Разработка и исследование алгоритмов расчета на ЭВМ математической модели региональной макроэкономики, решение задачи оптимального управления

Актуальность темы

Современное развитие региональной макроэкономики, макроэкономики и экономики в целом обусловлено интенсивным внедрением в экономическую науку математических методов, в том числе методов вычислительной математики. Математические методы, вычислительная математика дают возможность для каждой региональной системы количественно описать динамику макроэкономических параметров, решать задачи оптимального управления экономикой. Применение вычислительной математики, методов оптимизации позволяют определить оптимальные траектории экономического развития.

Актуальность темы

обусловлена необходимостью выявления количественных закономерностей, складывающихся в макроэкономике регионов РФ в современных условиях переходного периоданеобходимостью разработки новых математических моделей региональной макроэкономики, исследования условий корректности этих моделей, разработки алгоритмов оптимального управления экономической системой на региональном уровне, численных расчетах оптимальных траекторий развития.

Математическая модель макроэкономики региона представляет собой описание при определенных гипотезах таких определяющих динамику экономики процессов, как:

— производственный процесс региона;

— демографический и миграционный процессы в регионе;

— социально-экономические механизмы воздействия на производственный процесс региона (механизмы управления);

— научно-технический прогресс.

Классическими среди макромоделей стали модель Рамсея (1928 г.) [97] и Солоу (1956 г.) [56]. Развитие этих моделей представлено работами М. Интрилигатора, В. Л. Макарова, A.M. Рубинова, В. З. Беленького, В. А. Колемаева [10, 34, 35, 39, 72]. Региональная макроэкономика, как наука, появилась на Западе в 50-х годах XX векалидером ее стал У. Айзард [78]. В России вопросами региональной макроэкономики занимается акад. А. Г. Гранберг [31, 45, 7 9] и другие.

Одной из основных зависимостей математической модели макроэкономики региона является производственная функция (ПФ), определяющая объем выпускаемой продукции в единицу времени (год) в зависимости от объема используемых в производстве ресурсов. Первая производственная функция была предложена американскими учеными — математиком К. У. Коббом и экономистом П. Х. Дугласом [8 9]. Несмотря на очевидные недостатки производственной функции Кобба-Дугласа [33, 35, 96], она используется до сих пор. Другая производственная функция — функция затрат-выпуска Леонтьева имеет нулевую эластичность замещения, т. е. затрачиваемые ресурсы в ней должны быть использованы в фиксированной пропорции и не могут замещать друг друга. В начале 19 60-х годов Солоу была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения CES (constant elasticity of substitution). При использовании этой функции удается избежать противоречий, существующих в первых двух зависимостях. Однако, для расчета констант четырех-параметрической зависимости CES требуется значительный объем качественных статистических данных, которым мы часто не располагаем. В нашей стране основным специалистом по производственным функциям является Г. Б. Клейнер [21].

Переходный период Российской экономики, неоднократная переоценка основного капитала, слабая организация математической статистики региональных экономических систем РФ, большие разбросы во временных рядах по основному капиталу и объему производства потребовали разработку новой производственной функции, которая была бы лишена недостатков функции Кобба-Дугласа, и для которой было бы реально, невзирая на большие разбросы статистических данных, определить параметры ПФ. Такая производственная функция была предложена в работе Булгакова В. К., Булгакова О. В. [б].

Ряд важных вопросов экономической теории связан с необходимостью определять наилучший, оптимальный вариант решения. Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования .

Основное предположение при изучении задач классического вариационного исчисления состоит в том, что управление должно принадлежать открытому множеству пространства управлений. Однако в практических задачах множество допустимых управлений замкнуто, во многих случаях многосвязно, может не иметь внутренних точек и т. д.

Принцип максимума, предложенный акад. JI.C. Понтряги-ным [11, 12, 13], позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными задачами, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления. Необходимые условия принципа максимума позволяют сформулировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что в работах [10, 35, 39], где для решения задачи оптимального экономического роста использован принцип максимума JI.C. Понтрягина, подынтегральная функция максимизируемого функционала принималась равной функции удельного потребления. В этом случае оптимальное управление представляет собой систему релейных переключений граничных значений функции потребления. В настоящей диссертации рассмотрена нелинейная подынтегральная функция — функция полезности в виде степенной зависимости от удельного потребления, где показатель степени 0<&:<1.

Задача расчета оптимального управления с помощью необходимых условий принципа максимума сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Единственным классом дифференциальных уравнений, для которых разработаны регулярные методы решения краевых задач, являются линейные дифференциальные уравнения. Эти методы и основанные на них схемы решения краевых задач заключаются в переносе граничных условий (метод прогонки). Метод прогонки используется и для построения итерационных способов решения нелинейных краевых задач. Однако не все задачи оптимального управления могут быть сведены к краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений.

В начале 19 60-х годов целый ряд трудных вариационных задач динамики космических аппаратов был решен В. Н. Лебедевым [47] при использовании различных модификаций метода Ньютона. Применение метода Ньютона и его модификаций для решения краевых задач можно найти в работах [9, 82]. Изза проблемы устойчивости решения и выбора удовлетворительного первого приближения метод Ньютона, несмотря на простоту описания и удобство программирования, не стал универсальным средством решения задач оптимального управления .

В настоящей работе предлагается оригинальный алгоритм решения краевой задачи оптимального управления региональной макроэкономикой при конечном горизонте планирования (Т <со) — исследованы задачи с фиксированным и не фиксированным временем.

Цель работы.

1. Разработка и исследование математической модели региональной макроэкономики РФ в переходный период, учитывающей особенности межбюджетных отношений.

2. Разработка алгоритмов решения краевой задачи оптимального управления динамикой региональной макроэкономики, исследование условий существования и единственности рассмотренных задач. Численные исследования алгоритмов расчета оптимального управления региональной экономикой.

3. Проведение численных исследований на ЭВМ динамики макроэкономических параметров региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления (на примере Хабаровского края).

Научная новизна работы.

1. Разработана и исследована новая математическая модель региональной макроэкономики РФ на основе производственной В-функдии. Модель учитывает также особенности существующих в РФ межбюджетных отношений.

2. Доказана теорема о существовании и единственности стационарного решения предложенной математической модели.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, описываемой предложенной математической моделью.

4. Разработаны и исследованы алгоритмы решения краевой задачи оптимального управления для конечного горизонта планирования Т заранее не заданного, а также для горизонта планирования Т заранее заданного.

5. На основе разработанных алгоритмов проведены численные исследования на ЭВМ динамики макроэкономических параметров, соответствующей оптимальному управлению.

6. Теоретически обнаружен инвариант исследуемой макроэкономической модели.

Практическая ценность.

1. Разработанные алгоритмы расчета краевых задач оптимального управления реализованы в виде комплекса программ на языке С++. Программный комплекс может быть использован при разработке стратегий социально-экономического развития регионов РФ.

2. Предложенные и исследованные алгоритмы решения краевых задач оптимального управления могут быть использованы для решения задач оптимального управления в конкретных отраслях народного хозяйства.

На защиту выносятся.

1. Алгоритмы решения краевых задач оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики.

2. Теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, основанной на производственной В-функции.

3. Численные исследования на ЭВМ оптимальных траекторий макроэкономических параметров региональной макроэко—номики, соответствующих оптимальному управлению. Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

— XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова (Хабаровск, ДВГУПС, 2005 г.);

— VIII открытый конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (экономическая секция) (Хабаровск, ИЭИ ДВО РАН, 2006 г.);

— XXXI, XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2006 — 2007 гг.);

— IX краевой конкурс-конференция молодых ученых (физико-математическая секция) (Хабаровск, ДВГУПС, 2007 г.);

— семинар «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. А.Г. Зарубин) (Хабаровск, ТОГУ, 2007 г.);

— Пятая международная научная конференция творческой молодежи (Хабаровск, ДВГУПС, 2007);

— Российская конференция «Дискретная оптимизация и исследование операций» (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2007 г.).

Основные положения диссертации опубликованы в 9 работах [100 — 108].

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 14 4 страницы машинописного текста, содержит 59 рисунков, 8 таблиц и список литературы из 108 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основными результатами проведенных исследований являются следующие.

1. Разработан алгоритм расчета параметров В-функции по статистическим данным рассматриваемой экономической системы. Для Хабаровского края по статистическим данным (временным рядам) за 1991;2002 гг. посчитаны на ЭВМ значения параметров В-функции: 2? = 0.857, Ъ = 0.814, (7^=10.947.

2. Предложена новая математическая модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, с учетом существующих межбюджетных отношений в РФ. Найдено условие (1.17), при котором математическая модель имеет единственное стационарное решение. Численными расчетами на ЭВМ исследован выход модели на стационарный режим.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой для предложенной математической модели макроэкономики (теорема 2.1).

4. Предложен алгоритм решения краевой задачи оптимального управления (теорема 2.3). Алгоритм реализован в форме программы расчета на ЭВМ оптимального управления n*(t) и соответствующих ему оптимальных траекторий x*(t), i//*(t), w (t) .

5. Работоспособность предложенного алгоритма подтверждена численными исследованиями на ЭВМ динамики макроэкономических параметров экономики Хабаровского края серией расчетов краевых задач оптимального управления.

6. Показано, что в h-окрестности особой точки (ws, xs) размерные макроэкономические переменные K (t), W (t), Y (t),.

I (t) переходят на стационарные «траектории сбалансированного роста» (экспоненциальные кривые). В отличие от ранее существовавших математических моделей, в нашей модели указанные выше макроэкономические переменные растут с темпом v + т, что показывает ведущую роль темпа роста заработной платы т в развитии экономической системы (в ранее существующих моделях темп роста макроэкономических переменных определялся только темпом роста населения v) .

7. Проведены численные расчеты на ЭВМ и анализ динамики размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях. Показано, что не только в окрестности особой точки, но и в любой момент времени t&[0,T] основным параметром, определяющим развитие экономической системы является темп роста заработной платы т.

8. Разработан алгоритм решения краевой задачи оптимального управления и проведены численные исследования на ЭВМ для случая, когда горизонт планирования Тр<�со заранее задан при заданных начальных и конечных состояниях экономической системы xl.

Разработанный комплекс программ расчета на ЭВМ задач оптимального управления может быть использован органами управления РФ, институтами и организациями при создании и анализе программ социально-экономического развития регионов РФ.