Критические ?-веерные и ?-расслоенные формации конечных групп
Общая проблема изучения ф0-критических формаций впервые была поставлена Л. А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году. В серии работ А. Н. Скибой было дано решение этой задачи в случае, когда 0 — класс всех локальных формаций, а фЕ0 некоторая формация классического типа (см., например,). Аналогичные результаты для локальных наследственных, -локальных нормально… Читать ещё >
Содержание
- Перечень определений и условных обозначений
- Общая характеристика работы
- Глава 1. Обзор результатов
- Глава 2. Предварительные сведения
- 2. 1. Методы доказательств
- 2. 2. Используемые результаты
- Глава 3. Критические со-веерные формации конечных групп
- 3. 1. Описание критических со-веерных формаций
- 3. 2. Описание критических ю-веерных нормально наследственных формаций
- 3. 3. Описание критических со-локальных формаций
- Глава 4. Критические-расслоенные формации конечных групп
- 4. 1. Описание критических О-расслоенных формаций
- 4. 2. Описание критических О-расслоенных нормально наследственных формаций
- Выводы
- Список используемых источников
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты можно найти в работах [2, 23, 33, 42, 44, 46, 48].
Класс групп — совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей. ф, Ш, 2, ?> — некоторые классы групп. @ - класс всех конечных групп, р, Я-простые числа. 1Р — множество всех простых чисел. со — непустое подмножество множества Р. ?5 — класс всех простых групп. О — непустой подкласс класса ?5.
7 г (С) — множество всех простых делителей порядка группы в. п (3с) — объединение множеств 7 г (0) для всех групп С из множества групп
К (0) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы в.
К (Ш) — объединение множеств К (0) для всех групп в из множества групп
0 — пустое множество, ю-группа — такая группа в, что тс (0)?со.-группа — такая группа в, что О. и — класс всех со-групп. n — класс всех Q-групп- полагают, что 1Е
Щ — класс групп, порожденный множеством групп 36.
Главный фактор группы G — фактор главного ряда группы G. Главный р-фактор группы G — главный фактор группы G, который является р-группой.
Главный А-фактор группы G — главный фактор Н/К группы G, такой, что ЛТ (Н/К)=(А). ер — класс всех групп, у которых каждый главный р-фактор централен. <2>сА — класс всех групп, у которых каждый главный А-фактор централен.
— класс всех q'-rpynn. £ДР- класс всех р-групп. Ii — класс всех абелевых групп. А'=3А), гдеАеЗ". а=(c)(А) класс всех групп, у которых все композиционные факторы изоморфны А. а' =(c)з (А)~~ класс всех групп, у которых нет ни одного композиционного фактора, изоморфного А.
Gs —-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/Meo где {5 — непустая формация групп.
Gg — {^-радикал группы G, то есть произведение всех тех нормальных подгрупп М из G, которые принадлежат где S — непустой класс Фиттинга. diiJ — произведение классов групп Н и {5, то есть (G: G имеет нормальную подгруппу NG3i с G/NEi5).
— формационное произведение классов групп дс и то есть ХоОЦХ}: О^еЗЁ:), где бг — непустая формация. Если {5=0, то полагают
05 — радикальное произведение классов групп Зс и то есть Зс О {5= (в: ОЛЗхебг), где Ж — непустой класс Фиттинга. Если Э£=0, то полагают
Оа (в) — ©-^-радикал группы в. 0Р (0) — 5Яр-радикал группы в. Оп (О) — ©-^-радикал группы в. С>?руд>(0) — (c)(2ру5Яр-радикал группы в. 0А'(0) — (c)А-радикал группы в. Рср (0) — <2>ср-радикал группы в. Рр (0) — @р-^р-радикал группы в.
Рд (О) — пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы в- если в в нет главных А-факторов, то полагают РА (0)=0. Ф (в) — подгруппа Фраттини группы в.
Запись 0=[М]М означает, что в является полупрямым произведением подгрупп N и М, причем N<0.
Многообразие групп — класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.
Формация — класс групп {5, для которого выполняются условия:
1) если ве^ и N<0, то О/ые^-
2) если О/Ы^ и СЛМ2е{5, то 0/(Ы, ПЫ2) е{5.
Нормально наследственная формация — формация, которая с каждой своей группой G содержит все нормальные подгруппы группы G.
Наследственная формация — формация, которая с каждой своей группой G содержит все подгруппы группы G.
Класс Фиттинга — класс групп {5, для которого выполняются условия:
1) если GeS и N
2) если G=N, N2, Ni {формации групп} - со-формационная функция простого натурального аргумента или, коротко, coF-функция. h: QU{Q'} —> {формации групп} - QF-функция- h принимает одинаковые значения на изоморфных группах из Q. g: Р —> {формации групп} - формационная функция простого натурального аргумента или, коротко, PF-функция. k: —*¦ {формации групп} - F-функция- к принимает одинаковые значения на изоморфных группах из
8: IP —> {непустые формации Фиттинга} - формационно-радикальная функция или, коротко, PFR-функция.
Ф: {непустые формации Фиттинга} - FR-функция- ф принимает одинаковые значения на изоморфных группах из
Пусть j/i и |/2 — coF-функции (PF-функции, PFR-функции). Говорят, что i<|/2, если j/i (p)cvi/2(p) для всех pGcoU{co'} (для всех pGP).
Пусть i|/i и vj/2 — QF-функции (F-функции, FR-функции). Говорят, что |/1<|/2″ если |/i (A)c|/2(A) для всех AGQU{Q'} (для всех AG5). со-веерная формация с со-спутником Г и с направлением 5 — формация {5=соР (Г, бив: С/ОС0(О)ЕГ (с0|) и О/ОадЕВД для всех рЕтг (С)Псо), где f- оЯ7функция, 8 — РРЯ-функция. веерная формация со спутником % и с направлением 8 — формация 0/С5(р)её (р) для всех рЕтг (О)), где ё — РР-функция, 5
РРЯ-функция. со-полная (полная) формация, или коротко, соА-формация, — со-веерная веерная) формация с направлением 80, где 50(р)=(c)р' для любого рЕР- обозначается соАР (0 (АРф). ю-локальная (локальная) формация, или коротко, соЬ-формация, (Ь-формация) — со-веерная (веерная) формация с направлением 8], где
81(р)=(c)р'5Яр для любого рЕР- обозначается соЬРф (ЬР (1}). со-специальная (специальная) формация, или коротко, соБ-формация (Б-формация) — со-веерная (веерная) формация с направлением 82, где 82(р)= гру^р для любого рЕР- обозначается соЭРф (БРф). со-центральная (центральная) формация, или коротко, со2-формация (Ъформация) — со-веерная (веерная) формация с направлением 83, где 8з (р)=<�Зср для любого рЕР- обозначается со2Р (1} (2Р (1}).
О-расслоенная формация с-спутником Ъ. и с направлением ср — формация г5=ОР (Ь, ф)=(0: 0/0П (0)ЕЬ (0') и С/0(р (А)ЕЬ (А) для всех АЕДО) ПО), где Ь
ОР-функция, ф — РЯ-функция. расслоенная формация со спутником кис направлением ф — формация
5=Р (к, ф)=(0: 0/0ф (А)Ек (А) для всех АЕДв)), где к — Р-функция, ф — РЯфункция.
О-свободная (свободная) формация — Г2-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф0, где ф0(А)=(c)А'> для любого Ае£5- обозначается ¿ИОД (Ргф).
О-каноническая (каноническая) формация, или коротко, ГЖ-формация (К-формация) — О-расслоенная (расслоенная) формация с направленим (р2, где
Ф2(А)=@А'(c)а Для любой группы Ае ?5- обозначается ОКРф (КРф).
О-биканоническая (биканоническая) формация, или коротко, ОВ-формация (В-формация) — ¿^-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф2, где ф2(А)=@А для любой неабелевой группы А£$- и ф2(А)=@А-@А для любой абелевой группы Ае£$- обозначается ОВР (1}
О-композиционная (композиционная) формация, или коротко, ОС-формация (С-формация) — О-расслоенная (расслоенная) формация с направленим ф3, где ф3(А)=(ЗсА, для любого Ае
Ь-направление со-веерной формации — такое направление 5, что 8(я)=5(я)?Дч Для любого це1Р. р-направление со-веерной формации — такое направление 8, что 8(я)=@ч'8(я) для любого яЕ (Р. г-направление со-веерной формации — такое направление 8, что для любого яеР. п-направление П-расслоенной формации — такое направление ф, что А^ф (А) для любой неабелевой группы Ае
Ь-направление О-расслоенной формации — такое направление ф, что ф (А)=ф (А)@А для любой абелевой группы АЕ ?5. r-направление Q-расслоенной формации — такое направление ф, что ф (А)=@А'ф (А) для любого AG ?5. х1×2.хп-направление со-веерной (Q-расслоенной) формации — такое направление, которое является xj-направлением для любого i=l,., n.
Коллинеарные направления — такие направления ф Q-расслоенной формации и 8 со-веерной формации, что 9(Zp)=8(p) для любого pGlP.
Внутренний со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации
— такой со-спутник (Q-спутник) f формации {5, что для любого pGcoU{co'} для любого AGQU {Q'}) имеет место f (p)c{5 (f (A)c{5).
Максимальный внутренний со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации S — максимальный элемент множества всех внутренних со-спутников (Q-спутников) формации ?5.
Минимальный со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Q-расслоенной) формации — минимальный элемент множества всех со-спутников
Q-спутников) формации
Нормально наследственный со-спутник (Q-спутник) со-веерной (Qрасслоенной) формации — такой со-спутник (Q-спутник), все значения которого являются нормально наследственными формациями.
Наследственный со-спутник со-веерной формации S — такой со-спутник, все значения которого являются наследственными формациями.
Согласованные спутники — Q-спутник f Q-расслоенной формации и соспутник h со-веерной формации, если f (Zp)=h (p) для любого pGco и f (Q')=h (co'), где (Zp: pGco)=Qn?f.
-формация — такая формация {5, что SG0, где 0 — некоторая непустая совокупность формаций.
Фе-критическая формация — такая 0-формация г5, что б^Ф, а все собственные 0-подформации из 5 в классе ф содержатся, где 0 — непустая совокупность формаций, ф — некоторый класс групп. formX — формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех формаций, содержащих 26- если 36={G}, то пишут forrnG вместо form{G}. swformX — нормально наследственная формация, порожденная совокупностью групп sform36 — наследственная формация, порожденная совокупностью групп var3? — многообразие, порожденное совокупностью групп
Секция группы G — факторгруппа А/В, где, А — подгруппа группы G, В -нормальная подгруппа группы А.
Формационная секция группы G — секция группы G, принадлежащая формации formG.
Критическая группа — конечная группа G, не принадлежащая многообразию, порожденному всеми собственными секциями группы G.
Формационно критическая группа — конечная группа G, не принадлежащая формации, порожденной всеми собственными формационными секциями группы G.
Максимальная 0-подформация 0-формации О1 — такая собственная 0-подформация формации {5, что для любой 0-формации S3, удовлетворяющей включению имеет место равенство 9Л=23, где 0 — некоторая совокупность формаций.
Монолитическая группа — группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит). соР (Э?, 8) (РР (Э?, 8)) — со-веерная (веерная) формация с направлением 5, порожденная множеством групп 36, то есть пересечение всех ю-веерных (веерных) формаций с направлением 8, которые содержат множество групп
ПР (Э?, ф) (Р (Э?, ф)) — ¿^-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ср, порожденная множеством групп дс, то есть пересечение всех Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением <р, которые содержат множество групп а) Р (0,8) — формация соР (36,8), если Э£={0}. Аналогично определяются формации РР (0,5), Г2Р (С, ф), Р (в, ф) и другие.
Ю5"Р (3^, 8) (5лР (Х, 8)) — пересечение всех нормально наследственных ю-веерных (веерных) формаций с направлением 8, которые содержат множество групп И.
1уиР (Э?, ф) (5"Р (Х, ф)) — пересечение всех нормально наследственных Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением ф, которые содержат множество групп И. юР5&bdquo-(3£, 8) (Р5"(3б, 8)) — пересечение всех со-веерных (веерных) формаций с направлением 8, содержащих множество групп которые обладают хотя бы одним нормально наследственным оз-спутником (спутником).
ОР5"(Х, ф) (Р™(?, ф)) — пересечение всех Г2-расслоенных (расслоенных) формаций с направлением ф, содержащих множество групп которые обладают хотя бы одним нормально наследственным О-спутником (спутником). соАР (Зе) (юАуиР (Х), А?(Щ, АмР (Ж)) — формация соР (^, 80) (со^^.Зо), Р (36,8о), 5"Р (36,8о) соответственно). дс) ((дгяпЦЩ, г?(дс), Хзп¥-(26)) — формация соР (Зе, 53) (со^Р (Зе, 53), Р (36,8з), соответственно). ю8Р (?) (а>8мР (?), Ъзп?(Щ) — формация соР (Э?, 52) (ш5яР (Ж, 52), Р (Э6,82), зп?(Х, 82) соответственно). соЬР (Х) (соЬ^Р (Зе), Ь?(3с), 1лп?(Х)) — формация 0^(26,80 (со^ЭеЛ), ¥-(1£, д1), 5п?(??, Ъ) соответственно). оср (36) (полр (зе), СР (ЗЕ), СМ^Я)) — формация ор (зе, ф3) (а^эе.фз),
Р (36,фз), 5лР (Э^, фз) соответственно). овр (эе) (пв^сх), ВР (Ж), в^да) — формация ор (зе, ф2) (о^"р (зе, ф2),
Р (36,фг), тР (Х, ф2) соответственно).
001^(26) (1^(3:)) — пересечение всех со-локальных (локальных) формаций, содержащих множество групп Э, которые обладают хотя бы одним наследственным со-спутником (спутником). соЬЛ^ЭЕ:) (Ь5р (3?)) — пересечение всех наследственных со-локальных локальных) формаций, которые содержат множество групп И. базисная (¿"-базисная, ¿-базисная) группа — такая формационно критическая группа в, что формация йшпО (¿иГогтО, ¿Рогтв соответственно) содержит единственную максимальную (нормально наследственную, наследственную соответственно) подформацию. соб-базисная (сояиЗ-базисная) группа — такая формационно критическая группа в, что формация соР (С, 8) (оошР (0,8)) содержит единственную максимальную со-веерную (нормально наследственную) подформацию с направлением 8.
Пф-базисная (Ояиф-базисная) группа — такая формационно критическая группа в, что формация ОР (С, ф) (С1улР (0,ф)) содержит единственную максимальную О-расслоенную (нормально наследственную) подформацию с направлением ср.
Аналогично определяются 8-базисная (зиЗ-базисная) и ср-базисная (.шф-базисная) группы.
-базисная (а)5и7-базисная, 2-базисная, ¿^-базисная) группа — это со8з-базисная (сояибз-базисная, 53-базисная, 5и6з-базисная соответственно) группа. соБ-базисная (оо, ш8-базисная, 8-базисная, 5"8-базисная) группа — это соб2-базисная (о>5и82-базисная, 82-базисная, ?и82-базисная соответственно) группа.
ОС-базисная (ПялС-базисная, С-базисная, 5"С-базисная) группа — это Г2(р3-базисная (соответственно С1ужр3-базисная, ф3-базисная, яяфз-базисная) группа.
ОВ-базисная (ОшВ-базисная, В-базисная, яиВ-базисная) группа — это Оф2-базисная (соответственно П, уиф2-базисная, ф2-базисная, 5иф2-базисная) группа.
Список литературы
- Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука. 1979.
- Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: СГПИ, 1988.
- Ведерников В.А. О новых типах ш-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. теор. чисел. Пращ. Киев, 2002. — С. 36−45.
- Ведерников В.А. Максимальные спутники О-расслоенных формаций и классов Фиттинга. Препринт. Москва: МГПУ, 2001. № 1. — С. 1−30.
- Ведерников В.А., Коптюх Д. Г. Частично композиционные формации групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. № 2. — 28 с.
- Ведерников В.А., Сорокина М. М. Композиционные и локальные наследственные критические формации // Ред. журн. «Сиб. Матем. ж.». -Новосибирск, 1998. 19 с.
- Ведерников В.А., Сорокина М. М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1997. Вып. 11. — С. 6−18.
- Ведерников В.А., Сорокина М. М. О-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 125−144.
- Ведерников В.А., Сорокина М. М. со-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. -С. 43−60.
- Ю.Жаркова (Корпачева) М.А. О критических со-веерных формациях // Материалы Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д. А. Граве в Киевском университете (тезисы докладов). Киев, 2002. — С. 89.
- Жаркова (Корпачева) М.А. О критических со-локальных нормально наследственных формациях // Материалы Международной конференции
- Алгебра и ее приложения" (тезисы докладов). Красноярск, 2002. — С. 4950.
- Жаркова (Корпачева) М.А., Сорокина М. М. Максимальные со-центральные подформации со-центральных формаций // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 1. Брянск: Издательство БГУ, 2002. -С. 9−11.
- Каргаполов М.И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
- Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
- Корпачева М.А. О критических со-центральных нормально наследственных формациях // Международная конференция «Колмогоров и современная математика», посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова. Москва, 2003. — С. 891.
- Корпачева М.А. Критические со-веерные нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, 6(27), Вопросы алгебры. 2004. С. 41−49.
- Корпачева М.А., Сорокина М. М. О критических ш-веерных формациях конечных групп // Математические заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 87−94.
- Корпачева М.А. Критические со-локальные наследственные формации конечных групп // Сборник студенческих научных трудов. Вып. 4. Брянск: Издательство БГУ, 2005. — С. 58−59.
- Корпачева М.А. Минимальные со-специальные нормально наследственные не ф-формации // Вестник БГУ. Брянск: Издательство БГУ, 2004. № 4.-С. 100−104.
- Корпачева М.А., Сорокина М. М. О критических О-расслоенных нормально наследственных формациях конечных групп // Международная103конференция «Алгебра, логика и кибернетика», посвященная памяти профессора А. И. Кокорина. Иркутск, 2004. — С. 55−56.
- Корпачева М.А., Сорокина М. М. О нормально наследственных со-веерных формациях // VI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 100-летию Н. Г. Чудакова. Саратов, 2004. — С. 73.
- Корпачева М.А., Сорокина М. М. Минимальные со-специальные не фформации // Вестник БГУ. Брянск: Издательство БГУ, 2003. № 1. — С. 144 148.
- Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учебное пособие. Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2003. — 320 с.
- Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир. 1969.
- Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не ф-формацияхконечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 1995. Вып. 8. — С. 109−138.
- Сафонова И.Н. О критических со-локальных не ф-формациях // Весщ НАН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. 1999. № 2. С. 23−27.
- Сафонова И.Н. К теории ф/°-критических формаций конечных групп //
- Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 2001. Вып. 3(6).-С. 124−133.
- Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не ф-формациях // Вести АН РБ. Сер. физ.-мат. н., 1996. № 3. — С. 73−83.
- Селькин В.М., Скиба А. Н. О наследственных критических формациях // Сиб. Матем. журн. 1996. № 5. С. 1145−1153.
- Селькин В.М., Скиба А. Н. О ф0со-критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1999. Вып. 14. — С. 127−131.
- Силенок Н.В. Минимальные О-канонические нормально наследственные не ф-формации конечных групп // Вопросы алгебры. -Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 2004. Вып. 1 (12). С. 103−110.
- Скачкова Ю.А. Решетки-расслоенных формаций // Дискретная математика. Том 14. Вып. 2, 2002. С. 85−94.
- Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн: Беларуская навука, 1997.
- Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев, 1993. — С. 258−268.
- Сорокина М.М. О композиционных и локальных критических формациях // Известия вузов. Математика. № 7, 2000. С. 1−8.
- Сорокина М.М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Издательство Гомельского университета, 1998. Вып. 12. — С. 22−35.
- Сорокина М.М., Корпачева М. А. О критических О-расслоенных формациях конечных групп // Препринт. Брянск. БГУ, 2005. № 9. — 35 с.
- Сорокина М.М., Корпачева М. А. со-центральные критические формации конечных групп. Препринт. Брянск. БГУ, 2003. № 7. — 26 с.
- Сорокина М.М., Силенок Н. В. Критические Г2-биканонические нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, № 5 (14), Вопросы алгебры 18, 2002.-С. 125−133.
- Сорокина М.М., Силенок Н. В. Критические Г2-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72, Вып. 2, 2002. С. 269−282.
- Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
- Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.
- Шеметков Л.А. Экраны ступенчатыхформаций // Тр. VI Всесоюзн. Симпозиума по теории групп. Киев: Наукова думка, 1980. — С. 37−50.
- Шеметков Л.А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1978.
- Birkhoff G. On structure of algebral // Proc. Cabridge Phil. Soc. 1935. V.31.-P. 433−454.
- Doerk K. and Hawkes T. Finite soluble groups. Walter de Grunter, Berlin. New York, 1992.-889 p.
- Gaschuts W. Zur Teorie der endichen auflosbaren Grupper // Math. Z. 1963. Bd. 80,№ 4.-P. 300−305.
- Huppert В. Endiche Gruppen, I. Berlin- Heidelberg- New York: Springer, 1967.-793 p.
- Neumann B.H. Identikal relations in groups. I // Math. Ann. 1937. V. 114 -P. 506−525.
- Vedernikov V. A. Maximal Satellites of Q-Foliated Formation and Fitting Classes. // Proc. Of the Steclov Institute of Math. Suppl. 2. 2001. P. 217−233.