Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами

Важным источником функций над полями и кольцами и различных задач комбинаторного анализа традиционно являются билинейные формы и билинейные функции векторных пространств и модулей, квадратичные формы и соответствующие квадрики проективных пространств [16], [7], [9], [19], [17]. В диссертации исследуются квадрики проективных пространств над локальными кольцами, рассматривается одна из основных в теории квадрик задача.

А) Классифицировать и перечислить квадрики проективного пространства с точностью до проективностей или проективных конгруэнтностей.

Теории симметричных и квадратичных форм векторных пространств и квадрик (или геометрических образов второго порядка) проективных пространств над полем развивались взаимосвязано и достаточно хорошо разработаны. Изучение произвольных рефлексивных форм над полем сведено к изучению невырожденных ре-^ флексивных форм, а последние классифицированы вместе с симметричными и кососимметричными (симплектическими) формами, [1, гл. 3], [12, 41.1]. Наряду с развитием К-теории, в исследованиях проективных пространств возрастал интерес к переходу от полей к более общим кольцам коэффициентов. В более общей ситуации исследуются (проективные) линейные группы и проективности, обобщается основная теорема проективной геометрии, [15], [14] и др. Бенц [2, гл.1] рассматривает классические геометрии Мебиуса, Jla-герра и Минковского как проективные прямые над ассоциативно-коммутативными алгебрамиуказаны геометрические интерпретации таких проективных прямых в евклидовом пространстве.

Естественно, что квадрики исследуются взаимосвязано с квадратичными формами и их матрицами. В [13, § 3] устанавливается су-V ществование ортогонального базиса «сильно невырожденной» симметричной формы на модуле над локальным кольцом с обратимым элементом 2. В то же время, при переходе к таким кольцам коэффи-v циентов определяющая роль симметричных форм с обратимой матрицей утрачивается, а число всех классов проективно эквивалентных квадрик, как правило, существенно превосходит число классов с «сильно невырожденными» квадриками. Поэтому целесообразно.

Б) Выявить локальные кольца, над которыми любая симметричная матрица конгруэнтна диагональной матрице.

Конгруэнтными к, А называют (исходя из конгруэнтности квадратичных форм) матрицы QAQT с обратимыми матрицами Q. Недиа-гонализируемую по конгруэнтности симметричную матрицу над локальным кольцом указывает пример 1.2.1 в § 1.2 диссертации (другие примеры см. в § 3.3). Отметим, что матрицы произвольной фиксированной билинейной формы на модуле образуют класс эквивалентных матрицэквивалентными к, А считаются матрицы PAQT с всевозможными обратимыми матрицами Р, Q. Диагонализируемость и нормальный вид относительно эквивалентности матриц над кольцами главных идеалов устанавливаются в [3, глава 15]. В случае колец коэффициентов из (Б) требуется также.

В) Установить (единственную) «нормальную» диагональную форму в классах конгруэнтных симметричных матриц. ч Рассматриваемые в диссертационной работе задачи тесно связаны с функциями над кольцами, перечислительными задачами и некоторыми комбинаторными вопросами.

В § 1.1 главы 1 приводятся предварительные (известные) сведения о проективных пространствах, вводятся проективности и проективные линейные преобразования. Там же приведено обобщение классической основной теоремы проективной геометрии [15]. Ее следствием является факторизуемость группы проективных преобразований проективного пространства двумя стандартными подгруппами (лемма 1.1.3). В § 1.2 вводятся понятия, связанные с квадриками, обсуждаются основная задача теории квадрик и соответствующие вопросы для симметричных форм и их матриц. Показы-ц, вается, что при переходе от полей к более общим кольцам коэффициентов симметричные формы с обратимой матрицей перестают играть определяющую роль в описании всех симметричных форм.

Главные результаты, связанные с задачей (А), устанавливаются в главе 3. Через R* обозначается мультипликативная группа обратимых элементов кольца R. Пусть Qq (m) — совокупность всех упорядоченных наборов (щ,., nq) целых чисел пj > 0 с суммой т. Число ^^, по определению, равно ^ ^ ^ Для Целых чисел р > q > О и равно 0 в других случаях. Следующая теорема о перечислении классов проективно конгруэнтных квадрик доказана в § 3.1.

Теорема 3.1.1. Пусть N (n, s) — число классов проективно конгруэнтных квадрик пространства RPn- {п > 2) над локальным кольцом R с нильпотентным ступени s главным максимальным идеалом, причем 2 Е R* и |R*: R*21 = 2. Тогда число N (n, s) соответственно случаям R* П (1 + Я2) ^ R*2 и 1 + R*2 С R*2 равно ([•••] — целая часть числа).

П min {m, s},. //01 е Е — т= 9=1 1 У 1 п min{m, s}, ,.

Е Е 1 + Е [Ш^+1)]}m—l q= 1.

В определенных случаях (например, при R = Zpd) доказанная теорема дает и число классов проективно эквивалентных квадрик. Более точно, если кольцо R с максимальным идеалом J = (е) выбрано так, что элементы? и ке для фиксированного обратимого неквадрата к неавтоморфны в R, то по основной теореме проективной геометрии отношения проективной конгруэнтности и проективной эквивалентности квадрик совпадают и число классов проективно эквивалентных квадрик также равно N (n, s) (предложение 3.1.2). Для проективной плоскости оставшийся случай рассматривает.

Теорема 3.2.1. Пусть N есть число классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости RP2 над локальным кольцом R с нильпотентным ступени s главным максимальным идеалом J = (е). Допустим, что 2 Е R*, |#*: R*21 = 2 и элементы е и ке в кольце R автоморфны для обратимого неквадрата к.

Тогда число N соответственно для четного или нечетного числа s равно s (5s2 + 15s + 28))/12 или (5s3 + 15s2 + 31s — 3)/12 при R*Ci (l + R2) R*2, а при 1 + R*2 С R*2 соответственно равно (s (5s2 + 21s + 28))/12 или (5s3 + 21s2 + 31s + 3)/12.

Эта теорема опубликована автором в [28]- приводимая там же теорема 3.1.1 доказана в нераздельном соавторстве с В. М. Левчуком. Названные результаты существенно используют полученное в главе 2 решение задачи (В) для определенных случаев основного кольца.

Основная в § 2.1 теорема 2.1.2 устанавливает диагонализируе-мость симметричных форм и их матриц над локальным кольцом R главных идеалов с обратимым элементом 2 (такие кольца рассматриваются в примерах 2.1.8, 2.1.9 и лемме 2.1.3). Она показывает конгруэнтную приводимость симметричных матриц над R к специальному диагональному виду — каноническому (определение 2.1.1) — и выявляет некоторые инварианты. В частности, при R*2 = R* канонический вид единственен и, если максимальный идеал в R ниль-потентен ступени s, то число классов как конгруэнтных так и эквизамечание 2.1.10).

Вопрос построения «нормального» диагонального вида матриц по конгруэнтности при |R*: R*21 > 1 оказывается более сложным. Здесь существенно используется лемма 2.2.3 о матрице, преобразующей конгруэнтно друг в друга канонические диагональные матрицы над локальным кольцом главных идеалов. С ее помощью выявляется строение ортогональной группы квадратичной формы (теорема 2.2.1). С другой стороны, при |R*: R*2 = 2 и наличии обратимого неквадрата к в 1 + R2 выявляется нормальный вид diag (te?V., 6 т? т,?т,-. ,£т, 0,., 0), (0.1) где каждый элемент Sj, • • •, 5 т равен 1 или к. В § 2.3 доказана следствие 2.1.5 и.

Теорема 2.3.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем R*: R*2 = 2, 1 + J С R*2 и R* П (1 + R2) .

Далее. Закон инерции вещественных квадратичных форм удается распространить на случай локальных колец коэффициентов, в которых обратимые квадраты образуют полугруппу по сложению. Более точно, для квадратичных форм над такими кольцами в § 2.4 выявляется следующий «нормальный» вид.

-(х2 +. + <) + «+1 +. + ои + • • • + [(:СГ,±+Г, 1 + 1 Н ^ЖГ1±+Г<7,+5(,)+ (0.2) где q > 0, 0 < i < • • • < iq, el4 ф 0, целые положительные числа гу и целые sj такие, что гН——-Ь rq < гс, 0 < sj < • • •, 0 < sq < rq.

Теорема 2.4.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем |Я*: R*2 = 2, 1 + R*2 С R*2 и 1 + J С R*2. Тогда всякая ненулевая квадратичная форма над R приводится к диагональному виду (0.2) обратимым R— линейным преобразованием неизвестных, причем показатели, iq и целые числа — • ¦, rq, si, • • •, sq не зависят от способа приведения.

Именно, теоремы 2.3.1 и 2.4.1 о нормальной форме лежат в основе доказательства в главе 3 теорем 3.1.1 и 3.2.1 (см. выше) о перечислении классов проективно конгруэнтных и проективно эквивалентных квадрик. Условие 1 + J С R*2 в теоремах 2.3.1 и 2.4.1 не является жестким, как показывает предложение 2.1.7, и выполняется, например, когда «7 — ниль-идеал.

Полученные результаты позволяют классифицировать недиаго-нализируемые квадратичные формы и перечислять квадрики также над локальным кольцом с конечно порожденным, но не главным максимальным идеалом.

Пусть R — фактор-кольцо кольца формальных степенных рядов от х, у над конечным полем нечетного порядка по идеалу < х2, ху, у2 >, порожденному всеми однородными многочленами второй степени. Тогда R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J =< х, у >. Основной в § 3.3 является.

Теорема 3.3.1. Всякая квадрика проективной плоскости RP2 либо диагонализируема, либо имеет ранг О, либо лежит в одном из 2 классов проективно эквивалентных недиагонализируемых квадрик ранга 1. Всякая диагонализируемая квадрика проективно эквивалентна, в точности, одной из 20 (явных) квадрик, у которых либо ранг < 3, либо матрица единична.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]— [29]. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательских семинарах Красноярского госуниверситета (г. Красноярск) и Института математики СО РАН (г. Новосибирск). Они были представлены на VI — X конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 1999 — 2003 гг.), на 2-ом Всесибирском конгрессе женщин — математиков (Красноярск, 2002 г.) и на международных конференциях: «Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках» (Чебоксары, 2001 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002 г.), «Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra» (Novosibirsk — Erlogol, 2003).

Автор благодарен своим научным руководителям, к.ф.-м.н., профессору К. Я. Гиберту за помощь при постановке задач и в подготовке первых работ, и д.ф.-м.н., профессору В. М. Левчуку, существенно содействовавшему разрабатыванию темы.

Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и факультета математики и информатики Красноярского госуниверситета за хорошие условия для работы над диссертацией во время приездов в КрасГУ в 2002 — 2003 гг. Частично работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 03−01−905.

Наиболее употребительные обозначения.

В работе зафиксированы следующие обозначения:

R — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей;

GLn® — общая линейная группа степени п над кольцом R;

PGLn® — проективная общая линейная группа степени п над кольцом R;

Ат — матрица, транспонированная к матрице Аdiag (a, d2,., ап) — диагональная матрица с элементами ai, а2,. •, ап на главной диагонали;

R* и R*2 = {а2 | a G R*} — мультипликативная группа обратимых элементов кольца R и, соответственно, ее подгруппа квадратов;

R*: R*21 — индекс подгруппы R*2 в группе Л*;

RPn-i — проективное пространство (при п = 3 также проективная плоскость) над кольцом R (см. § 1.1).

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука. 1969. 284 с.

2. Benz W. Vorlesungen uber Geometrie der Algebren. BerlinHeidelberg New Iork. Springer — Verlag. 1973. 365 p.

3. Brown W. Matrices over commutative rings. New Iork. 1993. 282p.

4. Бурбаки H. Алгебра. Модули, кольца, формы. М: Наука, 1966. 556 с.

5. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука. 1979. 624 с.

6. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд. Казанского ун-та. 1985. 263 с.

7. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, Новосибирск, Наука. 1977. 284 с. English transl.: Transl. Math. Monographs, vol. 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984; 2nd ed. In 1989.

8. Egorychev G.P. and Levchuk V.M. Enumeration in the Chevalley algebras. // SIGSAM Bulletin, Vol. 35, no. 2, Issue 136, June, 2001, p. 20−34.

9. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М: Мир, 1982. 440 с.

10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: Том 1, 2. Пер. с англ. М: Мир, 1988. 822 с.

11. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М: Наука. 1970. 400с.

12. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М: Наука. 1980. 464 с.

13. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М: Наука. 1986. 176 с.

14. ОМира О. Лекции о линейных группах. В сборнике переводов «Автоморфизмы классических групп». М: Мир. 1976. с. 57−167.

15. Ojanguren M., Sridharan R. A note on the fundamental theorem of projective geometry. // Comm. Math. Helv. 1969. 44. no. 3. p. 310 315.

16. Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen, Acta Math. V. 68. 1937. 145−254.

17. Rodman L. Matrix functions. In: Handbook of Algebra, Ed. by M. Hazewinkel, Elsevier, 1996, 117−154.

18. Розепфельд Б.A. // История неевклидовой геометрии. М: Наука. 1976. 408 с.

19. Уфнаровский В. А. Комбинаторные асимптотические методы в алгебре. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 57. 1990. с. 5−178.

20. Холл М. Комбинаторика. М: Мир. 1970. 424 с. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

21. Старикова О. А. О классификации квадрик проективной плоскости Fp (e)P2. // Материалы VI науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 1999. с. 50−52.

22. Старикова О. А. Квадрики проективной плоскости Fp (en~l)P2. // Материалы VII науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2000. с. 13−16.

23. Старикова О. А. Взаимное расположение квадрик и прямых на проективной плоскости Fp (e)P2. // Материалы VIII науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Унт. 2001. с. 16−18.

24. Старикова О. А. Проективная плоскость Fp2, l]P2. // Материалы IX науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2002. с. 53−54.

25. Старикова О. А. Квадрики проективной плоскости Fq (en~l)P2. // В сбор, статей «II Всесибирский конгресс женщин-математиков». Красноярск: КГУ. 2002. с. 138−143.

26. Старикова О. А. О классификации квадрик проективной плоскости Fp2,1]Р2- // Тезисы докл. международной конф. «Алгебра и ее приложения». Красноярск: КГУ. 2002. с. 113−114.

27. Старикова О. А. Квадрики и квадратичные формы модулей. // Материалы X науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2003. с. 91−92.

28. Старикова О. А. Перечисление квадрик проективных плоскостей и пространств над локальными кольцами главных идеалов. // Алгебра и теория моделей, 4-й выпуск. Новосибирск: НГТУ. 2003. с. 110−115.

29. Старикова О. А. Перечисление квадрик над локальным кольцом с конечно порожденным, но не главным максимальным идеалом. //В сбор. «22-я региональная научно-техническая конференция». Красноярск: КрасГАСА. 2004. с. 14−15.

30. Левчук В. М., Старикова О. А. Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами // (в печати).