Операторные методы численного исследования задач о бифуркациях в моделях популяционной динамики
Диссертация
Пусть е € Rn — некоторый ненулевой векторзначение fio назовем правильной точкой бифуркации уравнения (2) по направлению вектора е, если существует функция 6(е:), 5(е) = о (е) при г —> 0, такая, что для каждого е > 0 найдется е S (fiо, ?), при котором уравнение (2) имеет ненулевое решение х (£)? S (?e, 6(?)) (здесь S (xo, r) — шар радиуса г с центром в точке о-о). Векторы и значения /¿-(е… Читать ещё >
Содержание
- 1. Модели популяционной динамики
- 1. 1. Динамические системы и их бифуркации: вводные понятия
- 1. 2. Классические модели популяционной динамики
- 1. 3. Системы популяционной динамики
- 1. 4. Бифуркации одномерных динамических систем
- 1. 5. Бифуркации в двумерных системах
- 2. Операторный метод исследования задач о многопараметрических бифуркациях
- 2. 1. Бифуркации операторных уравнений
- 2. 2. Однопараметрические бифуркации
- 2. 3. Двупараметрические задачи
- 2. 4. Многопараметрические задачи
- 3. Численное исследование задач о бифуркации динамических систем
- 3. 1. Основные сценарии локальных бифуркаций
- 3. 2. Бифуркации состояний равновесия
- 3. 3. Задача о бифуркации Андронова-Хопфа
- 3. 4. Бифуркации Неймарка-Саккера
- 3. 5. Модели со слабоосциллирующими параметрами
- 3. 6. Компьютерное моделирование бифуркаций динамических систем
- 4. Программный комплекс
- 4. 1. Разработка программного комплекса: специфика и основные проблемы
- 4. 2. Описание программ
- 4. 3. Иллюстративный пример
- 4. 4. Тексты программ
Список литературы
- Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967, 488 с.
- Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 400 с.
- Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.
- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 368с.
- Арнольд В. И., Афраймович В. СИльяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5. Динамические системы V. М.: ВИНИТИ, 1986, С. 5−218.
- Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 368 с.
- Базыкин А. Д., Кузнецов Ю. А., Хибник А. И. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989, 47 с.
- Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения. // Математические заметки, 2004, 75, № 3, С. 323−341.
- Богданов Р. И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. // Труды семинаров им. И. Г. Петровского, 1976, Вып. 2, С. 37−65.
- Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2004, 540 с.
- Братусь А. С., Мещерин А. СНовожилов А. С. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. // Вестник МГУ, серия Вычислительная математика и кибернетика, 6, 2001, С. 140−148.
- Брату сь А. С., Новожилов А. С. Математические модели экологии и динамические системы с непрерывным временем. М.: МГУ, 2004, 235 с.
- Брату сь А. С., Новожилов А. СПлатонов А. П. Динамические системы и модели биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010, 400 с.
- Байнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969, 529 с.
- Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976, 288 с.
- Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.
- Даймонд Ф., Юмагулов М. Г., Матвеенко Н. И. Анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика, 1999, № 9, С. 3−12.
- Занг В. В. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер. с англ. М.: Мир, 1999, 335 с.
- Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984, 272 с.
- Исаев А. С., Хлебопрос Р. Г., Недорезов Л. В. и др. Динамика численности лесных насекомых. Новосибирск: Наука, 1984, 224 с.
- Ибрагимова Л. С. Об итерационных методах исследования бифуркационных задач с простым вырождением. // Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2005, Т. 9, № 3−4, С. 15−26.
- Йосс ЖДжозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983, 304 с.
- Канторович Л. ВАкилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 742 с.
- Като 71 Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975, 740 с.
- Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб, 2005, 464 с.
- Козякин В. С., Красносельский М. А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. // Доклады АН СССР, 1980, Т. 254, № 5, С. 1061−1064.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 543 с.
- Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 332 с.
- Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.
- Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 456 с.
- Красносельский А. М., Кузнецов Н. А., Рачинский Д. И. Нелинейная бифуркация Хопфа. // Доклады РАН, 2000, Т. 372, № 4, С. 455−458.
- Красносельский М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Функцио-нализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика. 1996, № 11, С. 22−28.
- Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений. // ДАН России, 1995, Т. 365, № 2, С. 162−164.
- Куликов Д. А. Знак Ляпуновской величины в задаче о бифуркации от однородного цикла. // Современные проблемы математики и информатики, 2005, № 7, с. 78−81.
- Куракин Л. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении кососимметрии динамической системы. // Сибирский математический журнал, 2004, Т. 45, № 2, С. 356−374.
- Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1983, 328 с.
- Локшин А. А., Лопатников С. А., Саакян А. с. Метод сжатых отображений в симметричной проблеме собственных значений. М.: Изд-во МГУ, 1995, 143 с.
- Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАНД, 2011, 320 с.
- Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, 336 с.
- Магницкий Н. А., Огинова Ю. В. Исследование сценария перехода к хаосу в модели экологической системы. // Труды ИСА РАН, Т. 14. М.: КомКнига/иЯЗБ, 2005, С. 190−197.
- Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. // Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, № И, С. 1550−1558.
- Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных неавтономных нелинейных системах о.д.у. // Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 11, С. 1507−1514.
- Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997, 225 с.
- Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Наука, 2000, 336 с.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Едиториал УРСС, 2004, 432 с.
- Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 362 с.
- Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 397 с.
- Недорезов Л. В. Моделирование вспышек массовых размножений насекомых. Новосибирск: Наука, 1986, 125 с.
- Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 422 е.- 2-у изд. М.: Книжный дом «Либро-kom"/URSS, 2009.
- Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, II. // Дифференциальные уравнения. 1987, Т. 23, Вып. 12, С. 2060−2067.
- Новиков М. Д., Павлов Б. М. Об одной нелинейной модели со сложной динамикой. // Вестник МГУ, сер. «Вычисл. матем. и кибернетика», 2000, № 2, С. 3−7.
- Нуров И. Д., Юмагулов М. Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. 1993, № 3, С. 101−108.
- Острейковский В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высш. шк., 2005. 241 с.
- Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 с.
- Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.
- Разжевайкин В.П. Об асимптотическом поведении решений в системах типа «хищник жертва». // Исследование операций (модели, системы, решения), РАН ВЦ им. Дородницына 2008, с. 6−26.
- Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971, 288 с.
- Романов М. Ф., Федоров Н. П. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001, 232 с.
- Свирежев Ю.Н. Нелинейные волны. Диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987, 368 с.
- Сидоров С. В. Появление хаотических решений в модели брюсселя-тора // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2006, в. 10, с. 91−97.
- Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 352 с.
- Терехин М. Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1999, № 10 (449), С. 37−42.
- Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985, 254 с.
- Четырбоцкий А. И., Базыкин А. Д., Хибник А. И Качественное исследование одной из моделей, описывающих динамику системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции. Препринт 19(106) Владивосток: ВЦ ДВНЦ АН СССР, 1983, 12 с.
- Хабибуллин И.Л. Экологическое моделирование: Учебное пособие. -Уфа: РИО БашГУ, 2002, 121 с.
- Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.
- Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 655 с.
- Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985, 280 с.
- Шильников Л. П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 416 с.
- Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов. // Автоматика и телемеханика. 1988, № 10, С. 76−84.
- Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. // Доклады АН России. 1993, Т. 331, № 1, С. 24−27.
- Юмагулов М. Г., Ибрагимова Л. С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007, № 4, С. 3−12.
- Юмагулов М. Г., Ибрагимова Л. С., Музафаров С. М., Ну ров И. Д. Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосциллирующими параметрами. // Автоматика и телемеханика. 2008, № 1, 2008, С. 36−41.
- Alsholm Preben Existence of limit cycles for generalized Lienard equations, J. Math. Anal, and Appl., 171, 1 (1992), 242−255.
- Dancer E. N. Bifurcation theory in Real Banach Space. // Proc. London Math. Soc. (3)23(1971), pp. 699−734.
- Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions, Int. // J. Bifurcation and chaos, Vol. 1. 493−520. 1991.
- Garcia Isaac A. Transcendental limit cycles via the structure of arbitrary degree invariant algebraic curves of polynomial planar vector fields. Rocky Mount. J. Math. 2005. 35, № 2, c. 501−515.
- Ginowx J.-M., Rossetto В., Jamet J.-L. Chaos in three-dimensional
- Volterra-Gause model of predator-prey type. // Int. Journ. Bifurcation and Chaos, Vol. 15. p. 1689−1708. 2005.
- Guckenheimer J. and Worfolk P. Dinamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic orbits of Vector Fields. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc., 241−278. 1993.
- Guckenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz At-tractors. // Publ. Math. IHES, 1979, v. 50, p. 59−72.
- Holden L. J., Erneux T. Slow passage through a Hopf Bifurcation: From oscillatory to steady state solutions. // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. № 4. P. 1045−1058.
- Izydorek M., Rybicki S. Bifurcations of bounded solutions of 1-parameter ODE’s. // J. Differ.Equat. 1996. 130. P. 267−276.
- Krasnosel’skii A. M., Mawhin J. Periodic solutions of equations with oscillating nonlinearities. // Mathematical and Computer Modelling, 32, 2000, 1445−1455.
- Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I., Schneider K. Hopf bifurcations in resonans 2:1. // Nonlinear Analysis. Theory, Methods Applications, 52, 3, 2003, 943−960.
- Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I. Subharmonic bifurcation at infinity. 11 Journal of Differential Equations, 226, 1, 2006, 30−53.
- Kozyakin V. S., Krasnosel’skii M. A. The method of parameter func-tionalization in the Hopf bifurcation problem. // Nonlinear Analysis. Theory, Method Applications, 11, 2 1987, 149−161.
- Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V. 112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.
- Llibre Jaume, Pantazi Chara Counterexample to a conjecture on the algebraic limit cycles of polinomial vector fields. Geom. dedic. 2005. 110, c. 213−219.
- Panazzolo D., Roussarie R. Bifurcations of cuspidal loops preserving nilpotent singularities. Moscow Math. J. 2005. 5, № 1, c. 207−244.
- Shilnikov L. Bifurcations and strange attractors. Proceedings of the International Congress of Mathematicans, Beijing, Aug. 20−28, 2002, Vol.3, Invited Lectures. Beijing: Higher Educ. Press, 2002. P. 349−372.
- Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors // Applied Mathematical Sciences (V. 41). Springer-Verlag, 1982.
- Suqie Jitsuro The global centre for the Lienard system, Nonlinear Analysis, Theory, Meth. and Appl., 17, 4 (1991), 333−345.
- Wu Cheng-qiang Limit cycles of a kind of predator-prey system with functional response. Fuzhou daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Fuzhou Univ. Natur. Sei. Ed. 2004. 32, № 4, с. 410−412.
- Yumagulov М. G. Operator approach for the studi of periodic solutions to Lienard equation. // Adv. in Math. Sei. Appl., Gakkotosho, Tokyo. 1997. Vol. 7. № 2. pp. 569−578.
- Вышинский A.A. Бифуркации периодических колебаний в нелинейных системах управления. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Т. 14, вып. 4, 2009, с. 687 689.
- Вышинский A.A., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. Уфимский математический журнал. Т.2, № 4, 2010, с. 3−26.
- Вышинский A.A. Приближенное исследование многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики. Уфимский математический журнал. Т.3, № 4, 2011, с. 15−19.
- Вышинский A.A. Операторный подход исследования некоторых задач многопараметрических бифуркаций. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Т. 16, вып. 4, 2011, с. 1052−1055.
- Вышинский A.A., Муртазина С. А. Приближенное исследование бифуркации малых решений операторных уравнений. Новые программные средства для предприятий Урала. Выпуск 5.: Сб. науч. тр. Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ 2006, с. 100−102.
- Вышинский A.A., Нуров И. Д., Юмагулов М.Г Моделирование би-фурцирующих решений к -параметрических динамических систем. Доклады АН Респ. Таджикистан, Т. 50, № 5, Душанбе, изд. «До-ниш 2007, с. 409−417.
- Вышинский A.A. Бифуркации циклов нелинейных динамических систем. Материалы региональной науч.-практ. конференции «Уральский регион РБ: Человек, природа, общество Уфа, Зауральский филиал ФГОУ ВПО «БГАУ 2009, с. 357−360.