Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируемыми компонентами

Настоящая диссертационная работа посвящена, исследованию разделимости эллиптических операторов второго порядка с матричными коэффициентами в пространстве LP^{Q)1, где р € [1,+оо), k (x)~ весовая функция, ^—произвольное открытое множество в Rn, /" натуральное число.

Термин «разделимость» впервые был введен английскими математиками В. Н. Эвериттом и М. Гирцом (Everitt W.N., Giertz М.) в их фундаментальной работе [2]. В своих работах [2—5] они достаточно подробно изучали разделимость оператора Штурма,-Лиувилля.

Ау = -/(*) ¦+¦ q (t)y (t) (*) и его степеней. В работе Войматова К. Х. [22] разделимость оператора Штурма-Лиувилля получена без требования какой-либо гладкости на потенциал q (t). Отелбаев М. [40] исследовал разделимость оператора А (-) в весовом пространстве Ь2,*(-0> где Г~открытый отрезок вещественной оси. Разделимость оператора Штурма-Лиувилля с нелинейным потенциалом q (%, y) в пространстве L2(-oo,+oo) получена в работе Амановой Т. Т., Муротбекова М. Б. [15]. В работе Гриншпуна Э. З., Отелбаева М. [32] исследована разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля в пространстве L{~~oq. +оо). Разделимость обыкновенных дифференциальных операторов, более сложных, чем оператор (*), получена в работах Абудова А. А. [12], Алиева Б. И, Исмоилова &euro-.М. [13], Амоновой Т/Г. [14], Амоповой Т/Г., Муратбекова М. Б. [15], Назарбаевой Л. Е, [17!, Биргебаева, А. [19(, Биргебаева. А., Отелбаева М. [20Войматова К.Х., Шарифова А. [31], Гриншпуна В. З. |33j, Мсхокова С. А. |34], Отелбаева М. [41], Вверитта В. Н., Гирца М. [6−8], Аткинсона Ф. В. (Afccinson F.V.) [1],.

Эванса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А.) [10], Цеттла А. [11] и других. В работах [12, 13, 18, 31] рассмотрены дифференциальные выражения с операторными коэффициентами.

Разделимость для дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовались в работе Бойматова К. Х. [23] и далее в работах [24−30, 39−44]. В большинстве из этих работ рассматривается оператор Шредингера.

Аи = -Au (t) 4- q (t)u (t). (**).

В работе Ойнарова Р. [39] исследуется разделимость оператора, А в пространстве суммируемых функций Li (Rn). В работах Бойматова К. Х. [15], Розенблюма, Г. В. [44], Эверитта В. Н., Гирца М. [9] изучается разделимость оператора (**) в пространстве /^(йУ. Разделимость дифференциального выражения (**) с операторозначным потенциалом qit) исследована в работе Шарифова А. [48].

Разделимость общих эллиптических дифференциальных операторов высокого порядка в пространстве L2(.R)f рассматривается в работах Бойматова К. Х. [23−25], Отелбаева М. [42, 43]. В работе Бойматова. К.Х. [27] изучается /^-разделимость (т.е. разделимость в пространствах типа L2) дифференциальных операторов (не обязательно эллиптических), заданных в произвольном открытом множестве, а с.

Разделимость дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах Lp (fl) (1 < р < 4-ое) исследована недостаточно полно. В этом случае имеются лишь отдельные работы Бойматова К. Х. [28−30]. В работе Биргебаева А. [21] исследуется разделимость оператора Шредингера (**) с матричным потенциалом в пространстве LP{Q)S. Однако требуется, чтобы все собственные значения Х (х) < Л2(х) <. < Xj (x) матрицы q (x) были подчинены первому собственному значению \(х): Xi (x) < fiXi (x).

В работе Мохамед А. С. [37] исследована разделимость эллиптических дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами в пространстве LP (Q)1, где р € (1,+оо).

В настоящей диссертации впервые рассмотрен случай р — 1. Наши условия разделимости системы уравнений второго порядка нестандартны в том смысле, что они не получаются путем традиционного метода применения параметрикса. Наши результаты основываются на применении неравенства Като, которое в случае систем в нашей работе применяются впервые. Поэтому условия разделимости полученные в нашей работе коренным образом отличаются от условий других работ и являются принципиально новыми и устанавливаются здесь впервые.

Данная диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на семь параграфов, а также списка литературы, включающего 55 названий. Система нумерации параграфов такова, что каждый из них содержит тройную нумерацию, в которой первый номер указывает на номер главы, второй — на номер параграфа данной главы, а третий — на номер леммы, теоремы или замечания в данном параграфе. Аналогично нумеруются в диссертации формулы.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена изучению разделимости оператора Штур-ма-Лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-сумми-руемыми компонентами, а вторая глава — разделимость оператора Шредингера.

1. Everitt W.N., Giertz M. Some properties of tlie domains of certain differential operators//Ргос. London Math.Soc. (3), 1971, vol. 23, N 2, p. 301−324.

2. Everitt W.N., Giertz M. Some inequalities associated with certain differential operators//Math. Ztschr. 1972, Bd. 126, N 4, p. 308−326.

3. Everitt W.N., Giertz M. On properties of the powers of a formally self-adjoint differential expression//Ргос. London Math.Soc. (3), 1972, vol. 24, N 1, p. 149−170.

4. Everitt W.N., Giertz M. On some properties of the domains of sertain differential operators//Ргос. London Math.Soc. (3), 1972, vol. 24, N 4, p. 756−768.

5. Everitt W.N., Giertz M. An example concerning the separation property for differential operators//Proc. Roy.Soc. Edingburgh A., 1973, vol. 71, p. 159−165.

6. Everitt W.N., Giertz M. Dirichlet type result for ordinary differential operators//Math. Ann., 1973, vol. 203, N 2, p. 119−128.

7. Everitt W.N., Giertz M. Inequalities and separation for certain ordinary differential operators//Proc. London Math. Soc. (3), 1974, vol. 28, N 2, p. 352−372.

8. Everitt W.N., Giertz M. Inequalities and separation for Schrodingertype operators in L2 (#¦")//Ргос. Roy. Soc. Edinhurg A., 1977, vol. 79, p. 257−265.

9. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators//Proc. Roy. Soc. Edinburg A., 1978, vol. 80, p. 151−162.

10. Zettl A. Separation for differential operators on the I/ spaces//Proc. Amer. Math. Soc., 1976, vol. 55, N 1, p. 44−46.

11. Абудов А. А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференциальным выражением//В сб.: Спектральная теория операторов. Баку, «Элм», 1982. — с.4−11.

12. Аманова Т. Т. О разделимости одного дифференциального оператора/ /Известия АИ КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1981, Ж? 3.—с. 48−51.

13. Аманова Т. Т., Муратбеков М. Б. Гладкость решения одного нелинейного дифференциального уравнения//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1983, Н?5.—с. 4−7.

14. Аманова Т. Т., Муратбеков М. Б. Разделимость нелинейного уравнения Ш турма-Л иу ви л ля / / И звестия АН КазССР. Сер. физ.-мат. и., 1984, Н З. -с. 57−59.

15. Базарбаева Л. Е. Теоремы разделимости для одного дифференциального оператора в Lp®f/Рукопись депонирована в ВИНИТИ 21.02.86, М—1198-В. 7 стр.

16. Байрамоглы М., Абудов А. А. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами//В сб.: Спектральная теория операторов, Баку, «Эдм», 1982. — с. 12−20.

17. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в /^//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. п., 1981, № 5.—с. 1−5.

18. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1984, Ш 3.—с. 11−13.

19. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом//В сб.: Тезисы докладов VIII Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике.—Алма-Ата, 1984. — с.11.

20. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля// Математические заметки, 1973, т. 14, № 3.—с. 349 359.

21. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости// ДАН СССР, 1973, т.213, Ш 5.—с. 1009−1011.

22. Бойматов К. Х. О спектре эллиптического оператора: Автореферат кандидатской дисс. М.: МГУ, 1974, 85 с.

23. Бойматов К. Х. Ь2—оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений// ДАН СССР, 1975, т.223, Н£ 3.—с. 521−524.

24. Бойматов К. Х. Асимптотика спектра оператора Шредингера с сингулярным потенциалом//Успехи матем. наук, 1976, т.31, № 1.—с. 241−242.

25. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам// ДАН СССР, 1979, т.247, № 3.—с. 532−536.

26. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам// Труды: Математического института АН СССР, 1984, т.170. —с. 37−76.

27. Бойматов К. Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка// ДАН СССР, 1988, T.3G1, Ш5.-.с. 1033−1036.

28. Бойматов К. Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка// Математические заметки, 1989, т.46, № 6.—с. 110−112.

29. Бойматов К. Х., Шарифов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторов произвольного порядка// Успехи математических наук, 1989, т.44, вып. 3(267).—с. 147−148.

30. Гриншпун Э. З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Шту рма-Л иу вилля в Lx infty, -foo)//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1984, Ш5.-с. 26−29.

31. Гриншпун Э. З. Об ограниченной обратимости, существенной самосопряженности и разделимости некоторых обыкновенных дифференциальных операторов// Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22.05.84, Hi 3304−84 Деп. 42 с.

32. Исхоков С. А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. В сб.: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей.—М.: Изд-во МГУ, 1984.—с. 130−131.

33. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве// М.: Наука, 1971.

34. Като Т. Теория возмущений линейных операторов//М.: Мир, 1972.

35. Мохамед А. С. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом//Доклады АН Таджикистана, 1992, т.35, ШЗ.

36. Мынбаев К. Т., Отел баев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов// М.: Наука, 1988.

37. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций // ДАН СССР, 1985, т.285, №. 5.— с. 1062−1064.

38. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля// Математические заметки, 1974, г. 16, М- 6.—с. 969−980.

39. Отелбаев М. О гладкости решения дифференциальных уравнений// Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1977, Ш 5.—с. 45−48.

40. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов//ДАН СССР, 1977, т/234, N53. -с. 540−543.

41. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Я71//Труды Математического института АН СССР, 1983, т. 161.—с. 195−217.

42. Розенблюм Г. В. Асимптотика собственных чисел оператора III ре дшггера//Математический сборник, 1974, т.93(135), № 3.—с. 347−367.

43. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1978, т.2.

44. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

45. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: мир, 1973.

46. Шарифов А. Разделимость многомерных дифференциальных выражений с операторными коэффициентами //Доклады АН ТаджССР, 1989, Ш6.—с. 369−371.

47. Курбанов И., Шодиев М. Разделимость оператора Штурма-Лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируе-мыми компонентами//Доклады АН Таджикистана, 1995, т. XXXVIII, № 1−2.—с.79−86.

48. Шодиев М. С. Об условиях разделимости оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом// Сборник научных статей «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения» ТГПУ им. К.Джураева, Душанбе, 1996 г.— с. 102−103.

49. Шодиев М. С. Разделимость нелинейного оператора Штур-ма-Диувилля с м: а, тричным потенциалом//Тезисы докладов научной конференции «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения», КГУ им. Н.Хусрава, 1997 г.—с.86.

50. Шодиев М. С. Коэрцитивные оценки для нелинейного оператора, Штурма. Л иу вил ля //Вестник педагогического университета, Душанбе, 1999 г.— с. 37−38.

51. Шодиев М. С., Рахимов З. Х. Разделимость нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом//Материалы второй международной конференции «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты», Душанбе, 2000.—с.72−73.

52. Шодиев М. С. Об условиях т—аккретивности и т—сектори-альности матричного оператора ШтурмаЛиувилля//Вестник Хорогского университета, 2001, серия /, № 3 (в печати).