Нормальные формы версальных деформаций сложенных особых точек неявных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной (или неявные дифференциальные уравнения) появляются при математическом описании явлений различной природы. Например, при анализе поведения характеристик линейного дифференциального уравнения второго порядка с частными производными на плоскости смешанного типа [6], [15], [31], при изучении поведения поля асимптотических направлений на гладкой поверхности в трёхмерном пространстве [7], [26] и в ряде других важных для приложений задач [16], [5], [28], [22].

Ясная формулировка задачи изучения неявных дифференциальных уравнений восходит к объявленному в 1885 году конкурсу Шведского короля Оскара II, где в одной из конкурсных задач требовалось описать кривые, доставляемые обыкновенными дифференциальными уравнениями [19], что включает не только изучение особенностей поведения фазовых кривых векторных полей, но и анализ особенностей решений, доставляемых неявными дифференциальными уравнения. Как выяснилось позднее, даже случай одного неявного дифференциального уравнения первого порядка оказался нетривиальным.

Один из необходимых этапов анализа поведения решений дифференциальных уравнений — это локальный анализ, что может быть сделано путем получения локальных нормальных форм дифференциальных уравнений или семейств их фазовых кривых с точностью до выбранной группы преобразований. Для типичных гладких векторных полей на плоскости теория локальных нормальных форм была завершена сравнительно недавно, когда были получены гладкие орбитальные нормальные формы для резонансных седел (см. [3]).

Для неявных уравнений первая локальная нормальная форма.

1у/<1х)2 = х была получена Ф. Трикоми для уравнения характеристик а (х, у)<1у2 — 2Ь (х, у)(1х (1у + с{х, у)<1×2 — 0 (1) дифференциального уравнения с частными производными на плоскости а (х, у) ихх + 2Ь (х, у) иху + с (х, у) иуу = /(х (2) где а, Ь, с — гладкие функции и / - некоторая функция, вблизи типичной точки границы гиперболической области дифференциального уравнения второго порядка с частными производными на плоскости, где дискриминант главного символа уравнения равен нулю, его дифференциал отличен от нуля, а характеристическое направление не касается границы в этой точке. В трактате Трикоми вывод этой нормальной формы был неточен [31], и её правильное обоснование было дано чуть позже М. Чибрарио [20].

Последующие результаты в этой области были получены на рубеже веков — в последней четверти двадцатого века и в первое десятилетие этого века, когда активность математиков здесь резко возросла после работ Р. Тома [30] и Ф. Такенса [28]. Сначала Л. Дара и Ю. Бродский переоткрыли нормальную форму Трикоми-Чибрарио [21], [2], затем А. Г. Кузьмин нашел топологические нормальные формы вблизи невырожденных сложенных особых точек [14], [15] (другим путём эти формы были получены в [9]), а А. А. Давыдов нашел гладкие нормальные формы вблизи нерезонансных сложенных особых точек [9], [22] и совместно с Э. Росалесом-Гонсалесом вблизи резонансных [11], [24]- А. А. Давыдов также установил наличие топологических модулей вблизи типичных собранных особых точек [9], [22]. Позднее были получены нормальные формы и для некоторых вырожденных случаев [23], [29], а также для системы двух неявных уравнений на плоскости [25].

Теория нормальных форм для семейств (неявных) уравнений всегда привлекала исследователей с целью анализа происходящих бифуркаций при изменении параметра, но развивалась она по следам теории нормальных форм для уравнений без параметров с естественной задержкой по времени. Для векторных полей с параметром этапной работой в теории локальных нормальных форм стала работа Ю. С. Ильяшенко и С. Ю. Яковенко [12], в которой, в частности, были получены конечно гладкие нормальные формы деформаций ростков векторных полей в нерезонансных сложенных особых точках.

Настоящая работа посвящена развитию теории локальных нормальных форм гладких семейств неявных дифференциальных уравнений, точнее, получаем конечно гладкие нормальные формы для гладких деформаций сложенных нерезонансных особых точек и соответствующие нормальные формы для гладких деформаций дифференциальных уравнений смешанного типа с частными производными на плоскости вблизи нерезонансных сложенных особых точек семейства их характеристик.

Основные результаты работы получены методами теории особенностей дифференцируемых отображений и качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Эти результаты включают теорему о конечно гладкой нормальной форме ростка гладкого семейства неявных дифференциальных уравнений первого порядка на плоскости в его нерезонансной сложенной особой точке и соответствующую ей теорема о конечно гладкой нормальной форме ростка гладкого семейства линейных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости в нерезонансной сложенной особой точке семейства характеристик этого уравнения.

Доказательство этих теорем основано на параметрическом варианте теоремы редукции, которая сводит теорию нормальных форм семейств ростков неявных дифференциальных уравнений 1-го порядка вблизи сложенных особых точках к теории нормальных форм ростков семейств согласованных пар гладких векторных полей и инволюций на плоскости (определение согласованности дано ниже), и, таким образом, является основой для переработки теории нормальных форм ростков гладких семейств векторных полей в особых точках в теорию нормальных форм сложенных особых точек неявных уравнений, конечно, с определённой дополнительной работой.

Теорема редукции с доказательство приведена в первой главе. Неявное уравнение мы задаём нулевым уровнем гладкой функции в пространстве направлений на плоскости. Этот уровень для типичной гладкой функции (здесь и всюду далее типичный объект — это объект из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве объектов в подходящей топологии, например, в случае функций подходит тонкая гладкая или достаточно гладкая топология Уитни) либо пуст либо является гладко вложенной поверхностью в этом пространстве. Эта поверхность называется поверхностью уравнения, а ограничение на неё стандартной проекции вдоль оси направлений (= вертикального оси или направления) -складыванием уравнения. Складывание типичного гладкого уравнения имеет критические точки типа складка либо сборка Уитни [4], [8].

Например, для уравнения Трикоми-Чибрарио йу1 — хйх1 на плоскости складывание уравнения имеет лишь критические точки складка Уитни в точках, соответствующих горизонтальным направлениям на оси координат, то есть направлению 1: 0 в каждой из точек (х = 0, г/).

Отметим, что поле направлений уравнения Трикоми-Чибрарио двузначно в области х > 0, а у общего уравнения, вообще говоря, многозначно. Но для типичного неявного уравнения на плоскости его (многозначное) поле направлений поднимается до гладкого поля направлений уравнения на его поверхности, возможно с особыми точками. В точках этой поверхности поле направлений уравнения определяется как пересечение касательной плоскости к поверхности уравнения с контактной плоскостью, образ которой при проекции вдоль вертикального направления доставляет направление на плоскости, задаваемое этой точкой поверхности.

В работе мы будем изучать гладкие деформации ростков неявных уравнений вблизи их сложенных особых точек, поэтому наши исследования достаточно провести для бинарных дифференциальных уравнений, имеющих вид (1) по Мазеру [8]. В силу теоремы деления вблизи особой точки складывания уравнения типа складка Уитни к такому виду приводится любое неявное дифференциальное уравнение первого порядка на плоскости (см. [8], [21], [9]).

Как отмечено выше, уравнение (1) является уравнением характеристик для дифференциального уравнения с частными производными на плоскости (2). Решения (1у: с1х уравнения характеристик (1) называются характеристическими направлениями уравнения (2). Уравнение характеристик неразрешимо, вообще говоря, относительно производной всюду, где дискриминант уравнения И Ъ2 — ас равен нулю.

Для типичной тройки функций а, Ъ и с всюду, где дискриминант равен нулю, дифференциал дискриминанта ненулевой, поэтому нулевой уровень дискриминанта либо пуст либо является гладко вложенной кривой на плоскости. Эта кривая в теории уравнений с частными производными называется линией смены типа, ибо по одну сторону от этой линии находится область эллиптичности, где дискриминант отрицателен и вещественных характеристических направлений нет, а по другую — область гиперболичности уравнения, в которой дискриминант положителен и где в каждой точке есть ровно два таких направления.

Таким образом, в типичном случае поверхность уравнения характеристик (1) образует двулистное накрытие над гиперболической область уравнения (2) с ветвлением над линией смены типа, а сама эта линия является множеством критических значений складывания уравнения характеристик.

Отображение поверхности уравнения характеристик в себя, переставляющее точки с одинаковыми образами при складывании уравнения, называется инволюцией складывания этого уравнения. Понятно, квадрат инволюции складывания типичного гладкого уравнения характеристик является тождественным отображением и что эта инволюция складывания гладким отображением, множество неподвижных которого совпадает с множеством критических точек этого складывания — множеством его складок Уитни.

Множество критических точек складывания неявного уравнения называется криминантой этого уравнения и в случае уравнения характеристик является прообразом при этом отображении линии смены типа уравнения.

2). Ясно, что поле направлений типичного гладкого неявного уравнения 1-го порядка на его поверхности не имеет особых точек вне криминанты, а на самой криминанте особые точки этого поля — это в точности точки совпадения касательная плоскость к поверхности уравнения и контактной плоскости.

Пример 1. Для уравнения йу2 + (ж2 — у) йх2 = 0.

На поверхности уравнения характеристик в координатах х, р = ?.у^х складывание уравнения задается формулой и-«- (х, у = р2 + х2), а поле направлений уравнения — дифференциальным уравнением.

2р (1р + (2х — р) с1х = 0 ихх + (х2 — у) иуу = 0 на плоскости у уравнение характеристик имеет вид X.

Инволюция складывания.

Рис. 2. Поле направлений уравнения на поверхности. и имеет особую точку типа фокус в нуле. Криминанта уравнения есть в точности ось абсцисс р = 0, а инволюция складывания имеет вид (х, р) н-> (, х, —р), то есть переставляет точки (ж, Линия смены типа исходного уравнения — это парабола у = х2.

Когда коэффициенты уравнения (1) гладко зависят от параметра е € Мт, тбК, все эти понятия определяются аналогично, но вместо одного уравнения мы получаем семейство уравнений, а вместо криминантыповерхность криминант и т. д. Как и в только что приведенном примере картину на поверхности уравнения делает более ясной следующее утверждение, приводящее семейство уравнений характеристик вблизи точки линии смены типа к более простой форме.

Предложение 1. Гладкое семейство уравнений (1) а (х, у,?)(1у2 — 2Ь (х, у, е)(1х (1у + с (х, у, е^х2 = 0, ?еГ, тбМ, (3) вблизи точки (Р, бо), где при е = £о характеристическое направление касается линии смены типа в точке Р и |Дс (Р)| + Оу (Р) ф 0, приводится к семейству вида.

1у2+ С (х, у}е)(1×2 = 0 (4) с некоторой гладкой функцией С, С (Р, ео) = Сх (Р, ео) = 0 ф СУ (Р,?о), при подходящем выборе локальных гладких координат, гладко зависящих от параметра, с началом в точке Р при е = £о, и умнооюении уравнения на гладкую функцию от х, у и ?.

В координатах предложения 1, как и в примере выше, за локальные координатах вблизи нуля на поверхности уравнения можно взять х и р — <1у1&х, в которых инволюция складывания и и поле направлений уравнения имеют вид соответственно а: (х, р)^(х,-р), (2р :-(Сх +рСу)). (5).

Это поле направлений можно задать векторным полем.

2 р,-(Сх+рСу)). (6).

Определитель матрицы, столбцами которой являются поля сг*г> и V, равен 4р2Су и, в силу СУ (Р,?о) т^ 0, имеет нуль в точности второго порядка малости на криминанте (р = 0). Это доставляет определённую согласованность поля направлений и инволюции складывания уравнения вблизи криминанты и мотивирует следующее определение.

Непрерывное векторное поле V и дифференцируемая инволюция, а с линией неподвижных точек называются согласованными в точке этой линии, если вблизи этой точки определитель матрицы со столбцами V и <�т*г> имеет на этой линии нуль в точности второго порядка. Поле направлений и такая же инволюция согласованы в точке этой линии, если это поле можно задать непрерывным векторным полем, согласованным с этой инволюцией в этой точке. Аналогично вводится понятие согласованности и для дифференцируемых семейств пар полей и инволюций.

Для типичного уравнения (1) инволюция складывания и поле направлений уравнения на его поверхности согласованы с любой точке криминанты, а для типичного семейства уравнений (1) или (14) такое согласование есть вблизи точки криминанты, где складывание уравнения имеет особую точку типа складка Уитни.

Для г > 0 два ростка объектов одной природы (например, функций, отображений, кривых и т. п.) называются Сгэквивалентными вдоль С1-векторного поля (или поля направлений) V (или Суэквивалентными), если они переводятся один в другой ростком Сгдиффеоморфизма, переводящим фазовые (интегральные, соответственно) кривые полягв себя. Здесь и ниже мы считаем, что поле направлений имеет некоторый класс гладкости, если его можно задать векторным полем такого класса гладкости (с теми же особыми точками).

Для ростков семейств объектов с параметром е € Шт, т > 1, эквивалентность — это Сгдиффеоморфизм, сохраняющий естественное расслоение над пространством параметра и переводящий фазовые (интегральные) кривые поля (v, e = 0) (соответственно интегральные кривые поля (v: 0) в себя. эквивалентность называется сильной, если, к тому же, она сохраняет параметр.

Следующая теорема является основным результатом первой главы.

Параметрическая теорема редукции. Для ростка в нуле гладкого семейства v векторных полей (полей направлений с параметром е € Мто ростки в нуле двух согласованных с ним гладких семейств инволюций с тем же параметром сильно эквивалентны, если эти семейства инволюций имеют одну и ту otee поверхность неподвижных точек, проходящую через ноль, а поле (v, e = 0) (соответственно (v: 0) j не касается этой поверхности почти всюду вблизи нуля.

Эта теорема обобщает теорему редукции А. А. Давыдова [9], [22] на случай семейств неявных дифференциальных уравнений.

Во второй главе диссертации теорема редукции применяется для получения нормальных форм семейств бинарных уравнений (1) с конечномерным вещественным параметром. Сначала приводятся нормальные формы для семейств вблизи точки эллиптичности либо гиперболичности уравнения семейства, либо ещё точки линии смены его типа, где дискриминант уравнения равен нулю, его дифференциал по фазовым переменным ненулевой, а характеристическое направление трансверсально этой линии.

В этих случаях росток семейства приводится к форме с главным символом в классическом виде дифференциального оператора Лапласа либо волнового, либо ещё оператора Трикоми-Чибрарио с точностью до гладкой замены координат и умножения уравнения на не обращающуюся в ноль гладкую функцию от фазовых переменных и параметра.

Затем семейство уравнений изучается вблизи точки линии смены типа, где дифференциал дискриминанта уравнения по фазовым переменным ненулевой, а характеристическое направление касается этой линии. Рассматривается случай, когда соответствующая особая точка поля (6) на поверхности уравнения является нерезонансным седлом, узлом либо фокусом.

Используются два вспомогательных утверждения, сводящие задачу получения нормальных форм ростков семейств к условиям, в которых становиться применимой параметрическая теорема. Первое из них — это утверждение, доказанное А. А. Давыдовым в [9]. В параметрическом случае он точно такое же.

Лемма 1. ([9]) Для ростка в нуле дифференцируемого векторного поля V с гиперболической особой точкой в нуле два различных направления в нуле эквивалентны, если и только если их можно соединить в пространстве направлений в нуле непрерывной кривой, не проходящей через собственные направления поля V в нуле.

А второе обобщает соответствующее утверждение из [9] на случай семейств.

Лемма 2. Для ростка в нуле дифференцируемого семейства V векторных полей с параметром е? Кт и с гиперболическими особыми точками в нуле ростки в нуле двух гладко вложенных поверхностей, содержащих ось параметра сильно Сэквивалентны, если в нуле в плоскости е — 0 сечения этих поверхностей касаются друг друга, но ни одно из собственных направлений поля v не касается этих сечений.

Лемма 2 доказывается с использованием сг-процесса — вклеивании проективной прямой в особой точке при каждом значении параметра. Во второй лемме параметр фиксирован, и достаточно найти переводящее отображение в виде ем, где, А — матрица линеаризации поля v в нуле, с некоторым i G M, что и было сделано в [9].

После этого во второй главе диссертации выводятся искомые нормальные формы семейств с использованием теоремы Ильяшенко-Яковенко о конечно гладких нормальных формах ростков семейств векторных полей в их нерезонансных особых точках [12]. В случае плоскости такой росток с точностью до конечно гладкой орбитальной эквивалентности и, возможно, обращении времени, есть росток в нуле поля уравнения.

С, V) = (С, аШ (7) для седла и узла, и.

С, V) = (С — а (е)ъ а (е)С + ту), (8) для фокуса, где а (е) — соответствующая функция показателя особой точки, а порядок гладкости можно выбрать конечным сколь угодно большим. Последние нормальные формы линейной заменой фазовых переменных, гладко зависящей от показателя а (е), и растяжением времени приводятся к виду.

С = 277 и rj — —2k{e)C, + rj (9) с функцией к, к = к (е), вычисляемой по формуле к (е) — а (е)(а (е) + 1)2/4 для седла и узла, и по формуле (1 + а2(е))/16 для фокуса.

Инволюция, а: (?, г]) (С, — rj) совместна с семейством полей г?, v (C, rj) = (27?, — 2к (е)(-Ь 77), уравнения (9), поскольку определитель 4 т?2 имеет в точности второй порядок малости на линии её неподвижных точек. Теперь, при приведении деформации нерезонансной сложенной особой точки к нормальной форме, мы сначала ей приводим к одной из форм v.

C.rc) = т*г>

2 т? -2k (e)C + v.

— 2т) 2k (e)C + r1.

7) и (8). Затем учитывая сохранение этих форм при осевых симметриях, добиваемся, чтобы криминанта расположилась в первом и третьем квадрантах (точнее, в их объединении с нулем), после чего приводим поле к форме (9), а криминанту к оси Наконец, применяя параметрическую теорему редукции, получаем нормальные формы семейств уравнений характеристик и линейных уравнений смешанного типа.

Теорема (о нормальных формах неявного уравнения). Для любого г 6 N «росток гладкого семейства уравнений (1) с параметром г? Мт в нерезонансной сложенной особой точке такого уравнения типа седло либо узел (фокус) есть росток в нуле семейства у2 = (у — к{е)х2)(1×2 (10) с к (е) = а (?)(а (?) + 1)~2/4 (соответственно к{е) = (1 + а2(е))/16), где а (е) — соответствующая функция показателя особой точки, при подходящием выборе локальных Сгкоординат, расслоенных над параметром, и умножением уравнения на не обращающуюся в ноль Сг-функцию отх, у и е.

Таким образом, в конечно гладкой нормальной форме гладкого семейства уравнений (1) в нерезонансной сложенной особой точки есть только один параметр — к.

Теорема (о нормальных формах уравнений смешанного типа). Для любого г € М, г > 2, росток гладкого семейства уравнений (2) с параметром е 6 Кт в нерезонансной сложенной особой точке типа седло либо узел (фокус) сети его характеристик приводится к ростку в нуле уравнения ихх + {к{е)х2 — у) иуу = /(х, у, и, их, иу, е) (11) с некоторой функцией / и к{е) = а{е)(а{?) + 1)-2/4 (соответственно к (е) = (1 + о-2(е))/16), где а (е) — соответствующая функция показателя особой точки, при подходящием выборе локальных Сгкоординат, расслоенных над параметром, и умножением уравнения на не обращающуюся в ноль Сгфункцию от х, у и е.

Сложенные фокус и типичный узел нерезонансные, поэтому в этих случаях класс гладкости г можно поднять до оо.

Наконец, как и в работе А. А. Давыдова [9] показывает, что в нормальной форме семейства интегральных кривых уравнения (28) параметр к можно взять равным —1,1/20 и 1 для седла, узла и фокуса соответственно, если разрешить непрерывные замены координат. Следовательно, модельными (или самыми простыми уравнениями) для уравнениями типа (29) могут служить уравнения вида ихх — (х2 + у) иуу = 0, ихх + (ж2/20 — у) иуу = 0, ихх + (х2 — у) иуу = 0. соответственно, которые и заслуживают первоочередного анализа.

Я очень благодарна моему научному руководителю профессору А. А. Давыдову за постановку задачи и внимание к работе, сотрудникам кафедры «Функциональный анализ и его приложения» за поддержку и хорошие условия работы, а также моему мужу и сыну, и всей моей семье, за их понимание и терпеливое ожидании моего возвращения домой.

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971. — 240 с.

2. Арнольд В. И. Допольнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

3. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. 5: Динамические системы 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 7−149.

4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2004. — 672 с.

5. Вере Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики// пер. с англ., М., Изд-во иностранной литературы, 1961. -206 с.

6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука, 1981. — 448 с.

7. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия// Едиториал УРСС, 2004 ISBN 5 354 006 716, 344 с.

8. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. — 296 с.

9. Давыдов А. А. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки// Функц. анализ и его приложения, 1985, т. 19, вып. 2, с. 1−10.

10. Давыдов А. А., Ортиз-Бобадилья Л. Нормальные формы сложенных элементарных особых точек. Успехи матем. наук, 1995. Том 50, вып.6(306), с. 175−177.

11. Давыдов А. А., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификация типичных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости// ДАН, 1996. Том 350, № 2, с. 151−154.

12. Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей// УМН, 46:1(277) (1991), с. 3 39.

13. Ильяшенко Ю. С., Ли В. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО: ЧеРо, 1999. — 416 с.

14. Кузмин А. Г. О поведении характеристик уравнения смешанного типа вблизи линии вырождения. Дифференц. уравнения, 1981. Том 17, № 11, с. 2052;2063.

15. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике// Изд. ЛГУ, 1990. 208 с.

16. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа// Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

17. Пиля А. Д., Федоров В. И. Особенности поля электромагнитных волн в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // ЖЭТФ. 1971 Т. 60, вып. 1, с. 389−400.

18. Пхакадзе А. В., Шестаков А. А. О классификации особых точек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенногоотносительно производной// Матем. сборник. 1959 Т. 49 (91), вып.1. с. 3−12.

19. Acta Matematica v.7 (1885), pp. 1−6.

20. Cibrario M. Sulla riduzione a forma canonica delle equazioni lineari alie derivate parziali di secondo ordine di tipo misto// 1st. Lombardo, Rend., 1. Ser. 65 (1932), pp. 889−906.

21. Dara L. Singularites generiques des equations differentielles multiforme// Bol. Soc. Bras. Mat., No. 6 (1975), с. 95−129.

22. Davydov A. A. Qualitative theory of control systems// Translations of Mathematical Monographs, Vol. 141, 1994, AMS in cooperation with MIR (Moscow), Providence, Rhode Island, 147 pp.

23. Davydov A. A., Ortiz-Bobadilla L. Smooth normal forms of folded elementary singular points// Dynam. Control Systems, 1995, vol.1, no. 4, pp. 463−482.

24. Davydov A. A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane// Japanese Journal of Mathematics Jpn J Math, 3:1 (2008), c. 93−119.

25. Garcia R., Gutierrez C., Sotomayor J. Structural stability of asymptotic lines on surfaces immersed in R3// Bull. Sci. Math., 123 (1999), no. 8, pp. 599−622.

26. Kuzmin A. G. Non-classical equations of mixed type and their applications in gas dynamics// ISNM. International Series of Numerical Mathematics. 109. Basel: Birkhaeuser Verlag. ix, 288 pp. (1992).

27. Takens F. Constrained equationsa study of implicit differential equations and their discontinuous solutions// in: Structural stability, the theory of catastrophes, and applications in the sciences. LNM 525, SpringerVerlag, 1976, pp. 143−234.

28. Tari F. Pairs of foliations on surfaces// Series: London Mathematical Society Lecture Note Series (No. 380) — Real and Complex Singularities, Edd. M. Manoel, M. C. Romero Fuster, С. Т. С Wall, 2010.

29. Thorn R. Sur les equations differentielles multiforms et leur integrales singulieres// Bol. Soc. Bras. Math., 1971, v.3, № 1, pp. 1−11.

30. Tricomi F. Sulle equazioni lineari aile derivate parziali di secondo ordine di tipo misto// Memorie delia R. Aceademia Nazionale dei Lincii, serie V, vol. XIV, fasc. VII (1923).

31. A. A. Давыдов, JI. Чинь Тхи Зиеп. Нормальные формы семейств линейных уравнений смешанного типа вблизи нерезонансных сложенных особых точек// Успехи матем. наук, 2010. Т. 65, вып.5(395). — с. 189 190.

32. Чинь Тхи Зиеп Линь. О нормальных формах семейств уравнений смешанного типа на плоскости// Труды ВлГУ, Владимир, 2010, с. 133 135.

33. Alexey Davydov, Linh Trinh Thi Diep. Reduction theorem and normal forms of linear second order mixed type PDE families in the plane// TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. V.2, № 1, 2011, pp. 44−53.