных валков и задачи лазерной термообработки — прогрева поверхности инструмента с нанесенным покрытием из тугоплавких компонентов для получения структурированных упрочняющих фаз.
