Коммутаторы и произведения квадратов в частично-коммутативных группах

В настоящей диссертации исследуются некоторые вопросы из области комбинаторной теории групп. Предметом исследования является описание квадратичных уравнений специального вида в частично-коммутативных группах. Мы применяем как комбинаторные, так и геометрические методы, в частности, используем диаграммы ван Кампена.

Частично-коммутативная группа — это группа, заданная при помощи образующих и определяющих соотношений, каждое из которых имеет вид аЬ = Ьа, где а, Ь — различные образующие. Можно сказать, что частично-коммутативные группы занимают промежуточное положение между свободными группами и свободными абелевыми группами, где есть все возможные соотношения коммутативности между образующими. Таким образом, и свободные группы, и свободные абелевы группы являются частными случаями частично-коммутативных групп.

В свою очередь, частично-коммутативные группы являются частным случаем артиновых групп. В артиновых группах все соотношения имеют вид аЪ. = Ьа., где а, Ь — различные образующие, причем в любом определяющем соотношении длины левой и правой части равны. Если в артиновой группе длины левых и правых частей всех соотношений равны 2, то группа будет частично-коммутативной. Частично-коммутативные группы называют также прямоугольными артиновыми группами (right-angled Artin groups) и графическими группами (graph groups). С каждой артиновой группой можно связать группу Кокстера, добавляя соотношения вида а2 = 1 для всех порождающих группы. Для артиновых групп и групп Кокстера может быть доказан ряд утверждений, сходных с доказанными нами для частично-коммутативных групп (например, лемма 2). Естественно предположить, что могут быть предприняты попытки исследовать в этих группах разрешимость квадратичных уравнений при помощи схожих методов.

Частично-коммутативные группы тесно связаны со свободными группами и обладают многими свойствами, которыми обладают и свободные группы. Так, в частично-коммутативных группах схожим образом со свободными решаются проблема слов и проблема сопряженности, доказательства можно найти в [25] (см. также [12, 17]). В работе [10] доказано, что любые два некоммутирующих элемента в частично-коммутативной группе образуют базис свободной группы. Кроме того, как и в свободных группах, члены нижнего центрального ряда имеют тривиальное пересечение, откуда следует, что частично-коммутативные группы линейно упорядочиваемы (см. [11]).

Эти результаты можно считать обобщениями аналогичных результатов для свободных групп. Однако следующие факты показывают, что частично-коммутативные группы обладают рядом специфических интересных свойств. В группе F2 х F2, которая, очевидно, является частично-коммутативной, существуют конечно-порожденные подгруппы с неразрешимой проблемой вхождения (см. [6]). Кроме того, в работе [18] доказано, что частично-коммутативные группы могут содержать фундаментальные группы двумерных поверхностей.

Частично-коммутативные группы тесно связаны с классом групп диаграмм [13], а именно, существует группа диаграмм С, являющаяся полупрямым произведением некоторой (бесконечно-порожденной) частично-коммутативной группы и группы Р. Томпсона .Р такая, что всякая счетная группа диаграмм вкладывается в С [14]. Многие (но не все) частично-коммутативные группы являются группами диаграмм [3, 14].

В настоящей работе исследуются вопросы о разрешимости в частично-коммутативных группах уравнений вида [х, у] = д и х2у2 = д, где д — некоторый элемент группы. Указана явная форма для коммутаторов (Теорема 1) и произведений квадратов (Теорема 2) в частично-коммутативных группах. Таким образом, вопросы о том, равен ли данный элемент группы коммутатору или произведению двух квадратов, сводятся к легко проверяемым условиям (Следствия 2 и 3). Тем самым, в частности, обобщаются известные результаты Уикса для свободных групп [22, 23]. В диссертации показано как описания коммутаторов и произведений двух квадратов в свободных группах, данные У иксом, прямо выводятся из наших описаний для частично-коммутативных групп.

Заметим, что результаты Уикса для свободных групп и их обобщения тесно связаны с классификацией двумерных многообразий. Пусть дано некоторое квадратичное слово IV от п переменных, то есть слово, в котором каждая переменная (в степени 1 или —1) встречается ровно 2 раза. Рассмотрим 2п-угольник на плоскости и разметим его стороны символами переменных, входящими в IV, так, чтобы каждой стороне соответствовала одна буква, и при обходе контура многоугольника с некоторой вершины по часовой стрелке по ребрам читалось бы слово IV. Теперь склеим пары ребер, которым сопоставлены одноименные переменные. В результате получим некоторое двумерное многообразие, которое однозначно определяется исходным словом У/. Слово IV в дальнейшем будем называть разверткой этого многообразия. Как известно [1], любое двумерное многообразие гомеоморфно или сфере с п ручками (ориентируемый случай), или сфере с п дырами, закленными листами Мебиуса (неориентируемый случай). Из этого следует, что все квадратичные слова (а значит, и все квадратичные уравнения) разбиваются на 2 класса — ориентируемые и неориентируемые.

Слово х, у\. [хп, уп] является простейшей разверткой для сферы с п ручками, а слово х. .х — для сферы с п листами Мебиуса. При помощи простейших топологических операций любая развертка может быть преобразована в слово одного из этих видов. Из этого следует, что любое квадратичное слово при помощи некоторого автоморфизма можно перевести либо в слово вида [жх, у]. [хп, уп], либо в слово вида х. х. Поэтому уравнения [жх, У\. [хп, уп] — д и х. = д играют важную роль в классе квадратичных уравнений.

Теперь рассмотрим топологическую интерпретацию результатов Уик-са и их обобщений для свободных групп. Как доказал Уикс, циклически приведенное слово является коммутатором в свободной группе тогда и только тогда, когда некоторый его циклический сдвиг имеет вид АВСА~1В~1С~1. Это слово является разверткой ориентируемой поверхности рода 1 (сферы с одной ручкой, т. е. тора), которая в некотором смысле исчерпывает все развертки тора. А именно, если число переменных в развертке тора больше 3, то она, может быть преобразована в слово АБСА~1 В~1С~1 путем переобозначений переменных и циклических сдвигов. Если число переменных меньше 3, то развертка получается из слова АВСА~1В~1С~1 путем замены некоторых переменных на пустые слова.

Для произведения двух коммутаторов, которое соответствует сфере с 2 ручками, имеется уже 8 форм Уикса от 9 переменных каждая. Каждое из этих слов является разверткой сферы с 2 ручками, а вместе они исчерпывают в описанном выше смысле все развертки. Вообще, для уравнения [Х1,У1] ¦ ¦ ¦ [хп, Уп] = 9 решения, являющиеся также развертками сферы с п ручками, записываются в виде слов от 6п — 3 переменных [8]. В работах [19, 20] указаны формы, описывающие все решения уравнений вида [х, у). [хп, уп] = д и подсчитано точное число таких решений («максимальных ориентируемых форм Уикса»).

Далее излагаем содержание диссертации.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации. В параграфе 1.1 приведены определения алфавита, группового слова, копредставления и некоторых других базовых понятий.

В параграфе 1.2 дано определение диаграмм ван Кампена. В данной работе используется расширенное понятие диаграмм ван Кампена, в которых наряду с обычными клетками допускается также наличие так называемых 0-клеток. Такое расширение предложено А. Ю. Ольшанским [7] и позволяет, в частности, добиться того, чтобы контур диаграммы и контуры всех клеток были простыми замкнутыми кривыми. Мы приводим доказательство леммы ван Кампена в модифицированной формулировке.

В параграфе 1.3 рассматривается понятие уравнения в группах. Приведены некоторые известные результаты об уравнениях в свободных и частично-коммутативных группах. Приведено доказательство результата Уикса для уравнения [х, у] = д в свободных группах, поскольку при доказательстве основных результатов диссертации используются идеи этого доказательства.

В главе 2 дано определение частично-коммутативных групп, доказаны некоторые вспомогательные леммы и приведен алгоритм решения уравнения [х, у] = д в частично-коммутативных группах.

В параграфе 2.1 рассмотрено понятие частично-коммутативных групп и некоторые их необходимые далее свойства. Пусть С? — частично-коммутативная группа, заданная копредставлением V = (? | Пусть? — слово над алфавитом Е, причем IV = И^а&И^, где а, Ь? ? и среди определяющих соотношений есть соотношение [а, Ь] = 1 (далее будем обозначать этот факт, а Ь). Тогда можно перейти от слова V/ к слову ]?' = V1baW2- такой переход будем далее называть элементарным преобразованием. Слова V/ и V назовем эквивалентными, если V может быть получено из IV при помощи элементарных преобразований. Через [И7] обозначим класс эквивалентности слова IV. Очевидно, все слова из [УУ] равны V/ в группе (7. Заметим, что в свободной группе любой класс эквивалентности [И^] состоит из одного слова У.

По аналогии со свободной группой, слово IV назовем приведенным в частично-коммутативной группе С, если все слова из класса [У] приведены в свободной группе. Любое слово в частично-коммутативной группе можно привести, находя в его классе эквивалентности неприведенное слово и сокращая в нем пары взаимно-обратных букв, пока это возможно. В отличие от свободных групп, привести слово можно различными способами, однако полученные слова будут эквивалентны. Аналогично слово IV называется циклически приведенным, если все слова из класа [И^] циклически приведены в свободной группе. Приведенные слова и и V назовем циклически эквивалентными, если V может быть получено из и при помощи переходов к эквивалентным словам и циклических сдвигов.

Слова и и V назовем коммутирующими побуквенно (обозначается ?7 К), если для любой буквы а±г, входящей в слово и и любой буквы Ь±г, входящей в слово У, где а, Ъ € ?, среди определяющих соотношений есть соотношение аЬ — Ьа. (В частности, если буква х е Е*1 входит в ?7, то х±-1 не входит в V.).

Леммы 2 и 3 доказываются геометрическим методом с использованием диаграмм ван Кампена.

Лемма 2. Если слово IV не приведено в частично-коммутативной группе, то в нем есть подслово вида х11х~где х € Е±-: и х и.

Лемма 3. Приведенные в (7 слова и и V равны в (7 тогда и только тогда, когда С/ ~ V. В частности, приведенные формы одного и того же слова эквивалентны.

Далее доказываются две леммы, имеющие технический характер. Из них выводится.

Следствие 1. Слово V/ в частично-коммутативной группе (7 не является циклически приведенным в G тогда и только тогда, когда существует его циклический сдвиг W7, содержащий подслово вида xYx~l (:х 6 Е*1), причем х *-> У.

Лемма 6. Два циклически приведенных в G слова V и W сопряжены в G тогда и только тогда, когда V циклически эквивалентно W. В частности, циклические приведенные формы одного и того же слова циклически эквивалентны.

Два последних утверждения являются базовыми для доказательства основных результатов диссертации.

Эти леммы показывают сходство между свободными и частично-коммутативными группами с учетом того, что в свободной группе каждый класс эквивалентности [W] состоит из одного слова W, условие U V эквивалентно условию «U = 1 или V = 1», а условие U ~ V эквивалентно условию «V является циклическим сдвигом С/». В частности, как следует из лемм, проблемы слов и сопряженности в частично-коммутативных группах решаются при помощиа алгоритмов, похожих на соответствующие алгоритмы для свободных групп.

В параграфе 2.2 приводится один из основных результатов диссертации — описание коммутаторов в частично-коммутативных группах. На основе этого описания доказывается существование алгоритма, определяющего разрешимость уравнения [х, у] = д в частично-коммутативных группах. Приведем основную идею доказательства. Пусть слово W является коммутатором. Тогда для некоторых слов, А и В выполняется равенство W = ABA" 1 В-1 в группе G. Пусть слово АВА~1В~1 не является циклически приведенным в группе G. Тогда по Следствию 1 в нем есть циклическое подслово видагсУгг-1, где х е Е" 1″ 1, х У, и мы можем осуществить сокращение, заменяя подслово хУх~1 на У. Далее исследуется, как меняется тип слова при всех возможных таких сокращениях, то есть при циклическом приведении слова IV. В результате доказывается теорема о форме коммутатора в частично-коммутативных группах:

Теорема 1. Слово IV в частично-коммутативной группе С является коммутатором тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма, А представима в виде А1А2. АтА^А¹. А" 1, и для любых чисел а, ?3, 7, 5 таких, что 1<�а</3</у<3<�т выполняется хотя бы одно из условий: Аа <-> А1 или Ар А&-.

Поскольку по Лемме 6 все циклически приведенные формы данного слова циклически эквивалентны, то по данному слову IV они могут быть эффективно найдены. Далее, нетрудно доказать, что в формулировке Теоремы 1 значения тп можно считать ограниченными сверху. Поэтому для любого циклически приведенного слова можно эффективно проверить условие из формулировки Теоремы 1. Значит, справедливо следствие Теоремы 1 и Леммы б.

Следствие 2. Для любой частично-коммутативной группы С, заданной конечным копредставлением, алгоритмически разрешимо свойство данного элемента быть коммутатором. Иными словами, существует алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений вида [х, у] = д в группе в.

Доказательство достаточности в Теореме 1 конструктивно, то есть позволяет по данному слову IV (в случае, если оно является коммутатором), эффективно найти слова и и V такие, что IV = [и, V].

В главе 3 приводится второй результат диссертации — описание слов, являющихся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах. Из этого описания следует алгоритмическая разрешимость уравнения х2у2 = д в частично-коммутативных группах. Доказательство основано на той же идее и в основном проводится теми же методами, что и для уравнения [х, у] = д. В итоге доказывается Теорема 2, которая описывает слова, являющиеся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах и основанный на ней алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений видах2?/2 = д в этих группах (Следствие 3).

Определение. Будем говорить, что слово, А в частично-коммутативной группе С удовлетворяет условию т), если, А может быть представлено в виде.

АтВт-1А т—1 • • • Вт1АтС для некоторых слов А,., Ат, Вт-1, С при т > О, причем выполнены следующие условия:

• А (<-+ Ау при и — г > 1;

• Аг Ву при % ф + 1;

• В{ «-> В^ при г ф.

• С при всех 1 < % < т.

Теорема 2. Слово IV в частично-коммутативной группе (7 предста-вимо в виде произведения двух квадратов тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма удовлетворяет условию (Э (т) для некоторого т. При этом дополнительно можно считать все слова А, ., Атп в определении условия С}(т) непустыми.

Следствие 3. Для любой конечно порожденной частично-коммутативной группы (7 существует алгоритм, позволяющий определить, является ли данное слово в (7 произведением двух квадратов.

Результаты автора по теме диссертации изложены в [25]—[28].

1.

Введение

в топологию. / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко — М.:Наука, 1995. — 416 с.

2. Григорчук Р. И. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией. / Р. И. Григорчук, П. Ф. Курчанов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1990. — Т. 58. — С. 192−253.

3. Губа В. С. О подгруппах группы Р. Томпсона ^ и других групп диаграмм. / В. С. Губа, М. В. Сапир // Математический сборник. — 1999. Т. 190, № 8. — С. 3−60.

4. Линдон Р. Комбинаторная теория групп. / Р. Линдон, П. Шупп — М.: Наука, 1980. 448 с.

5. Маканин Г. С. Уравнения в свободной группе. / Г. С. Маканин // Известия АН СССР, сер. матем. 1982. — Т. 46, № 6. — С. 1199−1273.

6. Михайлова К. А. Проблема вхождения для прямых произведений групп. / К. А. Михайлова // Доклады АН СССР. 1958. — Т. 119, № 6. — С. 1103−1105.

7. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. / А. Ю. Ольшанский — М.:Наука, 1989. — 446 с. 58.

8. Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей. / А. Ю. Ольшанский // Сиб. матем. ж. 1989. — Т. 30, № 6. — С. 150−171.

9. Разборов А. А. О системах уравнений в свободной группе. / А. А. Разборов // Известия АН СССР, сер. матем. 1984. — Т. 48, № 4. -С. 779−832.

10. Baudisch A. Subgroups of semifree groups. / A. Baudisch // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1981. — Vol. 38, № 1−4. — P. 19−28.

11. Duchamp G. The lower central series of the free partially commutative group. / G. Duchamp, D. Krob // Semigroup Forum 45. — 1992. — P. 385−394.

12. Cartier P. Problemes combinatoires de commutation et de rearrangements. / P. Cartier, D. Foata // Lect. Notes in Math. — Springer, 1969. № 85. — P. 1−86.

13. Guba V. Diagram groups. / V. Guba, M. Sapir // Memoirs Amer. Math. Soc. 1997. — Vol. 620, № 130. — P. 1−117.

14. Lyndon R. C. On Dehn’s algoritin. / R. C. Lyndon // Math. Ann. — 1966. № 166. — R 208−228.

15. Servatius H. Automorphisms of graph groups. / H. Servatius //J. Algebra. 1989. — № 126. — R 34−60.

16. Servatius H. Surface subgroups of graph groups. / H. Servatius, C. Droms, B. Servatius // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1989. — Vol. 106, № 3. — P. 573−578.

17. Vdovina A. Constructing orientable Wicks forms and estimation of their numbers. / A. Vdovina // Comm. Algebra. — 1995. — № 23 (9). — P. 3205−3222.

18. Vdovina A. Counting 1-vertex triangulations of oriented surfaces. / A. Vdovina // Discrete Math. 2002. — № 246. — P. 13−27.

19. Weinbaum C. M. Visualizing the word problem with an application to sixth groups. / C. M. Weinbaum // Pacific J. Math. 1966. — № 16. -P. 557−578.

20. Wicks M. J. Commutators in free products. / M. J. Wicks //J. London Math. Soc. 1962. — № 37. — P. 433−444.

21. Wicks M. J. The equation x2y2 = g over free products. / M. J. Wicks // Proc. Cong. Singapore Nat. Acad. Sci. 1971. — P. 238−248.

22. Wicks M. J. A general solution of binary homogeneous equations over free groups. / M. J. Wicks // Pacific J. Math. № 41. — P. 543−561.Работы автора по теме диссертации.

23. Шестаков. С. Л. Уравнение х, у. = д в частично-коммутативных группах. / С. Л. Шестаков // Сиб. матем. ж. — Т. 46 — Ш (2005) — С. 466−477.

24. Шестаков С. Л. Уравнение х2у2 = д в частично-коммутативных группах. / С. Л. Шестаков // Сиб. матем. ж. Т. 47 — № 2 (2006) — С. 463−472.

25. Шестаков С. Л. Описание произведений квадратов в частично-коммутативных группах. / С. Л. ШестаковВологодский государственный педагогический университет. — Вологда, 2005. — 14 с. — деп. в ВИНИТИ 22.11.2005, ДО1522-В2005.