Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка

Постановка задач.

Система уравнений к.

1 — ае72Ц = - (у ¦ + ^ - Х7р + /,.

О — V • г-, ^ (°л) ди>1 -——.

— т— = V + а/од, ае 1 = 1, К т моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта порядка К > 0 [43]. Функция V — (г>1, г>2, г>п), Щ — Уг{х,?), аЕ (Г2 С Мп, п = 2,3,4, — ограниченная область с границей дО, класса С°°) имеет физический смысл скорости течения, функция р = р (х, ?) отвечает давлению жидкости. Параметры V Е М+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры ?3i G Ш+, I = 1, К, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Для системы (0.1) рассмотрим задачу Коши — Дирихле v (x, 0) = v0{x), р (х, 0) = р0(х), wi (x, 0) = wi0(x), VxeCl, (0.2) v (x, t) = 0, wi (x, t) = 0, 1 = 1, К, V (x, t) edil x R, и задачу Тейлора v (x, 0) = vq (x), wi (x, 0) = Щ0(х) /x G Q, v{x, t) = 0, wi (x, t)= 0 V (z, t) G <92f2 x R, (0.3) v{x, t), Wi (x, t) удовлетворяют условию периодичности на X Ж .

Система уравнений к.

1 — А У2)^ = - (V ¦ - ддв — Ур + /,.

1=1.

0 = У (У-и),.

0.4).

Ои!1, —г = V +, агек, 1 = 1, к т вь = азУ20 — V ¦ Чв + у ¦ д моделирует эволюцию скорости V — (г>ь ., г>п), У{ = Уг (х, ?), градиента давления Vр = (р,., РП), Р{ = Рг (х, ?) и температуры в = в (х, ?) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка к > 0 [28, 43]. Параметры ЛЕЕ, и Е М+ и эе Е М+ характеризуют свойства жидкости, д Е М.+ — ускорение свободного падения, вектор д = (0, ., 0,1) — орт в Параметры Д Е, I = 1, к определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член / = (/1,., /"), fi= /¿-(ж) отвечает внешнему воздействию на жидкость.

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи для системы (0.4). Здесь П С ]КП, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей 80, класса С°°.

Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (0.1) и (0.4).

Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Коши у (х, 0) = ь0(х), 0) = ги-0(ж),.

0(х, О) = 6о (х), у (х, ?) = 0, и)1(х, Ь) = 0,.

0.5) в (х, г) = о, У (х, 6 <90 х м+, 1=1, к и{ 0) = щ.

0.6) для полулинейного уравнения соболевского типа.

Ьй = Ми + F (u). (0.7).

Здесь U и J- — банаховы пространства, оператор L Е C{UТ), то есть линеен и непрерывен (ker L ^ {0}), оператор М: domM —" J7, М Е Cl (U J7) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор F: dorn F —> Тнелинейный.

Уравнения вида (0.7) часто называют «соболевскими» [12, 34, 45, 50, 98, 99, 107], так как впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С. Л. Соболев, который одним из первых исследовал задачу Коши для уравнения.

Autt + cu2uzz = 0, моделирующего малые колебания вращающейся жидкости [80].

Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (0.6), (0.7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.

Актуальность темы

диссертации.

Известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда ker L ^ {0}), задача (0.6), (0.7) разрешима не для любого начального значения щ Е Ы. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ Е Ы, при которых задача (0.6), (0.7) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный интерес. Впервые этот факт был отмечен в [97], а затем многие авторы неоднократно обращали внимание на это обстоятельство (см., например, [24, 25, 35, 92, 93, 112]).

Поиск множества допустимых начальных данных щ Е Ы привел Г. А. Свиридюка к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в [51], затем метод был развит в [57] и [82] .

При исследовании разрешимости задачи Коши для линейного однородного уравнения соболевского типа.

Ьй = М и (0.8) были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторы (то есть такие операторы, относительный спектр которых ограничен) и соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8) [56, 58, 110]. Очевидно, что класс относительно сг-ограниченных (то есть относительно спектрально ограниченных) операторов включает в себя операторы с ограниченным спектром вида Ь~1М в случае существования оператора Ь~1 Е С{Т Ы). Кроме того, были введены в рассмотрение относительно р-секториальные операторы, класс которых включает в себя секториальные операторы вида Ь~гМ в случае существования оператора Ь~1 Е и соответствующие им разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.8) [59, 63, 65] .

Используя указанный метод, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях [52, 53, 54, 55, 62, 66, 71] фазовым пространством автономных уравнений вида (0.7) служит банахово многообразие С°°-диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.8). В случае линейного уравнения (0.8) фазовое пространство просто совпадает с образом.

Укажем на принципиальное отличие данного подхода от метода слабых решений [78, 79], метода регуляризации [31, 32, 33] и метода дифференциальных включений [106, 107].

В настоящее время теория относительно сг-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.8) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [61], учебном пособии [76] и монографии [111] приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно сг-ограниченных и р-секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8). Некоторые направления развития этой теории намечены в [17, 19, 29, 36, 60, 86, 96].

Задача (0.6), (0.7) в автономном случае при р = 0 изучалась ранее Г. А. Свиридюком в его докторской диссертации [57], в неавтономном случае при р > 0 Т. Г. Сукачевой [85]. В данной работе продолжены исследования, начатые в [57, 85], в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Заметим, что к задаче Коши (0.6) для уравнения (0.7) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.1), (0.4), но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким моделям можно отнести уравнение Баренблатта — Желтова — Кочи-ной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой средеуравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерцииуравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкостиуравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки и др.

Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (0.6), (0.7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.

Методы исследования.

Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий.

Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (0.7) к уравнению й = В (и), заданному не на всем Ы, а на некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в Ы [71, 72], являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Д. В. Аносова [2].

Основным инструментом исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей используется полугрупповой подход, предложенный проф. Г. А. Свиридюком и развитый его учениками [61], [111].

Так как диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты вычислительных экспериментов, здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина, лежащий в их основе.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Коши-Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решения задач. Это было уже отмечено в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [40, 67, 68] .

Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Историография вопроса.

Об уравнениях, не разрешенных относительно старшей производной, впервые упоминается в работах А. Пуанкаре. Систематически изучать начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по «пространственным» переменным, стал С. J1. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В работе [80] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развивалось учениками С. Л. Соболева — Р. А. Александря-ном [1], С. А. Гальперном [14], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [34], Т. И. Зеленяком [22] и другими. Работу в том же напрвлении продолжили В. Н. Врагов [И], А. И. Кожанов [31], [32] и С. Г. Пятков [18].

С.Л.Соболев, используя методы гильбертова пространства, установил корректность начально-краевой задачи для исследуемого им уравнения [80].

Первым абстрактные уравнения вида (0.8) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать Р. Е. Шоуолтер [105], [108]. Независимо от него М. И. Вишик [9] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.8) и разработал численные методы ее решения. Р. Е. Шоуолтер [108] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [78], [79] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.7) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.8), были С. Г. Крейн [35] и его ученики. В их работах впервые было отмечено, что задача (0.6), (0.8) однозначно разрешима при всех начальных данных, лежащих в некотором подпространстве U, причем ее решение при всех i G t также лежит в этом подпространстве. К этим работам примыкают результаты И. В. Мельниковой и ее учеников [42], [104].

Уравнения вида (0.7) и конкретные их интерпретации называют уравнениями соболевского типа [34], [44], [71], [103],[105], [111]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов «вырожденные дифференциальные уравнения» [100], [104] и «дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной» [16], «неклассические дифференциально-операторные уравнения» [18], «псевдопараболические» и «псевдогиперболические» уравнения [16], [101] и «уравнения не типа Коши — Ковалевской» [38]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.7), (0.8) отмечали И. Г. Петровский [47] и Ж.-Л. Лионе [39].

К абстрактной задаче (0.6), (0.7) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупругих жидкостей, «которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформаций после снятия напряжений «[46]. Связь тензора напряжений, а и тензора скоростей деформаций D определяет тип жидкости. Соотношение между и и D, называемое определяющим или реологическим, имеет вид l qI М дт Е Xiw) a = 21/(1 + Е — Ре>

1 = 1 771=1 где {А/} 1 — 1, ¦ ¦ ¦, Ь — времена релаксаций, {ает} т = 1, ., М времена запаздывания, р — давление жидкости.

Простейшими из них являются жидкости Максвелла (Ь = 1, М = 0), жидкости Кельвина — Фойгта (Ь = 0, М = 1) и жидкости Олдройта (Ь = М — 1). В жидкостях Максвелла напряжения после прекращения движения уменьшаются как ехр (—?Ах-1), в жидкостях Кельвина — Фойгта при снятии напряжений скорость деформации уменьшается как ехр (—а в жидкостях Олдройта наблюдается как экспоненциальное релаксирование напряжений, так и экспоненциальное запаздывание деформаций.

Подстановкой соответствующего реологического соотношения в уравнения движения несжимаемой жидкости щ + (и- = Уст + /, V • и = 0 получена система, представляющая собой обобщение системы уравнений Навье — Стокса, в которую она переходит при Ь = М = 0.

А.П.Осколков [43] исследовал разрешимость в гельдеровых и соболевских пространствах начально-краевой задачи в цилиндре О х (0, Т) и (х, 0) = щ (х), х е П, «О, ?)=0, (х, Ь) е дП х (0, Т) для уравнения.

Л — У2Н = гЛ72ггVp + f) V • и = 0,.

V — положительный параметр, Л > —\ (Ах — наименьшее собственное число спектральной задачи — У2г> + Vр = Аг>, V • г- = 0, V = 0 на дП).

А.П.Осколков вместе с учениками [28] построил теорию глобальной разрешимости на [0, сю] начально-краевых задач для течений жидкостей.

Олдройта (n = 2) и жидкостей Кельвина — Фойгта (п = 3), на основе которой возникла теория аттракторов и динамических систем, порождаемых этими начально-краевыми задачами.

А. П. Осколковым было предложено провести исследование моделей динамики жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, используя метод фазового пространства [71, 72]. Впервые такие исследования представлены в [82] и продолжены в [85]. Данная работа также посвящена изучению фазовых пространств моделей гидродинамики ненулевого порядка.

В настоящее время уравнения соболевского типа переживают пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. Вышло много монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.7), (0.8).

В монографии Р. Е. Шоуолтера [108] рассматриваются уравнения (0.7), (0.8) с самосопряженным оператором L, определенными в полугильбертовом пространстве, т. е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию.

В монографии Г. Е. Демиденко и С. В. Успенского [16] методом построения последовательностей приближенных решений и получения их оценок в соответствующих нормах изучена задача Коши и смешанная задача для уравнения i-i.

L0(Ds)Dltx + ^ L^k{Ds)Dktx = f (s, t) k=0 с квазиэллиптическим оператором Lq (Ds).

В монографии В. Р. Врагова [11] выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений (0.8) с дифференциальными операторами по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [100] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения ^? А{х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа (0.8) с (Ь, <�т)-ограниченным оператором М в случае устранимой особой точки в бесконечности.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицина и М. А. Фалалеева [109] разработаны приложения метода ЛяпуноваШмидта к полулинейным уравнениям и их обобщениям. Доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.7) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор Р (типа ограничений). Показано существование гу-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения с замкнутыми плотно определенными операторами и ги-периодической неоднородностью.

В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филенкова [104] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности в терминах условий типа Хилле — Иосиды и расщепления исходных пространств в прямые суммы ядра и образа оператора при производной по времени.

В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [18] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.8), где операторы Ь, М — самосопряженные (или диссипа-тивные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Получен результат о существовании сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [13] исследуется задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.7) с равномерно липшиц-непрерывным и сильно монотонным оператором Ь и липшиц-непрерывным оператором Вольтерры М. Доказываются теоремы существования и единственности решений данной задачи, а также сходимость метода Галеркина.

Монография А. Г. Свешникова, А. Б. Алыпина, М. О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера [48] посвящается проблемам глобальной и локальной разрешимости широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [5] изучаются алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.7) с прямоугольной или вырожденной при всех? 6 [0,Т] матрицей Ь (Ь).

Во всех рассмотренных монографиях отсутствует объяснение факта принципиальной неразрешимости задачи (0.6), (0.7) при произвольных начальных данных. Впервые данный факт был замечен в [97], [102], затем он отмечался многими авторами, одно из объяснений этого факта было представлено Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой [71], [72] с точки зрения предложенного ими метода фазового пространства. Изучение начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа сводится к изучению их фазовых пространств.

Последовательное применение метода фазового пространства к изучению уравнений вида (0.8) позволило не только построить стройную теорию вырожденных (полу)групп операторов, но и разработать приложения этой теории к задачам устойчивости и задачам оптимального управления.

Первые итоги этих исследований подведены в монографии Г. А. Сви-ридюка и В. Е. Федорова [111]. В эту монографию вошли результаты Т. А. Бокаревой [3], JI.JI. Дудко [17], А. В. Келлер [29], В. Е. Федорова [86], A.A. Ефремова [19], Г. А Кузнецова [36]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С. А Загребиной [20], C.B. Брычева [6], A.A. Замышляевой [21], И. В. Бурлачко [7] и докторская диссертация В. Е. Федорова [90]. К настоящему времени В. Е. Федоров обобщил теорию вырожденных (полу)групп операторов на случай локально выпуклых пространств [87], [88], [89].

Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа начато Г. А. Свиридюком [49] в 1986 году для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска. Г. А. Свиридюком и M. М. Яку-повым [77] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова.

1-xV = и доказано, что фазовое пространство является простым банаховым С°°-многообразием. В диссертации M. М. Якупова [96] была установлена простота фазового пространства задачи Коши — Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека — Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Непосредственным продолжением [77] являются работы [69] и [64], [70].

В рамках данного направления можно выделить диссертационные работы учеников Г. А. Свиридюка. В диссертации Т. А. Бокаревой [3] изучена морфология фазового пространства задачи (0.6), (0.7) в эволюционном случае. Найдены условия, при которых фазовое пространство содержит ксборку Уитни. Абстрактные результаты были применены к системам, имеющим важное прикладное значение.

В диссертации JI. JT. Дудко [17] были найдены необходимые и достаточные условия относительной с-ограниченности линейных операторов.

В диссертации Г. А. Кузнецова [36] найдены достаточные условия относительной сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий сг-ограниченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов.

Диссертация А. В. Келлер [29] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решениям линейных неоднородных уравнений соболевского типа.

В диссертации C.B. Брычева [6] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых «систем леонтьевского типа», к которым относится знаменитая система Леонтьева «затраты — выпуск» с учетом запасов) .

В диссертации С. А. Загребиной [20] рассматривается задача Вери-гина для уравнения (0.7), которая обобщает классическую задачу Ко-ши (0.6). Здесь, как и во всех работах, абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами.

В диссертации А. А. Замышляевой [21] изучено фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка. Построено семейство вырожденных аналитических М, ^-функций.

В диссертации В. О. Казака изучены фазовые пространства обобщенного уравнения Осколкова и уравнения Хоффа [26].

H.A. Манакова в диссертации [40] исследует достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа.

В диссертации В. В. Шеметовой [95] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на графах.

Диссертация О. Г. Китаевой [30] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболеского типа.

В диссертации Д. Е. Шафранова [94] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах /с—форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края.

Диссертация А. Ф. Гильмутдиновой [15] посвящена качественному исследованию морфологии фазовых пространств уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова и системы уравнений Плотникова.

Краткое содержание диссертации.

Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, а также содержит результаты вычислительного эксперимента. Работа, кроме введения и списка литературы, состоит из трех глав.

Список литературы

содержит 130 наименований.

В первой главе в соответствии с [85] излагается теория разрешимости абстрактной задачи Коши (0.6) для полулинейного автономного уравнения соболевского типа (0.7). Результаты этой главы используются во второй и третьей главе при исследовании конкретных моделей гидродинамики.

В п. 1.1 рассматривается задача (0.6), (0.7) в случае, когда оператор М является {Ь, р)~ ограниченным относительно бирасщепляющего оператора Ь [4]. Здесь вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (0.7), фазового пространства, квазистационарной траектории уравнения (0.7), проходящей через точку^о, и доказывается теорема 1.1.1 существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (0.7).

Необходимость введения понятия «квазистационарная траектория» обусловлена тем, что решение задачи (0.6), (0.7) может быть неединственным. Отметим, что А. С. Зильберглейтом используется понятие квазистационарного решения [23].

В п. 1.2 рассматривается задача (0.6), (0.7) в предположении, что оператор М сильно (1/, р)-секториален.

В теореме 1.2.1 приводятся необходимые условия существования квазистационарных полутраекторий, а в теореме 1.2.2 — достаточные условия существования единственного решения задачи (0.6), (0.7), являющегося квазистационарной полутраекторией. Понятие квазистационарной полутраектории обобщает на эволюционный случай понятие квазистационарной траектории, которое вводилось в п. 1.1.

Результаты первой главы являются обобщением соответствующих результатов, полученных ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими [25, 35] и челябинскими [86] математиками. На их основе удалось изучить некоторые математические модели несжимаемых вяз-коупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевых порядков и получить для них теоремы существования единственного решения.

Во второй главе изучаются различные динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка. Во всех этих моделях оператор М является (Ь, р) — ограниченным, причем любой вектор </?? кег Ь {0} имеет точно один М-присоединенный вектор. Приведены полные описания фазовых пространств рассматриваемых задач.

В п. 2.1 исследуется задача Коши — Дирихле для системы уравнений, моделирующей движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. П. 2.2 посвящен обобщенной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. В п. 2.3 впервые рассматривается задача Тейлора для системы уравнений, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

В третьей главе исследуются эволюционные модели вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка. П.п. 3.1 и 3.2 посвящены приложениям абстрактных результатов п. 1.2 к исследованию моделей термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта.

В п. 3.1 изучается автономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. В этой ситуации оператор М является сильно (L, 1)-секториальным.

В п. 3.2 впервые рассматривается обобщенная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка в автономном случае. Здесь оператор М также является сильно (L, 1)-секториальным. Дано полное описание фазового пространства указанной задачи.

П. 3.3 содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple и пример его применения.

Все нелинейные прикладные задачи, изученные во второй и третьей главах, в данной постановке рассматриваются впервые, и результаты, полученные для них, являются новыми.

Публикации.

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [113] - [130], причем работы [119], [124], [126], [128] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлялись на VI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые зада-чи» (Самара, 1996) [114], на конференции «Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия «(Челябинск, 1997) [115], на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998) [116], на XII межвузовской научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Великий Новгород, 1999) [117], на международной научно-методической конференции «Современные интеллектуальные технологии «(Великий Новгород, 2000) [118], на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (Челябинск, 2002) [120], на международных научно-методических конференциях «Математика в вузе» (Петрозаводск, Великие Луки, 2003, 2010, 2011) [122, 125, 130], на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010) [123], на международной конференции «Физика и технические приложения волновых систем» (Челябинск, 2010) [127], на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Казань, 2011) [129]. Также результаты докладывались и обсуждались на семинаре профессора Е. Ю. Панова в Новгородском государственном университете (Великий Новгород).

Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы (2009;2011 годы)», проект № 2.1.1/2301.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Тамаре Геннадьевне Сукачевой за постоянное внимание к работе и многочисленные беседы, способствовавшие ее написанию, профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постоянный интерес к данным исследованиям, профессору Евгению Юрьевичу Панову за поддержку и конструктивную критику, а также коллегам по работе за теплый микроклимат и моральную поддержку.

Заключение

.

В данной работе проведено качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка и получены следующие основные результаты:

— изучена модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, получено описание фазового пространства задачи;

— изучена обобщенная модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, приведено описание фазового пространства этой задачи;

— исследована разрешимость задачи Тейлора для модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка и описано ее фазовое пространство;

— изучена модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости ненулевого порядка и ее фазовое пространство;

— описано фазовое пространство для обобщенной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка;

— во всех моделях доказаны теоремы, дающие достаточные условия существования единственного решения соответствующих задач, являющиеся квазистационарными (полуТраекториями;

— разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости;

— разработана и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения для указанной выше задачи.

Таким образом, в работе качественно исследованы модели гидродинамики, что диктуется требованиями численного анализа, и представлен вычислительный эксперимент для модели термоконвекции. Невозможна разработка какого-либо алгоритма решения без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред возможен только после решения принципиальных вопросов качественного анализа.