Численное моделирование физиологических систем методом нечеткой линеаризации

1.1. Цель работы и ее актуальность.

Целью данной работы является расчет погрешности результатов численного моделирования некоторых физиологических систем, обусловленной неопределенностью их параметров, с помощью разработанного метода.

Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности. Поэтому в этой области особенно актуальной является проблема расчета неопределенности результатов численного моделирования.

Для решения этой проблемы при моделировании в физиологии и других областях давно используются разнообразные численные методы, учитывающие неопределенность параметров моделей. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и область применения, которые перечисляются ниже в разделе 1.4. Наиболее гибкими и интенсивно развивающимися в настоящее время являются численные методы, представляющие неопределенность в форме нечетких чисел с произвольной функцией принадлежности. Однако реализация наиболее точных нечетких методов требует слишком больших вычислительных ресурсов, экспоненциально увеличивающихся с ростом числа нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные и математически строгие алгебраические методы интервальных вычислений дают слишком большую по величине и слишком мапоинформативную по форме неопределенность результатов, которая имеет смысл далеко не во всех прикладных задачах. В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной.

К настоящему времени математическая физиология накопила достаточно много знаний и моделей на их основе, чтобы переходить от описания частных явлений к комплексному моделированию функциональных систем и даже организма в целом. По мнению части исследователей, именно такие модели в состоянии преодолеть барьер, который отделяет физиологическую кибернетику от практического применения (прежде всего, медицинского), и обусловлен интенсивными системными взаимодействиями в организме. При создании комплексных моделей организма учет неопределенности параметров играет большую роль (хотя бы по причине их большого количества), однако существующие численные методы, как правило, не отвечают требованиям таких моделей. В частности, комплексные физиологические модели почти всегда являются весьма разнородными с математической точки зрения: они могут одновременно содержать подсистемы с сосредоточенными параметрами (алгебраические и дифференциальные) и пространственно распределенные части, описываемые уравнениями в частных производных на ветвящейся одномерной, двумерной или трехмерной геометриях.

Поэтому, помимо упомянутых выше требований высокой производительности метода и не слишком большой неопределенности его результатов, для таких моделей важна универсальность численного метода в смысле его пригодности к расчету широкого класса математических типов уравнений. Также метод должен быть универсальным в смысле произвольности способа формализации неопределенных параметров: параметры комплексных моделей могут быть как экспериментального происхождения (со статистической неопределенностью измерений), так и экспертными оценками, взятыми из разных источников и плохо сопоставимых между собой. Обе трактовки универсальности метода становятся особенно важными, когда речь идет о его реализации в рамках некоторого прикладного программного пакета широкого назначения, т. е. когда заранее неизвестно, какие неопределенные данные будут вводиться в модель, к каким типам уравнений она сведется и даже какие вычислительные алгоритмы будут использованы для ее расчетов.

При разработке комплексных моделей функциональных систем организма, наряду с недостаточностью существующих методов обработки неопределенности, возникает также много проблем содержательного характера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно исследуется в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике (см. раздел 1.5), до сих пор является актуальной задачей создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).

Таким образом, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие: во-первых, создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации инструмента численного расчета нечетких уравненийво-вторых, моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к исходным данным.

Заключение

.

В работе предложен высокопроизводительный метод проведения алгебраических операций с зависимыми нечеткими числами на основе хранения линеаризованной истории операций. Универсальность метода позволяет реа-лизовывать расчеты с нечеткими числами без привязки к конкретным классам задач (алгебраических или дифференциальных) и к конкретным вычислительным алгоритмам, предназначенным для решения этих задач в вещественных числах. Кроме того, метод позволяет анализировать погрешности результатов расчетов на предмет их чувствительности к конкретным параметрам, а также максимально экономичным образом проводить серию однотипных расчетов, в которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления. Метод внедрен в программном пакете для моделирования версии 2.1, находящейся в настоящее время в стадии альфа-тестирования.

Содержательным результатом диссертации является замкнутая модель кровообращения человека с минимальным числом подлежащих идентификации параметров и минимальным уровнем формализации закономерностей сердечной деятельности. Адекватность модели подтверждается сопоставлением с известными статистическими данными, а также явным использованием в модели эмпирических диаграмм работы сердца.

В работе приведены результаты расчетов (предложенным методом) алгебраической модели сердца и разнообразных дифференциальных систем в гауссовских и интервальных нечетких числах с помощью нескольких стандартных вычислительных алгоритмов. Проведено сопоставление полученных погрешностей решения с их оценками через многократное решение соответствующих четких задач, а также с результатами других авторов, пользующихся основанной на этом методикой решения нечетких дифференциальных уравнений. Сопоставление показало хорошее качественное, а иногда и количественное согласие между решениями при существенно меньших затратах машинного времени в случае использования предложенного метода.