Биалгебры, заданные на простых альтернативных и мальцевских алгебрах

Уравнения Янга-Бакстера являются объединяющим началом при изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода обратной задачи [30], при нахождении решений некоторых моделей статистической механики [4] и при изучении факоризованного рассеяния солитонов и струн [16,17].

В работе Белавина А. А. и Дринфельда В. Г. [18] исследовались функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. В работе Столица [14], используя идеи работы Белавина А. А. и Дринфельда В. Г. [18], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.

Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера находятся в соответствии с так называемыми симплектическими алгебрами Ли — то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. В работе [3] изучались алгебры Ли, допускающие одновременно структуру квадратичной (то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической ассоциативной билинейной формой) и симплектической алгебры Ли.

Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в алгебрах Хопфа коумножение — это гомоморфизм соответствующих алгебр.

Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом [20] для изучения решений классического уравнения Янга — Бакстера. Биалгебры Ли — это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом.

В работах Желябина [22, 23] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга — Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение — это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены в [8] и изучались в [1]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга — Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Япга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [10].

С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [9] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга — Бакстера.

Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга — Бакстера, был определен в [24], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу.

В диссертации рассматриваются альтернативные, йордановы и мальцевские Д-биалгебры. Для альтернативных Д-биалгебр получены необходимые и достаточные условия в терминах коумножения для альтернативности Дбиалгебры (глава 3, параграф 1). Вводится класс биалгебр, связанных с уравнением Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Показано, что биалгебры этого класса являются альтернативными Д-биалгебрами (глава 3, параграф 2). Описывается структура альтернативной Д-биалгебры, заданная на матричной алгебре Кэ лиДиксона (глава 3, параграф 3).

В работе [22] была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что если алгебра L (J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры.

Там же было доказано, что если является присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры (А, А), то на алгебре L (A^) можно задать структуру биалгебры Ли, связанную в некотором смысле с биалгеброй (А (+), Д (+)).

В настоящей диссертации доказывается аналог данного утверждения в случае, когда, А — матричная алгебра Кэли — Диксона, а пара (А, Д) — альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим строится пример альтернативной Д-биалгебры (А, Д), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (/5.W, нельзя продолжить до структуры биалгебры Ли на алгебре L (A^)(глава 3, параграф 5).

Алгебры Мальцева были введены А. И. Мальцевым [29] как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита [28]. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения [12, 26]. Вершининым в работе [15] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева, в частности, были получены условия на коумножение, при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева.

В диссертации для биалгебр Мальцева рассматривается аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности, показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева (глава 4, параграф 2). Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутом полем (глава 4, параграфы 3−5)).

Новизна и научная значимость работы.

Результаты являются новыми, и могут быть использованы для написания научных статей в области теории колец. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Алгебра и её приложения «Красноярск, 12−18 августа 2007 годаМеждународной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева, Санкт-Петербург 24−29 сентября 2007 годаМеждународной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 28 мая — 3 июня 2008 годаМеждународной научной конференции «Мальцевские чтения 2008 Новосибирск, 11−13 ноября 2008 годаМеждународной конференции International Conference on Algebra and Related Topics, Гуанчжоу, Китай, 23−27 июня 2009; 41-й Всероссийской молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 1−5 февраля 2010 гМеждународной научной конференции «Мальцевские чтения» 2010» 2−6 мая 2010 г., НовосибирскМеждународной алгебраической конференции, посвященной 70-летию А. Яковлева, Санкт-Петербург, 19−24 июня 2010. Также, результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Института математики СО РАН «Теория колец» им. Ширшова, общеинститутском математическом семинаре Института Математики СО РАН, Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» .

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31−32].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Она изложена на 83 страницах, библиография содержит 42 наименования.

1. Aguiar М. On the associative analog of Lie bialgebras// Journal of algebra 244(2001), 492−532.

2. Anquela J.A., Cortes T. Montaner F. Nonassociative Coalgebras// Comm.Algebra. 1994. V. 22, N 12. P. 4693−4716.

3. Bajo I., Benayadi S., Medina A. Symplectic structures on quadratic Lie algebras// Journal of algebra 316(2007), 174−188.

4. Baxter R.J. Exactly solved models in statistical mechanics Acad. Press, London, New York, 1982.

5. Drinfeld V. G. Quantum Groups, Proc. Int. Congress Math., Berkeley, 1986. Providence RIAmer. Math. Soc., 1987, 798−820.

6. Elduque A., On maximal subalgebras of central simple Malcev algebras // J. Algebra, 103 (1986), 216−227.

7. Jacobson N., Structure and representations of Jordan algebras (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, 39), Providence, Rhode Island, Amer. Math. Soc., 1968.

8. Joni, S.A. and Rota G.C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics// Studies in Applied Mathematics 61, (1979), 93−139.

9. Mudrov A.I., Associtive triples and the Yang-Baxter equation// Israel Juornal of Mathematics 139, (2004), 11−28.

10. Polishchuk A. Clasic Yang — Baxter Equation and the A-constraint// Advances in Mathematics, vol. 168, No. 1, 2002, 56−96.

11. Sagle A.A., Malcev algebras // Trans. Am. Math. Soc., 101, № 3(1962), 426−458.

12. Sagle A.A. Simple Malcev algebras over fields of characteristic zero, Pacific J. Math. 12(1962), 1047−1078.

13. Schafer R.D., An introduction to nonassociative algebras, N.Y., Academic Press, 1966.

14. Stolin A. A. Some remarks on Lie bialgebra structures on simple complex Lie algebras // Comm. in Algebra, 27, 9(1999) 4289−4302.

15. Vershinin V.V., On Poisson-Malcev Structures // Acta Applicandae Mathemati-cae, 75(2003) 281−292.

16. Zamolodchikov A.B. Zamolodchikov Al.B., Ann. Phys. 120 (1979) 253.

17. Zamolodchikov A.B., Zamolodchikov Al. В., Nucl. Phys., B133, No. 3, 525−535 (1978).

18. Белавин А. А., Дринфельд В. Г., О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли // Функц. анализ и его прил., т. 16, вып. 3(1982), 1−29.

19. Гайнов А. Т., Бинарно лиевы алгебры низких рангов // Алгебра и логика, 2, № 4 (1963), 21−40.

20. Дринфельд В. Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга — Бакстера, ДАН СССР, 268, N 2, 1983, 285−287.

21. К. А. Жевлаков, A.M. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным. Наука. 1978.

22. Желябин В. Н. Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли // Алгебра и логика т.1,36(1997), 3−25.

23. Желябин В. Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сибирский математический журнал, 39, 2(1998), 299−308.

24. Желябин В. Н. Об одном классе йордановых Д-биалгебр// Алгебра и анализ т.11(1999), вып. 4, 64−94.

25. Желябин В. Н. Йордановы D-биалгебры и симплектические формы на йордановых алгебрах // Математические труды. 2000. Т. З, N1, С. 38−47.

26. Е. Н. Кузьмин Алгебры Мальцева и их представления, Алгебра и логика, 7(1968), 233−244.

27. Кузьмин Е. Н. Структура и представления конечномерных алгебр Мальцева, в кн.: Исследования по теории колец и алгебр (Труды Ин-та матем. СО АН СССР, 16), Новосибирск, Наука, 1989, 75−101.

28. Кузьмин Е. Н., Шестаков И. П., Неассоциативные структуры, в кн.: Алгебра-6 (Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направл., 57), М. ВИНИТИ, 1990, 179−266.

29. Мальцев А. И. Аналитические лупы, Мат. Сб. 36(78), No.3 (1955), 569−575.

30. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука. 1986. Работы автора по теме диссертации.

31. Гончаров М. Е., Классическое уравнение Япга — Бакстера на альтернативных алгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли — Диксона // Сиб. мат. журн. 48 5(2007) 1009−1025.

32. Гончаров М. Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и йордановых биалгебр // Сиб. мат. журн. 51 2(2010), 268−284.Тезисы конференций.

33. Гончаров М. Е. Альтернативные Д-биалгебры, «Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 37-ой Региональной молодежной конференции 30 января 3 февраля 2006 г., с. 15−19.

34. Гончаров М. Е. Альтернативные Д-Биалгебры // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика/ НГУ, Новосибирск, 2005, стр. 6 .

35. Гончаров М. Е. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика/ НГУ, Новосибирск, 2007, стр. 6.

36. Гончаров М. Е. Альтернативные Д-биалгебры. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона./ / Международная конференция «Алгебра и её приложения»: Тезисы докладов.-Красноярск, 2007. стр.37−38.

37. Гончаров М. Е. Связь полупростых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли.// Материалы XLVI междуиараодной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика/ НГУ, Новосибирск, 2008, стр.5−6.

38. Гончаров М. Е. Связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва (2008), с. 72−73.

39. Гончаров М. Е. Альтернативные биалгебры, присоедененные йордановы биалгебры и биалгебры Ли. // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика/ НГУ, Новосибирск, 2009, стр.66−67.

40. М.Е. Goncharov On a Lie bialgebras that arise from alternative and Jordan bialgebras. // International Conference on Algebra and Related Topics (ISSA), Guangzhou (2009), p.22.

41. Гончаров М. Е. Структура биалгебры Мальцева на простой семимерной алгебре Мальцева.// Тезисы конференции «Мальцевские чтения 2010 Новосибирск, с. 106−107.