Линейно-инвариантные семейства функций

Работа посвящена исследованию линейно-инвариантных семейств (л.-и.с.) аналитических функций, введенных СЬ. Роттегепке [Р1]. В предлагаемой работе решено несколько известных задач в л.-и.с. аналитических функцийисследованы и в ряде случаев решены некоторые вновь поставленные задачи в л.-и.с.- разработан вариационный метод в л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной меройустановлена и успешно использована связь л.-и.с. конечного порядка с классом Блохапонятие л.-и.с. обобщено на гармонические локально квазиконформные отображенияпонятие л.-и.с. обобщено на аналитические в поликруге функции, установлена связь этих семейств с классом Блоха аналитических в поликруге функций.

Актуальность темы

Исторические сведения. Основным объектом исследования в этой работе являются универсальные линейно-инвариантные семейства Ыа. Термин линейной инвариантности семейства Ш1 аналитических и локально однолистных в круге Д = {г: < оо.

1} функций вида f (z) — ап ($)гп впервые введен СЬ. Роттегепке п=2.

Р1] в 1964 году и означает, что наряду с каждой функцией /? Ш этому семейству принадлежит и функция при любом конформном автоморфизме ф (г) круга Л. Интерес к линейно-инвариантным семействам вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами и обладают рядом свойств, общих для всех таких семейств.

Важнейшими примерами л.-и.с. являются классы: /С — выпуклых функций, однолистно отображающих круг, А на выпуклую область- $ — всех однолистных в, А функций указанного видаТ^" — классы функций с ограниченным граничным вращением, т. е. локально однолистные функции, для которых полная вариация угла наклона касательной к образу любой окружности {z: z = г}, г 6 (0,1), не превосходит 2жа, а > 1 (при, а > 2 классы Т^а уже содержат не однолистные функции).

В [Р1] также введено понятие универсального л.-и.с. Ua, a > 1. Как следует из ниже приведенной теоремы 1.1, Ыа — это наибольшее л.-и.с., функции / которого удовлетворяют неравенству г)| * (i-йРг е А- (2).

Таким образом, исследуя Ua, мы получаем информацию обо всех л.-и.с. функций, «не слишком быстро» растущих при приближении к границе А. С другой стороны, введение универсальных линейно-инвариантных семейств Ua позволило с общих позиций изучать свойства всех локально однолистных в, А функций конечного порядка. При этом оказалось, что изучение классов конформных отображений, основанное на их линейной инвариантности, не только позволяет получить обобщение ранее известных результатов на более широкие классы функций, но и новые результаты (в т. ч. в классе S однолистных функций), и новые, подчас более простые, доказательства. Идея использования линейной инвариантности различных классов функций достаточно стара, ее применял еще L. Bieberbach [В1] при доказательстве теоремы искажения в классе однолистных функций. Однако, в работах Ch. Pommerenke [PI], [РЗ] эта идея была поставлена во главу угла.

В большом списке работ, посвященных исследованиям л.-и.с., можно выделить 2 основных направления: экстремальные задачи в л.-и.с. и граничное поведение функций. В частности, Ch. Pommerenke [PI] дал верхнюю и нижнюю оценки для = max |arg/'(z)| (теорема f&-Aа вращения) — D. М. Campbell и М. R. Ziegler [CZ1], [CZ2] в 1974 году, а затем D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [CP] в 1976 году исследовали свойства G (|z|), однако вопрос о точности значения G{z) оставался открытым. В [01] D. М. Campbell дал оценки сверху и снизу для 11 $ -радиуса семейства Ыа,/3 < а, т. е. максимума таких р Е (0,1), что f (pZ) 1, ГЦ

— G lia для всех / G иаоднако, и здесь вопрос о точном значении Р g-радиуса не был решен. Очень трудной задачей оказалась оценка коэффициентов функций f (z) = z + Х^г0"2″ ^ 3Десь нет даже точной оценки |а3|. Из определения Ыа следует, что а2 < ав 1971 году D. М. Campbell, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff [ССР] по аналогии с гипотезой L. Bieberbach’a для однолистных функций предположили, что аналог функции Кёбе в Ыа дает максимум |аз| в Ua и он равен ^ • За справедливость этой гипотезы говорили и некоторые полученные в [ССР] результаты. Однако гипотеза оказалась ложной (опровержение её, как и решение двух других выше упомянутых задач, дано в предлагаемой работе).

Для непрерывной в Л функции ф обозначим М (г, ф) = max В z-r классе S однолистных функций известен следующий результат (теорема регулярности) [К], [Н], [В2]: для каждой функции / G S существуют постоянные <5° G [0,1] и фо G К. такие, что.

5° = lim М (г, /)(1 -г)2 = - lim М (г, /')(1 — г)3.

Г—у 1~ 2 Г—у 1~ lim |/(гег'^)|(1 — г)2 = - lim f (ге{фо)(1 — г)3. (.3.

1—>1 2 V—> 1.

D. М. Campbell [02] детализировал этот результат для функций / G S ГЫа, а < 2. Он предположил, что аналог равенств (3) справедлив в классах функций с ограниченным граничным вращением У2а ^ для всех, а > 1. В данной работе доказана справедливость этого утверждения не только в Via., но и во всем семействе Ua, причем, в гораздо более широкой формулировке. оо.

В л.-и.с. S однолистных функций f (z) = z + ^Г^ anzn А. С. Schaeffer п-2 и D. С. Spencer описали множество функций, дающих локальный экстремум ап и |ат|, пф т одновременно при дополнительном предположении: (n — 1) и (m —1) — взаимно простые [ScSp], [Dl]. А. К. Бахтин в [Bah.1], [Bah2] решил такую задачу при дополнительном предположении: <22 Ф 0 для экстремальной функции. Решение этой задачи безо всяких дополнительных ограничений приведено в § 15 этой работы.

В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в, А функций (см., например, обзор [ВН]). При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических комплекснозначных функций, по аналогии с регулярными в Д функциями, закладывалась обычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса (выпуклость, почти выпуклость, звез-дообразность, однолистность, симметричность /(А) относительно вещественной оси). Т. Sheil-Small [S-S] первый использовал линейную инвариантность при изучении семейств однолистных гармонических функций. В [St 14] в основу определения изучавшихся классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Такой подход, в частности, позволяет не только получить ряд уточнений известных результатов в ранее изучавшихся классах гармонических отображений при условии их квазиконформности, но и новые результаты в этих классах.

Цель работы. Получить точные оценки или уточнения в ряде известных неравенств в Ыа, решить новые экстремальные задачи. Для этой цели, в частности, вводить и изучать более просто устроенные подсемейства^, разработав в них вариационный метод. Доказать теорему регулярности в Ыа. Установить и использовать связь между классом функций Блоха и семействами Ыа для исследования этого класса и этих семейств. Ввести и исследовать л.-и.с. гармонических функцийсравнить геометрическую характеристику функций Блоха в аналитическом и гармоническом случаях. В линейно-инвариантном семействе S дать описание функций, одновременно локально максимизирующих два функционала. Перенести понятие линейной инвариантности на функции, аналитические в поликруге, установить их связь с классом Блоха.

Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью первой главы является доказательство теорем регулярности в Ыа.

В 1-м параграфе даны исходные и доказаны эквивалентные определения универсального л.-и.с. Ыа.

Порядком л.-и.с. Ш называется [Р1] число ord Ш — sup |й2(/)|fern.

Пусть f (z) = z • ¦ • локально однолистна и аналитична в Дпорядком функции f (z) называется число ord / = ord Ш1[/], где Wi[f] = {Аф[/](г): ф ЕС} — л.-и.е., порожденное функцией /.

Универсальным л.-и.с. порядка, а называется [Р1] объединение всех л.-и.с. ЭДТ, для которых ord Ш < аоно обозначается Ыа.

Важнейшие примеры л.-и.с. — классы /С, 5, Via — приведены на 4−5 стр. введения. Остается заметить, что Ыа = 0 при, а < 1, Ы = К и ord К, — 1, ord S = 2, ord Via. = ol.

Обозначим Ш’а— наибольшее л.-и.е., функции / которого удовлетворяют неравенству (2). В § 1, в частности, доказано, что 9Л'а = Ua. Нужно отметить большую значимость этого факта в развивающейся теории л.-и.с. отображений шара в Сп (результаты этого направления выходят за рамки темы диссертации).

2<*-1.

Из (2) следует, что для / E Ua M (r, f) < —-^+7- § 2 посвящен исследованию функций максимального роста, т. е. таких функций из для которых M (r, f) растет как (1 — г)~а~1 при г —> 1 —. Теоремой регулярности называют теорему, в которой утверждается, что функции, имеющие максимальную для данного класса скорость роста, растут гладко (или регулярно). D. М. Campbell [С2] доказал следующую теорему регулярности: для любой функции f EUa при каждом ф (Е [0, 2тт) величины.

И М (г, убывают по г на [0,1) и стремятся при г —> 1 — к, А и (5°, соответственноpiG 1 7P~ie б" = 1^/(г) = Ыг) = [(1±-?Г-1], веж.

Причем убывание строгое, если f ф ко.

Оказалось, что свойство регулярности роста является в Ъ1а гораздо более общим. Для формулировки соответствующего утверждения дадим определения двух метрик на римановой поверхности .Р — Ff = /(А). Пусть V — кривая на сНат V — диаметр проекции кривой на плоскость С, /(V) = /у (1и) — длина проекции кривой V в предположении, что 1(У) существует. Пусть г"1, €: обозначим d{w, w2) = df (wi, w2) = infdiam V, у l (wi, w2) = If (wi, w2) = inf l (V), где V — всевозможные кривые на F, связывающие w и w2.

Теорема 2.1. (регулярности) [St4], [St5]] Пусть f? Ыа. Тогда существуют постоянные 6° Е [0,1] и с60? К. такие, что.

6°= lim [M (r,/)2a (i—= lim [М (г,/) ^ ~ Т+! ] = v Ч + r7 J v -(1 +Г)"-1 J.

И rOC+l 1 lim [l/Чуе °)|t:-r] = Hm [|/(гег'^°)|2"(-—-)al =.

Л — lim [|/" (re'*")| l1 >- ] =.

Л — lim [M (rJ"), }——-1 =.

Г (Л — r) a+1 Г (Л —, Л" +1 lim [ / М (р,/")<*/4т-r-r]= lim[/ -if—1 = lim [ММ (/М, 0))2а (-^Л = lim Kf (re^), 0)2a (i^)°] = r—>¦ 1- 1+Г r—"-1- 1+Г.

Дт [M (r, Z (/W, 0))2or (i^)a] = Дтр (/(ге^"), 0)2а (1^)а] = lim [max Г fpe^)dp2a (^)a] = Г-+1- Ф J о 1+Г lim Г f (pe^)dp2a (1-^n r^lJQ i + r.

При OL — 2 для функций / G S первые 5 равенств теоремы 2.1 представляют собой известные результаты [К], [H], [В2, стр. 104−105], [Bazl] (см. также [LI, стр. 120−123], [М, стр. 80−82]). D.M.Campbell [С2] доказал 2-е и 4-е равенства теоремы в случае, а < 2 и / G SCUaон предположил, что 2-е и 4-е равенства выполнены для функций / G У2а ^ Результат превзошел ожидания.

Число <5°, определяемое первым пределом в теореме 2.1, введено D. С. Spencer’oM [Sp] в 1940 г. для однолистных функций- 60 называют числом Хеймана функции /, а число фо — направлением максимального роста функции /. Возникает естественное разбиение Ыа на дизъюнктные подклассы Ua{e°), 0 < 6° < 1- функциям из Ыа (6) соответствует число Хеймана 6°. Направлением интенсивного роста (н.и.р.) функции / G Ыа называется [St5] каждое 9 G [0, 2тг) такое, что lim f (rei0) ^" Т¹ = Se > 0.

Г-+1- 1 V Л (1 +Г)"-1 предел всегда существует). При этом число 6g называется числом Хеймана функции /, соответствующим н.и.р. 0 функции /.

В связи с линейной инвариантностью изучаемых здесь семейств интересно и важно для приложений иметь информацию о числах Хеймана функций f{z, a) = — -?-——, a G А, если / G Ua (6°). («)(! «H2).

Теорема 2.2. /5t5/ Если f G Ua (0), то f (z, a) G Wa (0) при всех a G A. Если / G Ua (6°), 6° G (0,1), то для любого 6 G [<5°, 1) существует a G A такое, что f (z, a) G Z4(<$) — -Если / G Ua (6°), 6° G (0,1), a > 1 и существует интервал (x', x") С [0, 27г), свободный от н.и.р. /, то для любого 6 G (0,1) существует a G, А такое, что f (z, a) G Ua{6).

Обозначим) подкласс функций из 5, которым соответствует число Хеймана последствие. /St5/ Если ¿-о > 0, то для любой функции f G ¿-'(¿-о) я любого 6 G (0,1) существует a G, А такое, что f (z, a) G ?(<$).

Таким образом, для получения информации о функциях из S (60), <50 G (0,1), достаточно иметь соответствующую информацию о S (<5) с 6, сколь угодно близким к 1, и знать, как трансформируется эта информация при преобразованиях (1).

Соотношения между классами Ua (S°) при различных характеризует следующая.

Теорема 2.4. [St5] Для любой функции f? Ua (6°) и любого 6 Е [0, <5°] существует такое семейство функций ф (г|А) Е Ua (6), А Е (0,1), что ф (гА)-> f (z) равномерно внутри А.

Эта теорема не верна при 6 > <5° ни для какой функции / Е Ua (6°): в § 2 показано, что при 6 Е (<5°, 1] и любой функции /? Ua (S°) не существует последовательности функций fn Е Ua{6), такой, что fn{z) -> f (z) равномерно внутри А. Для однолистных функций п—>оо соответствующая теорема в случае <5° = 1 была доказана Н. А. Лебедевым в 1974 г. [L2], для произвольных <5° — автором [St6].

Если / Е Wa (<5°), то интересно знать, как быстро 2aM (r, /) (.

1 + г J может стремиться к 6° при г —> 1— (см. теорему 2.1).

Теорема 2.5. [St5] Пусть, а > 2. Для любого 6° Е [0,1) и любой функции е (г) >0, г Е [0,1), такой, что е (г) -0 существует f Е Ua (6°), для которой limV——= оо. т—1 £{г) fl-ra.

Таким образом, величина 2aM (r, f) (1 может стремиться к.

5° сколь угодно медленно. В классе S теорема 2.5 была доказана Н. А. Широковым [Sh.].

Основным результатом § 3 является теорема 3.1 о поведении функции / Е Uq, в угловой области с вершиной в ег6, где 9 — н.и.р. /.

Теорема 3.1. [St5] Пусть f Е Ua{6% 6° > 0- В — одно из н.и.р, /', которому соответствует число Хеймана 8 В Е (0, <5°]. Обозначим Ф (() = arg f'(p (C)ete)r (здесь p{Q— элементарная функция, зависящая от (Е.

7 Г.

А иг]? (0, —), со значениямив (0,1)). Тогда для каждого п = 0,1, 2,. 2.

7 Г и любого г/ Е (0, —) в угле Штольца раствора 2г/ с вершиной в егв.

Таким образом, если у функции f Е Ua есть н.и.р. 0, то поведение функций |/(п)| и 6ek{e мало отличается в угле Штольца с вершиной в eie.

В случае п = 0 и п = 1 теорема 3.1 в несколько иной формулировке доказана в [Н, с. 131] для функций, р—листных в среднем по окружности в, А (в частности, и для однолистных функций) — более простое доказательство этого результата для функций класса S дано Г. И. Мелентьевой [LI, с. 136] с использованием метода площадей. Еще проще оказалось доказательство более общего результата — теоремы 3.1, использующее линейную инвариантность Ыа и теорему 2.2.

В качестве следствия теоремы 3.1 получается результат, обобщающий известный результат И. Е. Базилевича [Bazl] в классе 5 однолистных функций на семейства 1Ла.

Теорема 3.2. [St5] Пусть f 6 Ыа (6°), 6° >0- в — н.и.р. функции /, ему соответствует число Хеймана 6? > 0. Тогда для каждого п — 2,3,4,. существует lim [|/(n)(reio)|(l — r) a+n] = 6e2a~1(a + l)(a + 2) •.. • (a + n — 1).

Г-4 1.

B § 4 изучается вопрос о множестве н.и.р. функции / Е Ыаоно может быть и пустым (например, для функции f (z) = 2 Е Ыа У а). Из одного результата F. BagemiPa [N] следует, что множество н.и.р. для функции f? Ua не более чем счетно. Функции класса К = U и S имеют не более одного н.и.р., которое совпадает с направлением их максимального роста [Н]. Совершенно иной оказалась ситуация в Ыа, а > 1. В [St7] построены примеры таких функций, что gn^a Е Ua при, а > ап, п = 2,3, • • •, оо, и дп, а имеют ровно п различных н.и.р. (при п = оо — счетное множество н.и.р.).

Универсальные л.-и.с. Иа являются трудными для исследования объектамидля облегчения получения информации об этих семействах в главе II вводятся и изучаются л.-и.с. Wa, U* порядка а, функции которых записываются интегралами Стилтьеса с комплексной мерой.

В § 5 ставится задача аппроксимации производной функции из Ыа произведениями степеней производных функций класса /С — Ы (этот класс хорошо изучен). Такая задача естественным образом приводит к возникновению семейств U’a [Stl] (см. также [St2]):

27 Г € К f (z) = ехр[-2 / log (l — zeu) dfi (t)},.

Jo где fJi (t) — комплекснозначная функция ограниченной вариации, удовлетворяющая условию | JQ27r dji{t) — 1| + /027Г d? ji{t) < а. В § 5 показано, что U’a = 0 при, а < 1, U[ =U = /С, V-ia ^ однако, U’a ^ Ыа при, а > 1. При, а > 1 семейства Ы’а содержат бесконечнолистные функции. Доказано, что семейства U’a (а < оо) компактны в топологии равномерной сходимости внутри Д, образуют л.-и.с. порядка а, инвариантные относительно преобразования сжатия f{rz)r~l) г Е (0,1).

Теорема 5.3. [Stl, St2] Для каждого a € [1,оо) множество функций п п g (z):g'(z)=l[(fk (z)r, f’k (z) = (1 — zeitk)~2, tk e R, | fc=i fc=i n.

1| + ^^ |afc| < afc? C, n = 1,2,.} всюду плотно в U’a. k= 1.

Важнейшим примером л.-и.с. является класс С почти выпуклых функций [Кар], ord С — 2. Z. Lewandowski [Lewi], [Lew2] доказал, что функции из С и только они обладают тем свойством, что дополнение однолистной области /(А) является объединением лучей, не имеющих общих точек кроме, может быть, начальной. Однако [Stl], С .

Чтобы получить подобный U’a класс функций, содержащий класс С, в § 6 вводятся и изучаются л.-и.с. ?Y* порядка a > 1. Функция /? U*, если и только если (рШЭ], [0813]) существуют д? К, и функция Шварца си, такие, что.

2тг.

ЛЬ f (z) = </(*) ехр[—2 / log (l — сф) ег*) d/x (i)], о где? i{t) — комплекснозначная функция ограниченной вариации, удо.

27 Г />27Г влетворяющая условию / d? i (t) = 0, / < а—1. Введен.

Jo Jo ные М. О. Reade [R3] и Ch. Pommerenke [Р4] л.-и.с. С (а) порядка а+ 1 см. [Ко] являются подклассами Ы*+1. Щ = /С, ¿-У* Э V2a, однако, при, а > 1 ни один из классов и U* не содержит другой.

Семейства ?V*, также как и U’a, являются компактными в топологии равномерной сходимости внутри Д л.-и.с. и инвариантны относительно преобразования сжатия.

§ 7 посвящен разработке ([Stl], [St2]) вариационного метода в Ы’а, тот же метод дословно переносится на U* [StD], [Dstl]. Применение этого метода позволяет решать многие экстремальные задачи в U’a и Это, в свою очередь, оказывается весьма полезным и для исследования универсального л.-и.с. Ua на этом пути была получена окончательная форма теоремы вращения в опровергнута гипотеза D. М. Campbell’a, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff’a о максимуме |аз| в Ыа.

В § 8 даны некоторые приложения описанного в § 7 вариационного метода к решению конкретных экстремальных задач. Оказалось, что в ряде экстремальных задач множество экстремальных функций в Ы’а и U* (а, следовательно, и в Ыа) существенно отличается от экстремальных функций в других известных подклассах Ua. Например, в случае zf" (z) л.-и.с. /С, С, S, У^а экстремальной функцией в задаче о maxRe z G Д, фиксировано) является только одна функция ke (z) с соответствующим значением а. Тогда как в случае л.-и.с. Ы’а, а > 1, экстремальными будут все функции fa (z) = J' ехр[-2jT log (l ;

Jo е% ~ rl е.

§ 9 посвящен оценке логарифмических коэффициентов, т. е. коэфос фициентов функций log f'(z) = ^ bnzn, / G U’a, U*. В U’a, как и в класп=1, 2а сах точная оценка Re bn < — сразу получается из интегрального п представления функций. Но, в отличие от хорошо изученных классов К — U1 и V2a, в случае Ы’а, а > 1, экстремальных функций бесконечно много [Stl]. Использование вариационного метода § 7 позволило получить точную оценку логарифмических коэффициентов в U* [GStl]:

Вп = sup |6n| = 2(а — 1 + -), п — 1,2,. feu* п.

В § 10 с помощью вариационного метода исследуются функционалы, зависящие от коэффициентов л.-и.с. Ы’а и U*. Трудной задачей в универсальных л.-и.с. Ua является оценка тейлоровских коэффициентов. Из определения Ua следует точная оценка 1 < о>. Некоторые промежуточные результаты говорили за то, что функция kg (z) будет экстремальной для |аз| в Ua. Поэтому в [ССР] была высказана гипо.

2 1 теза, что max |"з | = -а2 + -. Однако, в [St8] было доказано, что при.

JCiUot О О 1 II а (а +^а2 + 3) ^ 2о2 + 1 а > 1 max |а3| =—- (> —-). сэто опровергает гипоте eU’a о о зу Campbell’a-Cima-Pfaltzgraff'a в Ыа. В частности, в особо интересном случае, а = 2 (он интересен тем, что S С Ы2, причем S, U2 и Щ содержат.

4 ^/28 функцию Кебе) имеем: тах|аз| > тах|аз| — - = 3.097. вмеfeu2 ~ /ещ 3 сто предполагавшегося в [ССР] значения 3 в правой части. В § 10 также доказано, что в задаче о max ап, п > 3, существует экстремальная feu’a функция вида z п — 1 п — 1 п — 1.

Jo 3=1 j=1 j=l решена задача о максимуме функционала Фекете-Сеге-Голузина в Ы’а.

St9]. При вещественных Л max |а3-ЛаЦ = - ^Л)2 + 3(1 — X) W.

А 1 2 ~ 3 max |аз—Лао I, что является уточнением нижней оценки [Р1,теорема 2.4] максимума рассматриваемого функционала в Ыа.

На множестве всех аналитических в, А функций вводится метрика p (f, g) = max |f (z) — g (z)|. В § 11 главы III при весьма общих пред-N1=½ положениях получены достаточные условия того, что экстремальная функция в Ua имеет порядок а. В частности, доказана.

Теорема 11.1. [StlO] Пусть $ - дифференцируемый по Фреше функционал на множестве аналитических в, А функций 01, Lh ~ его дифференциал в h. Если /о — экстремальная функция в задаче max Re n = 0,1, 2, • • •, и существует целое неотрицательное f&i^ce к > 2 — п такое, что L ,<�" (zk) ф 0, то ord /0 = а. j о.

Следствие. [StlO] Порядок экстремальной функции в задаче max |an (/)?, n = 2,3,., равен a. f&Ao?

В частном случае п — 3 отсюда получается известный результат D. М. Campbell’a, J. A. Cima, J. A. Pfaltzgraff’a [ССР, теорема 6.2]. оо.

Пусть /? Ua, log f'(z) = ^ bnzn, Bn = max |ЬП|. В § 12 получена n=l.

KSt] оценка логарифмических коэффициентов Bn: для всех натуральных n и для, а > 1. Этот результат позволяет уточнить верхнюю оценку Ch. Pommerenke [PI, теорема 2.4] функционала Фекете-Сеге-Голузина: 2 для A? С u, а > 1 max |аз — а% < feu *.

1-Х 3.

2 ¦, 1.

— А 3.

2, X, а Н——а—(вместо.

2 2х/3а, а —-а -|— — у Pommerenke).

2 2.

Радиусом однолистности л.-и.с. Ш называется ([Р1]) ги = тах{р: Д/^)/?-1? 5 V/? Ш1}- СЬ. Роттегепке получил верхнюю и нижнюю оценки радиуса однолистности ги (а) в Ыа. Однако, точное значение ги (а) до сих пор не найдено. По аналогии с радиусом однолистности.

D. M. Campbell [CI] ввел понятие ¿-^-радиуса семейства Ыа и получил его оценки: R?{a) = max{/): f[pz)p~l ?U? V/ G? < а.

2 — 1, ^j) < R?(a) < (? + y/?2 — l)(a — >Д*2 — 1) случай /3 > оне интересен, т. к. U? D Ua и. R?(a) = 1). В § 13 получено точное значение R?{oi) = (? + / ?2 — 1)(«~ л/"2 — 1) — Для радиуса однолистности отсюда получается.

Следствие. [GSt4] Обозначим р (сх) = (а + у/а2 — 1) ru (a). Функция р (а) возрастает по a Е [1, оо) — р (1) = 1, lim p (a) = 7 Г. a—"oo.

При? = 1 Ri (a) — радиус выпуклости семейства, и получается известный результат Ch. Pommerenke [1,теорема 2.5]. Аналогичное верно и для радиуса звездообразности в Ъ1а, причем получается асимптотическое (при a —"• оо) улучшение известной оценки Ch. Pommerenke [PI, стр. 134].

§ 14 посвящен некоторым известным экстремальным задачам в Ua. Важнейшей из них является теорема вращения в т. е. оценка I arg f'(z)I, / G Ua, при фиксированном zG A. Ch. Pommerenke доказал [PI, стр. 126], что.

V"2 — 1 log < G (z) = max | arg/'(*)l < 2gE (|*|, -) =.

1 — z feua a rz I /1 C2 /а2 i i I Л v J < -1 log 444+2 arcsin и? (4).

Jo 1— 4 1— z левая часть этого неравенства получается из рассмотрения конкретной функции из Ua.

В 1974 г. D. М. Campbell и М. R. Ziegler ([CZ1], [CZ2]) исследовали свойства функции G{z) в частности, они доказали, что левая оценка 1 в (4) не является точной для 0 < z < —. Вопросу точности оценок ки &igf'(z) в Ua, в частности, посвящена работа D. М. Campbell’a и J. A. Pfaltzgraff’a [СР]. В § 14 доказано, что: G (z) = 2a?(|z|,?). Существенную «помощь» в получении окончательного вида теоремы вращения в Ua оказали введенные в § 5 семейства Ы’п и разработанный в § 7 вариационный метод.

Обозначим {f, z} производную Шварца локально однолистной функции / в А. Поскольку ord / и sup[(l — z2)2{f (z), z}] = о/ являются zeA инвариантами относительно преобразования / i—> Л^[/], то интересно выявить соотношение между ними. Для f? Ua Ch. Pommerenke [PI, стр. 133] получил точную оценку: ord / < J 1 + о j ?2. Очевидно, а = sup ord /, обозначим <7 (а) = sup a f. В § 14 доказано, неравенство feua feua, а < у/а (а)/2 [GSt4].

§ 15 посвящен важнейшему л.-и.с. — классу S однолистных функоо ций f (z) = anZnа именно — задаче описания функций класса S,.

71 = 2 дающих локальный экстремум двум вещественным функционалам одновременно. А. С. Schaeffer и D. С. Spencer решили эту задачу для функционалов ап и |ат| при дополнительном предположении, что (п — 1) и (m — 1) взаимно просты [ScSp], Dl]- в этом случае экстремальные функции имеют вид z[(l-riz)(l-Tz)]- M — |т| = 1. (5).

Для этих же функционалов А. К. Бахтин [Bahl], [Bah2] нашел вид экстремальных функций (тот же вид (5)) при дополнительном предположении, что O2 ф 0 для экстремальной функции. Для тех же функционалов, но без каких бы то ни было дополнительных ограничений, в § 15 доказано [StA], [St 12], что искомое множество экстремальных функций имеет вид.

Ы = M = 1, d— общий делитель (п — 1) и (m — 1). В [St 12] рассмотрены и функционалы гораздо более общего вида F (а 2,., ап), Ф (а2? • • •, ат) — вещественные функции своих аргументов, зависящие от коэффициентов функций / G 5. В предположении, что VF ф 0 ф УФ, обозначим dF дФ к = 2-р——, к = 2,. щ = 2-—, I = 2,., m, и и v — наиболь-дак осц шие номера, для которых Хи ф 0, и? iv ф 0, соответственно. В § 15, в частности, доказана.

Теорема 15.1. [БЫ2] Если на функции /о Е 5 достигается локальный экстремум функционалов Г и Ф и v-l.

Vv u- 3).

Ац-1.

А 7.

— 3) 4|tt v.

6) то /о имеет вид (5). В случае равенства в (6) при и ф V функция /0 также имеет вид (5) — то же верно и при и = V = 3 и ——ф? 1 иля.

А, А и-1.

А,.

4, У^^УФ.

Заметим, что доказательство результатов из § 15 опирается прежде всего на дифференциальное уравнение типа Шиффера, используемое для исследования многих экстремальных задач в классе Это обстоятельство дает возможность получать теми же методами аналогичные результаты в других классах однолистных функций, не являющихся л.-и.с.: в классе ограниченных однолистных функций [81:13], меро-морфных и однолистных в, А функций, имеющих в, А единственный простой полюс [Ь^] (эти результаты не вошли в диссертацию).

Переходим к главе IV. Обозначим В — класс аналитических в, А функций Блоха, т. е. таких функций д, для которых ||д||в = эир (1 — г? а.

И2)!^2)! + |р (0)1 < Еще в [ССР] было замечено, что / е иа<�ооиа ogfz) = д (х) д (0) Е В.

В дополнение к этому в § 16 показано, что.

2(ord / — 1) < \g (z) — д (0)\в < 2(ord / +1), причем это неравенство не моэюет быть улучшено.

Есть немало работ, посвященных эквивалентным определениям класса В (см., например, [Ах], [KZI], [Р2], [Str]). В § 16 даны некоторые эквивалентные определения класса Блоха, основанные на его связи с л.-и.с.. В частности, доказана.

Теорема 16.1. [GSt5] Пусть д — аналитическая в, А функция. Тогда g Е В, если и только если существует такая постоянная С (д), что для всех z Е, А sup а£ Д 9 z + а 1 —az — д{р) — 2 log (l + az) С (д) log.

1 + z 1 z log (l — z.

Причем, наилучшим (наименьшим) значением С (д) здесь является C (g) = ord / exp[g (s) — р (0)] ds.

Jo.

§ 17 посвящен малому классу Блоха Во, т. е. подклассу В функций д, для которых шах[д'(z)(l — |?|2)] -> 0. Здесь также в дополнение z| = r г—* 1 — к известным получены новые эквивалентные определения Во, связанные с инвариантностью Во относительно конформных автоморфизмов круга А.

Теорема 17.1. [GSt5] Пусть д— аналитическая в, А функция. Тогда g Е Во, если и только если существует такая функция е (г, |а|). определенная в [0,1) х [0,1), что 1) е (0, |а|) = 0, ds.

2) существует правосторонняя частная производная — (0, |a|) -> 0 и Г а|—>1 — 9 z + a 1 + az g{a) e (r, |а|) Va G, А и Vz, z = r < 1.

Следствие. [СБЬ5] Если д аналитична в А, то следующие условия эквивалентны: 1) д? Во].

2) 3 г? (0,1): тах [|^)|(1 — И2)] —> 0- геТ>(а, г) |а |—"-1 —.

3) Зг? (0,1): тах \д (2) — д (а)|] —-> 0- геТ>(а, г) а здесь V (a, г) = — гиперболический круг.

1 + аг.

При фиксированном Л? С рассмотрим оператор, заданный на множестве локально однолистных функций (оператор умножения на скаляр в пространстве Хорнича): [А/](г) = / (f,(s))xds. Обозначим Аа.

Jo радиус наибольшего замкнутого круга с центром в 0 такого, что для всех Л из этого круга [A/](z) Е S для всех / Е Ua.

Задача об однолистности [Лf](z) привлекала внимание многих математиков. В 1966 г. P. L. Duren, Н. S. Shapiro, A. L. Shields [DSS] л/Е — 2 доказали, что [f](z) Е S для всех / Е S и Л? С, |А| < ——. В О.

1972 г. J. Becker [Beckl] улучшил этот результат, доказав утверждение для Л Е С, |А| <1/6. В 1975 г. J. А. Pfaltzgraff [Pf] не только уточнил, но и существенно обобщил этот результат, доказав, что Аа > ½а для всех, а > 1.

Обозначим Аа = {А Е С: [А/] Е S для всех / Е Ua}- {А: |А| < Аа} - максимальный круг с центром в 0, содержащийся в Ла. В случае, а — 1 Д. А. Аксентьев и И. Р. Нежметдинов [AN] нашли.

Л1 = {АбС: |Л| < |> U |].

При, а > 1 такого описания множества Ла нет.

В [Р2] Ch. Pommerenke показал, что д Е В, если и только если существуют с Е С и / Е S такие, что g (z)-g (0) = clogf (z). (7).

В [АСР] поставлена задача нахождения наилучшего значения постоянной с для функций Блоха в (7). Эту задачу надо понимать так. Для фиксированной функции д Е В обозначим min{|c|: g (z)-g (0) = clog/'И, / E 5}, max = C (M) = MC{ 1), дев (М) где B (M) = {g e В: \g (z) — g{0)||? < M}- надо найти C (M) (или С (1)). Из условия однолистности J. Becker’a [Beck2] и установленной J. Вескег’ом и Ch. Pommerenke [BP] точности константы 1 в этом критерии легко получить: С (1) = 1.

Рассмотренная задача из [АСР] естественным образом модифицируется в свете связи между классом В и семействами Ыа: найти Са = max{c5: g (z) — д (0) = log f'(z), f Е Ua}.

Интерес к последней задаче вызван не только ее связью с задачей из.

АСР] о нахождении С (1), но и с задачей об однолистности [Л/], поскольку легко показать, что множество Ла целиком содержится в 1 круге радиуса —— с центром в 0. а.

В § 18 исследуются две упомянутые задачи: о нахождении множества Ла и о значении постоянной Са [Х^б], [СБ!?]. В частности, получена.

Теорема 18.2. [в8Ь7].

2 а>Са> 1.

2(а-1), 1 если если 7.

1 < а < -: ~ - 5 а > -. ~ 5 1.

2а к< а + 1' 1 1 если 1 < а < 3- если, а > 3.

Са «2 (а — 1)'.

При, а = 1 теорема 18.2 дает известное значение Ах = ½, нижняя оценка С дает точное ее значение.

В главе V понятие линейной инвариантности переносится на гармонические в, А функции. В § 19 даны основные определения, для гармонических функций получены аналоги известных в Ыа результатов.

Гармоническая в, А комплекснозначная функция /(г) может быть записана в виде /(г) — 1г{г) + где /г и д — аналитические в, А оо оо функции, =^ап (/)2п, д (г) = В основу опреп=0 те=1 деления введенных и исследуемых в §§ 19−21 классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Рассматриваются сохраняющие ориентацию гармонические и локально К-квазиконформные (К > 1) в, А функции f (z) = + т. е. в д/ = д/ = Таким образом, речь идет только о локально го-меоморфных функциях (однолистности не предполагается). При этом удобнее рассматривать функции с нормировкой (отличной от общепринятой): а0(/) = 0, сц (/) + (/) = 1.

Обозначим Н (а, К) множество всех локально К-квазиконформных гармонических в Д функций /(г) = ?г (г) + д (г) с указанной нормировкой и таких, что Ь!(г)/Ъ!{0>) Е Ыа.

Расширяющиеся с ростом а, К Е [1, оо] классы Н (а, К) охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические в, А функции / с принятой нормировкой. При конечных, а и К семейства Н (а, К) секвенциально компактны относительно равномерной сходимости внутри А, справедливы точные оценки ^14]: —- < |"1(/)| < —-,.

1 -(- к 1 — /с к 1 + к а1(/)| < -К = —. Обозначим производную по направлению.

1 -(- к 1 — к вектора егв до/(г) = Дто + = + д/{г)е~гв.

Аналогом определения л.-и.с. для гармонических функций является.

Определение. [8Ы4] Семейство гармонических в, А функций называется линейно инвариантным семейством (л.-и.с.) гармонических функций, если для каждой функции / Е a) Jf (z)>OвA (/ сохраняет ориентацию в А) — b) а0(/) = 0, а!(/) + а1(/) = 1- (8) c) для любых, а Е, А и в Е М. функция.

— /(А) г / I + ах I -71-,, 4в — ^ &.

1 — а) дв/(е а).

Известные классы гармонических функций К, н, Сн, Бн (см., например, [ВН]) — аналоги классов 1С, С, Б в гармоническом случае — при нормировке (8) являются л.-и.с. гармонических функцийклассы Н (а, К) также являются л.-и.с., Н (а, 1) = Ыа.

Обозначим Г = Ff — /(А) двумерное гладкое многообразие — образ круга, А при локально гомеоморфном отображении /? Н (а, К) — для? ^? А величины, и имеют прежний смысл. В § 19 получены теоремы искажения в Н (а, К), в частности,.

Теоремы 19.2,4 (искажения). [8Ы4] Для каждой функции ./' = /г + д € Н (а, К) (а, К < оо) справедливы неравенства.

1(1-|г|г1<|ад<^(1 + |гГ1 (l + H)0¹.

1-|*|)а+1' 9.

2oiisT.

1 -г 1 + г сн dF (0,f (z))<^.

1 + г 1 — г а.

— 1.

7 Г.

10) г = г. Равенство в (9) достигается при в = ± — • Причем, если г — гегф. то равенство справа получим при h (z) = Ф.

2а (1 — к).

1 + ге~гф 1 g (z) = (11) равенство слева получим при h (z) = гф.

2а (1 + к) 1 ze 1С.

1 + ze" g (z) = kh{z). (12).

В правой части (10) знак равенства для d (0, f (z)) и 1(0, f (z)) достигать ется для функции (11) при ф = ±— и z = ±ri, в левой части (10) — для.

7 Г функции (12) при ф — ±— и z = ±-гг. j.

При К = 1 эта теорема представляет собой известную [Р1] теорему искажения Ыа.

В § 19 получена также теорема вращения в Н (а, К) — по аналогии с аналитическими функциями дано определение порядка л.-и.с. У) гармонических функций: ord fj = sup |а2(/) + а2 (/)|• Доказана.

Теорема 19.6. [БШ] ог<1 Н (а, К) = аК.

В качестве следствия этой теоремы получается точная оценка в Н (а, К) (а, К < оо) мм дет.

1 —.

Используя линейную инвариантность Н (а, К) и известные результаты в Ыа, в § 20 получена оценка радиуса однолистности функций из Н (а, К).

Обозначим df{z) — радиус наибольшего однолистного круга с центром в /(?), лежащего на однолистной поверхности Ff = /(А). В § 20 получена оценка (^¡-(г):

Теорема 20.2. [БИ5] Для любых / е Н (а, К), а е [1, оо], К <Е [1, оо) и для любого г£ А а/(*)| + 15/М1) = Ц^^т < < (1з).

К (1 — |г|2)гшп |3"/(г)| = К (1 — |г|2)(|с"/(г)| - |3/(г)|). и.

Постоянная —в нижней оценке не улучшаема. Постоянная К в 2 а К правой части неравенства (13) не является точной.

Естественно, возникает вопрос, нельзя ли в правой части (13) вместо К поставить 1, что верно для аналитических функций /. Однако, в § 20 приведен пример функции, показывающий, что при К > л/2 в правой части (13) вместо К нельзя поставить постоянную, меньшую К2.

2/К2 1'.

§ 21 посвящен гармоническим функциям Блоха. Для аналитических функций Блоха известна [Р2] их геометрическая характеристика: Е Б -<=>- вир df (z) < оо.

14).

По аналогии с классом Блоха аналитических функций определяется класс Блоха гармонических вещественнозначных функций (см., например, [Lig]), как множество гармонических в, А функций и, удовлетворяющих условию sup[|Vu|(l — |z|2)] < сю. Для рассматриваемых гармонике, а ческих функций / = u+iv = h+g имеем: Vu (z)2 + Vv (z)2 < 8h'(z)2. Поэтому класс Блоха Вн комплекснозначных гармонических функций естественно определить так. Гармоническая функция / = h + д G Вн, если и только если.

1) Jf (z) >0 б А, причем Jf (z) = 0 h'{z) — 0;

2) sup[|/i'(-z)|(l — z2)} < оо, т. е. h G B. ze a.

Первое условие этого определения означает, что непостоянная функция / G Вн сохраняет ориентациюэто делает класс Вн более «геоме-тричным». Условие Jf (z) = 0 h'(z) = 0 исключает неинтересный случай: f (z) = el6(h (z) + h (z)), когда /(А) лежит на прямой.

Естественно, возникает вопрос, сохраняется ли утверждение (14) в случае Вн, т. е. / G Вн dfiz) < В § 21 доказана.

Теорема 21.1. [St 15] Пусть f — гармоническая в, А функция. Тогда.

1) / € Вн supzeA df (z) < оо;

2) если sup df (z) < оо и f — локально K-квазиконформна, то f? Внze а.

Приведен пример, показывающий, что требование локальной К-ква-зиконформности (К < оо) в п. 2) теоремы 21.1 является существенным. В заключение дано несколько эквивалентных определений Вн.

Теорема 21.2. [St 15] Пусть для гармонической функции / = h + g выполнены условия п. 1) определения класса ВнТогда следующие условия эквивалентны: a) / G Внb) существует натуральное п такое, что sup [d? f (z)(l — z2) n] < ооздесь dg f (z) обозначает производную n-го порядка функции f по направлению егв. c) существуют ф, ф G (^J Ua такие, что f (z) = /(0) + log (ф1 (г)ф'(z)) — а< оо d) семейство функций < / (^J — f (a) '• a G, А > - конечно нормальное, т. е. из любой последовательности функций этого семейства можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри, А к конечной функциие) существет постоянная С (/) > 0, для которой sup а€Л c (f), i + N —loe—— для всех z Е А;

2 6 1 — Ы наилучшее значение C (f) равно \f (z)-f (0)\BH = svp[(df (z) + df (z)) zea i-M2)].

В § 22 по аналогии с аналитическими функциями [РЗ] вводится понятие предельного семейства С (ег<,/) для гармонических функций / Е Н (а, К): пусть / Е Н (а, К)} в Е М. Обозначим через £(ег0, /) множество всех функций q (z), для каждой из которых существует такая последовательность положительных чисел £п —> 1—- тао равномерно внутри A fe (z,?n) —> q (z) = H (z) + G (z), H и G регулярны в А. те—>¦ оо.

Заметим, что £(ег6>,/) ф 0. В § 22 исследованы свойства С (ег0,/). В частности, установлены необходимые и достаточные условия того, что предельное семейство состоит из единственной функции, и указан вид этой функции.

Глава VI разбита на §§ 23, 24. В § 23 вошли определения и основные полученные результаты, в § 24 выделены теоремы регулярности и близкие к ним вопросы. По аналогии с л.-и.с. аналитических в круге функций в § 23 дано.

Определение. [GSt9] Пусть I = 1,., ш, фиксировано. Семейство ЭДТ/ аналитических в А&tradeфункций f (z) называется 1-линейно-инвари-антным семейством (1-л.-и.с.), если 0 в A-, f (0) = О, g (O) = 1;

2) V/ е ЯЛ/ и V0 = (0Ь. е Мт =Фf (zeie)e~ie' Е ШТЬ где? ei9 = (Vfll,.,^eifl");

3)/а = (аь. , ат) Е А7 ыт = iM = - ?(Фа (о))} df dzi а)(1-|а/р еш. где (f>a (z) = (j.

Z + «1^т + «га Of.

1 ~Ь 0″ mzm автоморфизм из Am в А?

Обозначим ——(z) = 1 + c1(f)z1 +. + cm{f)zm + o[\z\), 1121 dzi max Zj.

1 < j.

Если / удовлетворяет условию 1) определения, то порядком функции / называется ([GSt9]) число ord/ = sup I||V^(0)|| = i sup ||(ci (/"),., cm (/a))||.

Порядком линейно-инвариантного семейства 9Л/ назовем число ord Tli sup ord/. Универсальным 1-линейно-инвариантным семейством Ula feMi порядка, а назовем объединение всех 1-линейно-инвариантных семейств 9Л/, для которых ord 9Л/ < а. Примерами /-л.-и.с. являются: Ki — класс аналитических в Ато функций, удовлетворяющих условию 1) определения и таких, что /(Дт) — выпуклая областьШ1/ = {f (z) = Ф (^): Ф Е Ыа} — /-л.-и.с. порядка а.

Для Ы1а получены аналоги известных [Р1] результатовв частности, доказана.

Теорема 23.2. [GSt9] Для любой функции /? Ы1п и любого z 6 Дт выполняются неравенства.

2, df т «log Д — k= 1.

1 + Ы Ы.

1-NI2 т п.

Лг=1.

1 ~ Ы 1 + Ы.

3/ dzi w га i + Ы.

Неравенства точныеравенство достигается при вещественных zk для функции Ф (<�г) = — liiji m п lk—1.

1 + zk 1 — zk a 1.

В § 23 установлена связь между семействами Ы1а при различных, а и I [0819], другие свойства^ [8 110].

Класс Блоха В аналитических в поликруге Дт функций определяется подобно случаю т = 1. Это — множество функций д с конечной нормой \д\в = |р (0)| + max sup dg dzk.

1-W2).

Как и в случае.

I1. одного переменного, класс В связан с семействами Ыс.

Теорема 23.4. [GSt9] Пусть I — 1, • • •, m — фиксированное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

0) девз f ii) существует f Е II Ula такая, что g (z)—g (О) = log ——(z), a — ord/- г vzi причем 2(a — 1) < ||g (z) — #((c))||? < 2(a + 1).

С помощью этого утверждения, в частности, получен аналог теоремы 16.1 для поликруга.

В § 24 получены аналоги утверждений из §§ 2,3,4- в частности, аналоги теорем 2.1 и 2.2 [8 111], [СБШ]- 2.3, 3.1 и 3.2 [СБШ]- причем в аналоге теоремы 2.4 при т > 2 можно снять ограничение на а: а > 2. Так сказывается эффект многомерности.