Показательная функция: свойства и график
В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией. Данный предел не зависит от выбора… Читать ещё >
Показательная функция: свойства и график (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
показательный гиперболический график
В данной курсовой работе будет рассмотрена показательная функция.
Первая часть данной работы будет рассматриваться понятие показательной функции и ее графики.
Во второй части рассматривается свойства показательной функции.
В третей части — решение примеров и задач показательной функции.
Изучение темы «Показательная функция», является важнейшим этапов в изучении всех видов функций.
Понятие показательной функции
Определение 1.1. Показательной функцией называется функция вида, где основание а— положительная константа.
Рис.
Рис.
В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.
Пусть — последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число как предел
Показательной функцией с основанием a называется функция, принимающая значения ,
Рис.
Данный предел не зависит от выбора последовательности, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при a < 1 Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
Рис.
Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как Численно оно равно e = 2,71 828 182 845 904 527 360…
Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается
Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция
f (z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением
;
Очевидно, что = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е — основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:
и
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ®? возрастает быстрее любой степени х, а при х ® —? убывает быстрее любой степени 1/x:
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w =, то z = lnw.
Рассматривается также Показательная функция при основаниях, а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (½) x и т. д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция (основной) соотношением
=
Показательная функция является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
(1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
= =(cosy + isiny), (2)
связывающую Показательную функцию с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:
.
Функции
=ch y, — i = sh y
называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть или = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: ()" =
2. Свойства показательной функции Рис.
Таблица
Свойства показательной функции | y =, a > 1 | y =, 0< a < 1 | |
1.Область определения функции | |||
2.Область значений функции | |||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, > 1 | при x > 0, 0< < 1 | |
при x < 0, 0< < 1 | при x < 0, > 1 | ||
4.Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | ||
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R | |
6.Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | ||
7.Асимптота | Ось Ox является горизонтальной асимптотой. | ||
8. При любых действительных значениях x и y; | |||
3. Примеры:
Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Пример № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
Рис.
Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Пример № 5. (Для исследования функции на монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y (x) = 10x; f (x) = 6x; z (x) — 4x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Рис.
Рис.
Таблица. Вывод:
при x < 0 | чем больше значение основания степени, тем ближе к оси Ox располагается график показательной функции; | |
при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); | |
при x > 0 | чем больше значение основания степени, тем дальше от осиOx располагается график показательной функции. | |
Таблица. Вывод:
при x < 0 | чем меньше значение основания степени, тем дальше от оси Ox располагается график показательной функции; | |
при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); | |
при x > 0 | чем меньше значение основания степени, тем ближе к осиOx располагается график показательной функции. | |
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y (x) = (0,1)x; f (x) = (0,5)x; z (x) = (0,8)x.
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Заключение
В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.
Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.
В работе были приведены примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.
Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное пособие для студентов дневного и заочного отделений.
Список литературы
1.Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10−11 кл. общеобр. учреждений.М.: Просвещение, 2001.
2.К. О. Ананченко Г. Н. Петровский, «Алгебра и начала анализа», Мн., «Народная асвета», 1997 г.
3.Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. Сидоров Ю. В, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10−11 классов общеобразовательных, Просвещение 2003 г.
4.Н. Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса», М., «Просвещение», 1990 г.