Изучение асимптотического поведения решений полулинейного эллиптического уравнения

Проблема исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными при больших значениях независимой переменной является весьма важной и интересной как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений в математической физике.

Работа посвящена изучению решений уравнения ^ (а" (*) +1> М ^ - Ф)1Ф)ГУ*) = о (0.1) в разного рода неограниченных областях О, где щ (х), а (х) — ограниченные измеримые функции в Q, о — const > 1, п.

Ai|?|2<? < е IRn, |?|2 = Л1 = const > °> л2 = const > 0, a (x) >0,хеп.

Уравнения вида (0.1) встречаются в различных задачах математической физики и им посвящено много работ например Brezis [18, 19], Keller [25], Osserman [30], Veron [33−35]. Наиболее полно исследован случай) = то есть старшая часть — оператор Лапласа, щ (х) = 0, = const.

Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос об асимптотическом поведении их решений в окрестности бесконечно удаленной точки областей различной структуры. В частности, много внимания уделяется изучению поведения решений в цилиндрических областях с разного рода граничными условиями (например, Кондратьев, Олей-ник [27]- Berestycki, Nirenberg [17]- Kondratiev, Veron [28]). Такие задачи возникают в химической физике, в теории горения [5].

Заметим, что свойства решений уравнения (0.1) существенно отличаются от свойств решений линейных уравнений. Например, если и (х) — решение (0.1) в Г2 = {ж: |х| < 1}, то К0)| < С, где С от и не зависит. Это невозможно в линейном случае (а = 1). Доказательство такого неравенства имеется в работах [25] (при %(#) = Sij, щ (х) = 0), [10] (при щ (х) = 0) при a, i (x) ф 0 в настоящей работе.

Исследование уравнения (0.1) является содержательным и в случае п = 1. Такие уравнения известны как уравнения Эмдена-Фаулера. Уравнение y±taya~1y = 0 3 возникло в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена [20,21] и исследовалось затем многими авторами [22 — 24]. Оно так же встречается в ядерной физике при изучении поведения электронов в тяжелом атоме. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных уравнений типа Эмдена-Фаулера имеется в работе Сансоне Дж. [31], в монографиях Беллмана Р. [2] и Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. [6].

Работа состоит из трех глав. В главе 1 рассматриваются решения уравнения и" + Е (*) — а (®)1"Г1″ = 0 (0.2) i, j=1 г i=1 г в области = G х IR+ (G С lRn — ограниченная область, dG = Г — липши-цевая поверхность, IR+ = (0,+оо)), удовлетворяющие условию du ^ du = ^ cos (n, ж*) = 0, or G dG, t е IR.+, (0.3) i, j=l J где n — единичный вектор внешней нормали к dG х ]R+. Везде в дальнейшем, если не оговорено иное, предполагается, что все коэффициенты уравнения (0.2) fly (ж), cii (x), а (х) — измеримые, ограниченные функции в G, Oij = a, ji, а (х) > 0, fGa (x) dx > 0, и = const > 1, n mi|?|2 < ^ m2|^|2, x 6 G, f G lRn, mi, ?7i2 = const > 0.

В качестве решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3) понимается обобщенное решение. Приведем его определение.

Будем обозначать Па, ь = G х (а, 6), IIai00 = Па, Га, ь = dGx (а, Ь), Га)0С = Га. Функция u (x, t) называется обобщенным решением уравнения (0.2), удовлетворяющим условию (0.3), если u (x, t) Е W^ (Па>{,) П (Па)ь) при любых 0 < a, b < оо и имеет место равенство:

J utipt dtdx + У счj (х) ^ dtdx no, 6 na, 6.

1 du f dtdx + I a (x)u~lu^dtdx = 0.

TT i = l TT. na, 6 n0lb для любой функции ф (х, t) Е W (П0)ь) такой, что ф (х, а) = ф (х, b) = 0.

Из классических результатов о гладкости обобщенных решений линейных эллиптических уравнений следует, что и (х, t) непрерывна в Пя, при всех, а > 0 и в каждой замкнутой области Па, ъ удовлетворяет условию Гельдера [3,13]. Кроме того, G W (nQ)b), 1 < а < Ь < оо [3].

Исследованию асимптотических свойств решений уравнения (0.2) при t оо, удовлетворяющих условию (0.3), посвящены работы [4, 26−28] и другие.

В работах [4, 26, 27] изучен случай а (х) = const > 0 и показано, что для любого решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), существует Т = const такое, что u (x, t) = co (t + Т)^ + o (e~at), где, а = const > 0 от u (xyt) не зависит, |со| = ^ «1 или со — 0- Причем cq = 0 тогда и только тогда, когда решение меняет знак в каждой области Па, а > 0.

В работе [28] получен первый член асимптотического разложения решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), в случае а (х) > 0, fG а (х) dx ф 0 и щ (х) = 0.

А именно, доказано, что всякое положительное, стремящееся к нулю решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), таково что и ~ ((i^ffia)* 1 где, а = me*(G) fG а (х) dx > 0. В этой же работе приведен пример функции а (х) > 0, а (гс) ф 0 для которой существует положительное решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), не стремящееся к нулю на бесконечности. Кроме того в [28] получены достаточные условия на а (х) при которых всякое решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3) стремится к нулю.

В настоящей работе получено асимптотическое разложение решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), а именно, доказана.

Теорема 1.5 Пусть u (x, t) > 0 решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), такое, что lim^oo и (х, t) = 0.

Существует г, зависящее от u (x, t), такое, что каково бы ни было т т u (x, t) = co (t + т)^ + <*(*)(* + + о (ф-2т), (0.4) i=l где со = ^(i-t^a)" ci (x)> • • • > cm{x)~ непрерывные функции, которые не зависят от u (x, t).

Здесь, а = f а (х)щ (х) dx, функция щ (х) является решением задачи g Й (ау {х)Ю ~??-, Ых) и) = х е Gi, j-1 х г=1 п п п^2ai (x)ucos (n, Xi), х Е dG,.

0.5) г=1 удовлетворяющим условиям щ (х) >0, х € G, / щ (х) dx = 1.

Jg.

Известно, что такое существует и единственно [8,9].

Для знакопеременных, стремящихся к нулю при t —> +оо, решений уравнения (0.2), удовлетворяющих условию (0.3), доказано экспоненциальное убывание.

Теорема 1.7 Пусть u (x, t) — стремящееся к нулю при t —> +оо решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), которое меняет знак в каждой области Паа > 0. Тогда u (x, t) = o (e~lb), 7 = J Im Ai| — e, e > 0 — сколь угодно мало, Ai — ненулевое собственное значение задачи такое, что в полосе 0 < ImA < ImAi нет собственных значений этой задачи.

Утверждение теоремы 1.7 верно для стремящихся к нулю решений уравнения (0.2), удовлетворяющих однородному условию Дирихле на dG х IR+. Только в этом случае Ai — собственное значение задачи.

Еп д (, Л ди v-^ / г j=l N J г=1 п п.

— 2и = о, хе G, и = 0 на dG.

В главе 2 изучаются решения уравнения i, 7 = 1 4 J' г—1 к^ - tpu°~lu = О, (0.6) удовлетворяющие условию ди = О, х е G, t> 1, (0.7) где ^ — дифференцирование по направлению конормали. Предполагается, что все коэффициенты в (0.6) — ограниченные измеримые функции, <т = const > 1, к и р — произвольные постоянные. Уравнение (0.6) рассматривается в цилиндрической области Щ =: х 6 G, 1 < t < сю}, где G — ограниченная область с липшицевой границей. Предполагается выполненным условие эллиптичности: п.

Ш miKI 2<^ГафК&<�т2?\ i, j=1 где п mi, m2~ const, тi > 0, |2 = ч=1.

В качестве решения уравнения (0.6), удовлетворяющего условию (0.7) понимается обобщенное решение в стандартном определении. Основным результатом главы 2 является.

Теорема 2.1 Для любого решения уравнения (0.6), удовлетворяющего условию (0.7) найдется решение уравнения x + kx = tpxa~lx, t> 1, (0.8) такое, что u{x, t) = x (t) + 0{e-at), t->+oo. (0.9).

Существенную роль при изучении поведения решений уравнения (0.6), удовлетворяющих условию (0.7), играет обыкновенное уравнение у" + ку' -х?уа-1у = 0, (0.10) которое подробно исследовано в настоящей работе.

Важную роль здесь играет лемма 1.4 об ограниченности всей совокупности решений полулинейного эллиптического уравнения во внутренней точке компакта.

Рассмотрим в шаре В®- = {ж: |ж| < 1} эллиптическое уравнение: а0(х)и (х) — а (х)иа~1и = 0, (0.11) где, а = const > 1. Будем предполагать, что коэффициенты а^-(ж) удовлетворяют условию эллиптичности в В®-. Функции a, i (x), а (х) являются измеримыми и ограниченными, а (х) > А = const > 0.

Равенство (0.11) понимается в обобщенном смысле. Функция и{х) € W (В?) fl^oo (•#?) называется решением уравнения (0.11), если .ди (х) дФ. f jt-^,. ди ,.

— / VQijW ' л dx+ / > -Ф<�г® + / а0(:с)и (х)Ф<&с — / = 0, о при любой Ф е Wj1 (Б?).

Лемма 1.4 Пусть и (х) — решение уравнения (0.11) в шаре В®-. Коэффициенты a>ij (x), a, i (x), а (ж) являются ограниченными измеримыми функциями, а (х) > А = const > 0, aij удовлетворяют условию эллиптичности в В®-, а = const > 1. Тогда |гг (0)| < С, постоянная С зависит от а, п, констант эллиптичности, максимума модуля коэффициентов dij (x), a, i (x), а (х) и от.

А.

В главе 3 рассматривается поведение решений уравнений вида (0.1) в случае когда Q — внешность компакта.

Теорема 3.1 Пусть и{х) — решение уравнения si (ayW?)+^ai (x)^a (i)|, trlu=0' (ол2) i, j=l 1 ^ г'= 1 1.

Q = ]Rn К, К — компактное подмножество IR", aij (x), di (x), а (х) — ограниченные, измеримые функции, а (х) > ао = const > 0. Тогда и{х) стремится к нулю при |ж| -> +оо.

Теорема 3.2 Пусть и (х) — решение уравнения.

0.13).

Г2 = IR" К — компактное подмножество IRn, сц (х) = 0(х). Тогда и (х) стремится к нулю при |:г| —> +оо.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико — математических наук, профессору В. А. Кондратьеву за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

1. Багиров Л. А., Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии// Труды семинара им. Петровского. 2002. Т. 22. стр. 37−70.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1954.

3. Гилбарг Д. Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

4. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях// Математический сборник. 1998. Т. 189. № 3. 4568.

5. Зельдович Я. Б., Беренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. М. Наука, 1980. 500 с.

6. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1990.

7. Клоков Ю. А. О краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка// Сибирский мат. журнал 1963, Т. IV, № 1, с. 86−96.

8. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях// Труды семинара имени И. Г. Петровского. 1996. Вып. 19. 235−261.

9. Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности// Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 2. 246−255.

10. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка// Математический сборник. 1988. Т. 135. т. 346−360.

11. Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений// Известия РАН, сер. математическая 2001, Т. 65, К2 2, с. 81−126.

12. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

13. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

14. Миразай А. А. О поведении решений слабонелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях// Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1994. № 4.

15. Трофимов В. П. О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра// Мат. исследования. 1968. Т. З, вып. 3 (9). 117— 125.

16. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space// Comm. Pure Appl. Math. 1963. 16, 121−239.

17. Berestycki H., Nirenberg L. Some qualitative properties of solutionos of semilinear elliptic equations in cylindrical domains.// Analysis, ed. by P. Rabinovitz, Academic Press (1990), p.114−164.

18. Brezis H., Oswald L. Singular solutions for some semilinear elliptic equations 11 Arch. Rat. Mech. Anal. 1987 Y.99, N 3. p. 249−259.

19. Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations// Arch. Rat. Mech. and Anal. 1980. v. 75 N 1. p. 1−6.

20. Emden R. Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmentheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. Leipzig, 1907, Кар. XII.

21. Eddington A.S. The internal constitution of the stars. Cambridge, 1926.

22. Fowler R.H. The form near infinity of real, continuous solutions of certain differential equation of the second order// Quart. Journ. Math. 45 (1914), 289−350.

23. Fowler R.H. The solution of Emden’s and similar differential equations// Monthly Notices of the Royal Astr. Soc. 91 (1930), 63−91.

24. Fowler R.H. Further studies of Emden’s and similar differential equations// Quart. Journ. Math. 2 (1931), 259−288.

25. Keller J.B. On solutions of, А и = f (u) // Comm. Pure. Appl. Math. 1957. V.10 N 4. p. 503−510.

26. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains// J. Partial Diff. Eqs., Vol. 6, No. l (1993), 10−16.

27. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains//Operator Theory: Advances and Applications. 1992. V. 57. 185−195.

28. Kondratiev V.A., Veron L. Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations// Asymptotic Analysis. 1997. 14, no 2, 117−156.

29. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients// Ann. scu. norm, super. Pisa. CI. sci., 1963, 17, 43—77 (Пер. на рус. яз.: Сб. переводов &bdquo-Математика", 1965, 9, Л* 2, 72−97.).

30. Osserman R. On the inequality, А и > f (u) //Pacific J. Math. 1957. V. 7 N4.p. 1641−1647.

31. Sansone G. Sulle soluzioni di Emden della equazione di Fowler, Rend. Sem. Mat. di Roma, ser.5, 1 (1940), 163−176.

32. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinue// Ann. Inst. Fourier 15 (1965), 189 258.

33. Veron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equations j j Nonlinear Analysis Theory, Methods and Appl. 1981. V.5 N3, p.225−242.

34. Veron L. Solutions singuliere d’equations elliptiques semilineares j j C. R. Acad. Sci. 1979. V.288. Ser. A p. 867−869.

35. Veron L. Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptiques semi-lineares dans Rn // Ann. Mat. Рига Appl. 1981. V. 127 p.25−50.

36. Хачлаев Т. С. Свойства решений полулинейного эллиптического уравнения, удовлетворяющих условию Неймана на некомпактной части границы цилиндрической области. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003. № 6. С. 53−55.

37. Хачлаев Т. С. Асимптотика решений полулинейного эллиптического уравнения, удовлетворяющих условию Неймана на боковой поверхности цилиндрической области. // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2004, Вып. 24, стр. 304−324.

38. Хачлаев Т. С. Асимптотическое поведение решений полулинейного эллиптического уравнения с растущим коэффициентом в цилиндрической области// Успехи математических наук 2004, Т. 59, вып. 2, с. 185−186.