Применение метода электромеханических аналогий для математического моделирования шарнирно-стержневых систем

Изучение объектов одной природы (механической, тепловой и так далее) с помощью объектов другой природы (например, электрической), явления в которых описываются сходными уравнениями, называется математическим моделированием. При этом предполагается, что эксперимент на модели можно осуществить быстрее, точнее, с меньшей затратой сил и средств, чем на изучаемом объекте [65]. Модели бывают аналоговые и квазианалоговые (модели непрямой аналогии). Уравнения аналоговых моделей с точностью до постоянных масштабов совпадают с уравнениями объекта. Квазианалоговая модель — это аналоговая модель некоторых других уравнений, из решения которых можно достаточно просто выделить решения уравнений объекта.

В основе электрического моделирования лежит соответствие между уравнениями электрической цепи и уравнениями изучаемого объекта. Это приводит к тому, что при соответствующем выборе параметров модели распределение электрических величин в соответствующей части модели с точностью до постоянных множителей будет совпадать с распределением искомых величин объекта.

Анализ литературы за последние сорок лет показывает, наличие большого количества публикаций по электрическому моделированию (метод аналогий) до начала семидесятых годов и практическое отсутствие подобных работ после. Это связано с бурным развитием вычислительной техники и предназначенных для нее численных методов. Наибольшее развитие получил метод конечных элементов и сейчас он является лидирующим. Всесилие и экономическая целесообразность численных методов привело к невостребованности методов физических аналогий. Оказалось легче и проще численно решать задачи любой сложности на компьютере. То есть вместо аналоговых и квазианалоговых устройств, предназначенных для решения уравнений исследуемого процесса, экономичнее оказались численные модели в компьютере.

Однако в настоящее время некоторые научные организации применяют моделирование стержневых конструкций электрическими схемами для исследования их на ударную и динамическую нагрузки [57]. Например, в Минской политехнической академии исследуются свободные колебания стержневой системы, не прибегая к решению так называемого векового уравнения, которое усложняется с ростом числа степеней свободы системы. Вместо этого электрической схемой моделируется динамическое уравнение, описывающее свободные колебания. В свою очередь, электрическая схема численно моделируется ЭВМ.

На сегодняшний день, благодаря широкому распространению программных продуктов для моделирования электрических схем, зародилось новое «двойное» электрическое моделирование, когда для механической конструкции сначала составляется моделирующая электросхема, которая в свою очередь моделируется на ЭВМ каким — ни будь программным продуктом.

Есть основания полагать, что аналоговая модель, обслуживаемая современной ЭВМ, позволит в автоматизированном эксперименте получить больше информации о явлении. С другой стороны, физические явления, имеющие одинаковые математические модели с исследуемым явлением, обладают собственным набором аналитических приемов. Перекрестное применение математических моделей приносит пользу в обеих областях. Мало того, программное обеспечение, разработанное для электрических цепей, может оказаться полезными при численном моделировании исследуемого явления.

Существующие методы моделирования стержневых систем электрическими схемами предназначены в основном для моделирования процессов изгиба и кручения стержней, составляющих рамы.

При этом схем-аналогов стержня известно большое количество. Все они основаны на моделировании той или иной системы уравнений стержня при изгибе, растяжении-сжатии и кручении и являются трехили четырехпо люсными.

В качестве иллюстрации рассмотрим [55] механическую конструкцию (рис.1), ее описание (1,Г)> и схему для моделирования (рис.2). Моделируемой конструкцией в данном случае является трехстержневая шарнирная конструкция. Каждый ее стержень рассматривается как отдельный элемент и определяется четырьмя уравнениями. Уравнения проекций усилий в стержнях 1−3 и 1−2 для левого и правого узлов имеют вид:

EF ?

Nl3 cosa3 =—j-[(xx3)cos a13 + (угy3)cosal3 sinau];

EF 2.

NU cosai3=——[~(xi ~x3)cos a13 -(y1 — y3) cosau sinaX3];

EF, (1).

Ni3sinai3 = —j—[(xi — x3) sina3cosa3 + (yy3)sin a3];

EF 2.

— Ni3sina3 =—-[-(x — x3) sina3 cosa3 -(yy3)sin a3];

Для стержня 2−3 проекции усилия N23 на горизонтальную и вертикальную оси определяются следующими уравнениями:

EF ?

N23 cos =-j-[(ХЪ ~ x2) cos «23 + (^3 ~ J2 cos «23 sin «23 7/ iiF 2.

— 7V23 cosa 23= — [~(x3 ~x2 J cos «23 — Г³ — У 2) cos «23 «23 7/ J.

EF 9.

TV23 S/W «23 = «у f (x3 ~ x2) sin «23 cos «23 + (УЗ ~ У2) sin «23 7/.

EF 2.

— N2з «23 = «у /4×3~x2) sin «23 «23 «(>3 ~ У 2) sin «23 7/.

Уравнениями связи в блюдут уравнения сумм проекций усилий в узлах конструкции.

Для моделирования уравнений (1, Г) предназначена электросхема (Рис. 2), которая характеризуется уравнениями электрического тока: h =0g + g) U -3gUi ~giU2 +gU3 — gU4/ h =-gUl+(2g + gl) U2 -3gU2-gU3 + gU4/.

3 = ?^1 -^2 + («2# + £2Д/3 -g2UA>

4 =-^1 + «#2³ +(3g + gl) U4 ~3g2U4;

Уравнения (Г) моделируются схемой, уравнения которой имеют вид:

I5 =(lg + g) U5−2gU5-g]U6-gU7 + gU g / h=-gU5 +(2g + g) U6 -3gU6+gU7 — gUg / ll =-gU5 + gU6+(2g + g2) U7 -3gU7 -g2Us- 78 = ~gU$ -gU6-g2U7 +(3g + g2) U8 — 3g2Ug/.

Считаем, что.

EF 2.

7/^13 «В/ a13;

12 =Yi (~N 13 cosau) — h =YiN 13 sinau;

U =7iNn (~Nn sinau);

U=yuxiиъ =ГиУ'.

Для уравнений (2) и (2'): 75 = YiN23 cosa2y,.

16 =n (-N2з cosa23) — h =n (-N 23 sin a 23) — h =nN23 «««23/ Ul =ГиУЗ'.

EF 2 g2=rg-j-sin a13;

EF g = 7p-cosaз sina3- и2=УихъU 4 = УиУЗ>

EF 2 ft^-y-™ «23/.

EF 2 g2=7g—l-sln «23/.

EF gy «-cos «23 ^ «23 / Yux2 / = У иУ2 /.

Уравнения (2 и 2') эквивалентны уравнениям нормальных усилий системы (1 и Г). Проводимости схемы-аналога определяют жесткостные характеристики стержня.

Рис. 2.

Бросается в глаза то обстоятельство, что электрическая модель получается топологически не подобной исследуемой стержневой системе. Кроме того, если для типовых элементов конструкций существуют электрические аналоги, то для сложных конструкций очень сложно построить электрическую схему. Об этих затруднениях свидетельствует то обстоятельство, что даже для простых конструкций модели регистрируются на уровне изобретений [59].

В работе [66] предлагается классификация, в которой схемы-аналоги стержня подразделены на 2 больших класса, различающиеся видами электромеханических аналогий. В первой системе аналогий моменты моделируются напряжениями, углы поворота и перекоса — токами, погонные жесткости — сопротивлениями. Однако, схемы-аналоги стержня этого класса не получили большого распространения из-за отсутствия наглядной аналогии между расчетной схемой механической системы и схемой электрической модели.

Во второй системе электромеханических аналогий, изгибающие моменты и усилия в стержнях моделируются токами, углы поворота и переноса — напряжениями, а погонные жесткости — проводимостями. Схемы этого класса получили большое распространение в построенных моделях.

Каждая группа, основанная на первой или второй системе аналогий, подразделяются далее на более конкретные системы аналогий.

Общая теория моделирования предполагает, что система уравнений в объекте моделирования и физической модели одинакова, то есть в пределах комплекта базовых понятий, основных и модельных все законы, связывающие эти понятия внутри физической группы, выполняются и идентичны между физическими группами. Пример: моделирование потенциальных течений жидкости электрическим полем [гидромеханика], здесь все соотношения, характерные для потенциальных полей, идентичны в двух физических процессах разной природы.

В нашем случае линейные цепи постоянного тока есть частный случай потенциального электрического поля (линейная задача) — для базовых понятий I,(p, Rвсе возможные законы электрических цепей это частный случай теории потенциалов, это закон Ома и первый и второй законы Кирхгофа. Для моделирования стержневых систем в настоящее время применяется следующая система аналогий:

Табл.1.

Механические величины Электрические величины мизг, I,.

N, р, и (т-фг),.

1/EF G где Мизгизгибающий момент, Nусилие продольного растяжениясжатия в стержне / - электрический ток, (р — угол поворота (изгиба), и ~ перемещение узла по одной из осей координат, щ ,(р2 — электрический потенциалы, 1/EFжесткость стержня, Gпроводимость электрической ветви.

Проверим на примере простейшей 3-х стержневой конструкции, соблюдаются ли для стержневых систем законы аналогичные 1 и 2 законам Кирхгофа.

J4T ->

Рис. 3.

Начальные данные: а} =60°, а2 =120°, а3 =0= h = /з = 1 м, Р=1000 кг. Уравнения равновесия:

Njm} +N3m3+RJx=0, Njnj + N3n3 + Rlv =0, -N21*12 -N3m3 -Pmp =0.

Направляющие косинусы: mi =0.5, m2 =-0.5, m3 =1- tii = n2 = 0.866, n3 =0. В результате расчета имеем: N} = 0 кг, N2 = 0 кг, N3 =1000 кг.

Очевидно, что 1 закон Кирхгофа при проецировании уравнений равновесия на оси координат выполняется, и сумма проекций сил на оси координат в узле равна 0. Проверим, выполняется ли второй закон Кирхгофа.

Очевидно, что при существующей системе аналогий (табл. 1), сумма перемещений узлов в контуре по одной оси должна быть равна сумме удлинений стержней по этой же оси. При указанной нагрузке удлинение имеет только третий стержень. Это удлинение равно перемещению узла 2 по оси X. Однако, кроме узла 2 по оси X перемещается узел 3. Очевидно, что второй закон Кирхгофа не выполняется.

Таким образом, система аналогий, предложенная в [4] предлагает в качестве аналогичных величин параметры, которые в объекте моделирования и в модели ведут себя совершенно по-разному, что несомненно является недостатком данной системы аналогий.

Рассматривая систему аналогий, предложенную в [66], отметим следующий ее недостаток: поскольку изгибающие моменты в ней моделируются постоянным током, который имеет одинаковое значение по всей электрической ветви, а изгибающий момент по длине стержня имеет переменное значение (рис. 3), то несоответствие между этими двумя параметрами очевидно. В общем же можно сделать вывод: поскольку в модели не выполняются основные законы объекта, то поведение модели не будет соответствовать поведению объекта. Р.

Рис. 3.

Применяемая на сегодняшний день электротехническая модель настолько сложна, что электрическое моделирование стержневой.

14 конструкции является доступным лишь специалисту в электротехнике и затруднительно для расчетчика стержневых конструкций, не владеющего достаточными знаниями в области электротехники.

В данной работе исследована математическая модель, описывающая шарнирную стержневую конструкцию с целью отыскания аналогичной математической модели электрических цепей. Определена система аналогий между параметрами электрических схем и шарнирных стержневых конструкций, наглядно показывающая формальную общность физических процессов, происходящих в них. Разработана методика вычисления параметров модельной электросхемы через применение системы масштабных коэффициентов. Разработана методика электрического моделирования стержневых систем при деформациях стержней сравнимых с размерами самой конструкции. Доказана возможность применения на основе общности математических моделей аналитических приемов электротехники для расчета шарнирностержневой конструкции при больших перемещениях узлов. Разработана методика применения, формализация и автоматизация расчета стержневых систем.

Выводы:

1. Определена электрическая модель произвольной шарнирной стержневой системы, в которой совпадают не только топология и уравнения, описывающие эти два явления, но и все существенные для объекта и модели физические соотношения.

2 Выявлены и обозначены трудности технической реализации модели, поставлена задача об отыскании масштабных коэффициентов и критериев подобия (глава 2).

3. На основании анализа полноты процесса моделирования (табл. 1.1) поставлена задача о возможность применения аналитических методов применяемых в теоретической электротехнике для описания шарнирных стержневых систем (глава 3).

4. Предложены методики моделирования шарнирно — стержневой системы при ее работе в условиях физической и геометрической нелинейностей.

ГЛАВА 2. ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ.

2.1 Проблемы электротехнического моделирования стержневых систем в физическом эксперименте.

При физическом моделировании электросхемами сложности возникают с практической реализацией, например =1,002 вольта или киловольта, или стабилизации R[ с точностью до 0,2%, если R[ =0,003 ома, и т. д.- но выбором масштабов можно сделать элементы схемы технически реализуемыми.

Физическая особенность стальной шарнирно-стержневой конструкции как физического объекта заключается в очень малых изменениях физических параметров: длины стержня /0 и площади поперечного сечения Sq. В частности, приращение длины стержня А/ при упругих деформациях может быть в пределах О, ОО2/0, т. е. 0,2%, причем именно эти изменения ответственны за суть происходящих (исследуемых) процессов. В электросхеме изменения аналога моделируемого параметра длины стержня — ЭДС в ветви в таких пределах просто несущественны, традиционно несущественны, поскольку в электротехнике практически никакой роли не играют. В физическом эксперименте, если задаться такой целью, на пределе возможности приборов первого класса, можно получить статистически достоверный результат с погрешностью не более 0,2%, но дело в том, что в моделируемом объекте весь процесс идет в диапазоне 0 ^ 0,2% при расчете на прочность. i W с Е r0 R.

Рис. 2.1.

Стержень (рис. 2.1 а) моделируется в идеале ветвью электрической цепи, содержащей Е и R, порядок этих величин соответствует представленным в табл. 1.5. Реальные источники ЭДС имеют внутренние сопротивления г0, тогда ветвь схемы имеет вид, показанный на рисунке 2.1 б. В реально осуществимых источниках ЭДС величина г0 весьма значительна, это учтено в электротехнике введением, помимо ЭДС еще и понятия «напряжение на клеммах» источника ЭДС включенного в сеть, оно отличается на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении, которое для нормально рассчитанной схемы составляет 10 — 20% от ЭДС. В диапазоне R, г, I, U, Е, принятым (существующим) в электротехнике цепей постоянного тока, можно представить себе шарнирно-стержневую конструкцию, состоящую из упругих элементов с абсолютной деформацией не менее 0,5−1 и модулем упругости ОД кН/см, то есть пружинные или резиновые стержни, или элементы с регулируемой длиной.

Рассмотрим на конкретном примере проблему технической реализации эксперимента. Рассматриваемая конструкция — простейшая 3-х стержневая безмоментная система (рис. 1.6). f' г’ГТГНч'" ' 1.

ГОГ «' ViJ БИБЛлС .&bdquo-.сЛА 41.

Для этого зададим следующие значения начальных данных: внешняя сила: /*=500кг, длина стержней: /1=/2=/з= 100 см, площадь поперечного сечения стержней: Si=S2=S3= 1 см .

Углы наклона стержней к оси X: «/=75°, «2=135°, «3=15°. Угол наклона внешней силы к оси X: ар=-75°.

После расчета усилий и новых направляющих косинусов параметры нагруженной шарнирно-стержневой системы будут иметь следующие: значения новых направляющих косинусов и аналога контурной ЭДС: т0=0,25 921, т7=0,70 748, т2=0,96 644, 8К=0,605.

Под аналогом контурной ЭДС 8К в механической схеме понимается сумма проекций длин всех стержней после нагружения.

При этом необходимо распределить контурную ЭДС по ветвям, в соответствии с численными значениями и знаками слагаемых в последнем уравнении системы (1.3).

80=-25,291 В, Si=-70,748 В, 82=96,644 В.

Для обеспечения требуемой ЭДС в ветвях электрической схемы необходимо применение источников вторичного электропитания (ИВЭП), которые делятся согласно [18] по допустимому отклонению выходного напряжения от номинального на — низкой (относительное отклонение 5%), средней (от 1% до 5%) и высокой (от 0,1% до 1%) точности, а также прецизионные (менее 0,1%). При отклонении выходного напряжения каждого источника питания на 0,5% контурная ЭДС будет равна: 8К=-0,358 В сравнить с (1)). Разница с расчетной ЭДС 0,963 В. Учитывая малость сопротивления, такая погрешность весьма негативно скажется на результатах эксперимента.

Жесткость каждого стержня моделируется активным сопротивлением ветви, при самом лучшем изготовлении резистор как элемент цепи может иметь погрешности значительно более 0,02%. Активное сопротивление является функцией длины и площади поперечного сечения моделируемого стержня и наверняка может возникнуть ситуация, когда для моделируемого стержня будут отсутствовать стандартные резисторы, необходимо применение регулируемых резисторов. В случае настройки схемы с помощью моста можно достичь хороших результатов.

Рассмотрим на конкретном примере, как повлияет на результат эксперимента погрешность сопротивлений в 0,02%. В главе 1 система уравнений (1.2) была использована для нахождения новых направляющих косинусов после нагружения. Поскольку эта система содержит жесткости стержней конструкции, воспользуемся ею для расчета усилий после нагружения, подставив в нее значения новых направляющих косинусов и же-сткостей стержней с погрешностями в 0,02%.

Nq —^—h Nj ——N2 = S j /.

EF0 EFj EF2.

— Ngmg + Njmj + Pmp = 0;

— Njmi — AT2tn-2 — 0- где St ё =-l0itn1 — l02m2 +l03m3 =-0.024.

Значения новых направляющих косинусов приведены в начале этой главы, в результате расчетов усилий в стержнях имеем:

Заключение

.

Обобщая приведенные в работе результаты исследований по применению метода электромеханических аналогий для математического моделирования шарнирных стержневых систем, можно сделать следующие выводы:

1. В представляемой работе исследована новая математическая модель стержневой конструкции — шарнирно-стержневой системы. В результате дополнена система электромеханических аналогий, что позволило представить электрическую модель системы в виде двух, топологически ей подобных электрических схем, параметры которых определяются пересчетом параметров конструкции. При этом полученный метод электрического моделирования позволяет получать значения новых направляющих косинусов стержней шарнирной стержневой конструкции при деформации, сравнимой с ее начальными размерами. Это необходимо при расчете новых координат узлов конструкции методом узловых координат.

2. Технические трудности осуществления (реализации) электрических схем по прямым параметрам расчета преодолены двумя подходами.

Первый: Компьютерная, программная реализация электрических цепей ELECTRONICS WORKBENCH 5.0.

Второй: методами теории подобия вводятся критерии подобия и система масштабных коэффициентов, позволяющие пересчитывать электрические схемы, они остаются топологически подобными, но входящие в них параметры элементов получаются технически реализуемыми.

3. Основные достоинства предлагаемой дополненной системы аналогий в том, что:

3.1 В модели выполняются все закономерности, выполняющиеся в моделируемом объекте, что предполагает возможность моделирования, кроме поставленных, достаточно широкого круга задач.

3.2 Топологическое подобие схем электрической модели схеме конструкции и формальный аппарат теории подобия переводит моделирование шарнирных стержневых систем из искусства на уровне изобретения [57] в простейшую техническую задачу. (Способы моделирования отдельных стержней, работающих на растяжение — сжатие существовали и ранее [55], но новое условие совместности деформаций в виде контурного уравнения позволило создать полную топологическую аналогию между механической системой и электрической моделью, по крайней мере, при статическом нагружении системы).