Гомологические свойства некоторых функциональных, групповых и операторных алгебр

В диссертации решены некоторые задачи из топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые алгебры с использованием методов гомологической алгебры. Это задачи о свойствах операторных алгебр, связанные с проективностью пространственного модуля, задача об инъ-ективности предуального бимодуля для алгебр мер на дискретных группах и задачи о гомологических размерностях алгебр непрерывных функций на компактах и тензорных произведений этих алгебр, рассматриваемых в одном случае как общие банаховы алгебры, а в другом в рамках теории строгих банаховых алгебр.

Несколько слов об истории алгебраической стороны вопроса. Одна из самых ранних теорем гомологической алгебры принадлежит Д. Гильберту. Это его знаменитая теорема о сизигиях (см. (57, 14]). На современном языке эта теорема утверждает, что глобальная размерность алгебры С[г, г2,., гп] многочленов от нескольких комплексных переменных равна числу переменных. Очень важные гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы ко-гомологий были определены Г. Хохшильдом [58, 59] в 1945 году и затем применены к радикальным расширениям алгебр. А в основополагающих монографиях А. Картана, С. Эйленберга р] и С. Ма-клейна [14] была предложена техника производных функторов и резольвент, которая позволяет при вычислениях групп когомологий освобождаться от стандартного комплекса Хохшильда.

Появление топологической гомологии было стимулировано вне-гомологическими приложениями. Например, необходимость изучения расширений банаховых алгебр была замечена ещё в 1954 году Н. Данфордом при изучении спектральных операторов [16]. В 1962 году Г. Камовиц [66], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Нп (А, Х), п = 0,1,., банаховой алгебры, А с коэффициентами в банаховом Л-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений, А с помощью X и элементами Н2(А, X). Впоследствии группы когомологий банаховых алгебр применялись к задачам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [51, 60, 72] и операторных [64, 65] алгебр, с аменабельными локально компактными группами |31].

В 1970 году А. Я. Хелемским был предложен способ перенести понятия производных функторов и резольвент на случай банаховых алгебр и модулей [24]. Оказалось, что это возможно осуществить при помощи специального относительного варианта гомологической алгебры, в основе которого лежит понятие относительно проективного банахова модуля. Как и в теории ассоциативных алгебр этот подход предоставил возможность подойти к изучению когомологий с более широкой точки зрения и, кроме того, открыл новые полезные объекты для изучения. С этого времени гомологические методы стали активно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они дали возможность получить информацию о существовании аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры [15, 17], получить гомологические критерии для топологических свойств, таких как паракомпактность [25] и метризуемость [19,13], доказать сильные теоремы о структурных свойствах алгебр фон Нойманна и других самосопряженных [30, 54, 55] и несамосопряжённых операторных алгебр [1, 2].

В настоящее время известно несколько гомологических теорий топологических алгебр. Каждая со своими объектами для изучения и задачами, различным запасом алгебр и модулей. Гомологическая теория банаховых алгебр (см. [24, 28, 29, 21]) — самая ранняя из них. Другие, параллельные теории — это, например, гомологическая теория алгебр Фреше и гомологические теории полных локально выпуклых алгебр (см. [84, 28, 21, 70]). Из более поздних заслуживает внимания гомологическая теория стереотипных локально выпуклых алгебр [34]. И, самые важные из новых теорий — две теории квантованных банаховых алгебр, отвечающие операторно-проективному и хаагерупову тензорным произведениям соответственно (см. ?56]).

Этот список можно продолжить — мы назовём ещё только гомологическую теорию строгих банаховых алгебр, используемую и в данной работе, которая была построена в [13,12], в которой по сравнению с «классической» гомологической теорией банаховых алгебр проективное тензорное произведение ® во всех определениях и формулировках основных теорем заменено на слабое тензорное произведение®-.

Один из естественных вопросов гомологической теории банаховых операторных алгебр, рассматриваемый в данной диссертации, — когда такие алгебры пространственно проективны? Напомним, что операторная алгебра, А на банаховом пространстве Е называется пространственно проективной, если левый банахов Л-модуль Е с естественным внешним умножением, а • х = а (х) для всех, а € А и х € Е проективен. Модуль Е называется пространственным.

Ш. И. Калиман и Ю. В. Селиванов [5] установили в 1974 году пространственную проективность операторных алгебр, содержащих все конечномерные ограниченные операторы на банаховом пространстве Е. Например, алгебры В (Е), К,{Е) и Л/" (£), всех ограниченных, всех компактных и, соответственно, всех ядерных операторов на банаховом пространстве Е пространственно проективны. Пространственная проективность операторной алгебры, А на банаховом пространстве Е позволила им доказать тривиальность групп когомологий Хохшильда Нп (А, В (Е)) для всех п > 0. Более «экономное» достаточное условие пространственной проективности операторной алгебры — наличие по крайней мере одного столбца одномерных операторов в унитализации этой алгебры — принадлежит Ю. О. Головину (ср. [2], доказательство предложения 1, и [29], доказательство теоремы 7.1.27). Напомним, что столбцом одномерных операторов называется множество операторов вида /(-)х, где / — фиксированный ненулевой непрерывный линейный функционал на банаховом пространстве Е и х пробегает всё пространство Е. Например, алгебра верхиетреугольных матриц любого конечного порядка имеет только один столбец одномерных операторов.

Пусть операторная алгебра содержит столбец одномерных операторов. Тогда, как нетрудно видеть, пространственный модуль не может быть разложен в прямую сумму двух замкнутых подмодулей (в этом случае алгебра называется неразложимой). Естественно возникает вопрос: всегда ли пространственно проективная неразложимая операторная алгебра на гильбертовом пространстве содержит столбец одномерных операторов?

Напомним, что для важного класса несамосопряжённых операторных алгебр — для С5Х-алгебр, и, в частности, для гнездовых алгебр на гильбертовом пространстве, Головин дал положительный ответ ([2], теорема 1 и предложение 1). Для неразложимых пространственно проективных С*-алгебр наличие столбца одномерных операторов следует из описания всех проективных гильбертовых модулей над С*-алгебрами, данного А. Я. Хелемским ([55]). Более того, нетрудно видеть, что любая С-алгебра со столбцом одномерных операторов содержит и все компактные операторы.

Операторная алгебра Л на банаховом пространстве называется пространственно свободной, если пространственный модуль Е свободен. Напомним, что свободный модуль — это «канонический пример» проективного модуля: любой проективный модуль представляется как фактормодуль свободного, причём ядро канонической проекции является дополняемым подпространством.

Заметим, что существуют неразложимые пространственно свободные операторные алгебры, не содержащие столбца одномерных операторов, например, алгебра операторов в двумерном пространстве, имеющих в некотором базисе матрицы вида ^^. Нетрудно видеть, что данная алгебра не является ни самосопряжённой, ни рефлексивной (операторная алгебра называется рефлексивной, если она совпадает с алгеброй всех ограниченных операторов, имеющих заданные замкнутые инвариантные подпространства, ср. раздел 0.2). Как хорошо известно, самосопряжённые операторные алгебры на гильбертовом пространстве полупросты (см. [ГЗ, теорема 4.1.19]), а С.

Тем не менее долгое время не было известно примеров пространственно проективных рефлексивных и/или полупростых неразложимых операторных алгебр на гильбертовом пространстве, которые не содержат столбца одномерных операторов. Пример такой алгебры (так называемая алгебра Соболева) приводится в данной диссертации, причём эта алгебра оказывается одновременно и полупростой, и рефлексивной. Также в диссертации доказываются некоторые общие свойства неразложимых операторных алгебр, связанные с пространственной проективностью.

Однако открытым остается вопрос о том, будет ли любая пространственно проективная топологически неприводимая операторная алгебра содержать столбец одномерных операторов? Как нетрудно доказать (см. главу 1 предложение 9), операторная алгебра, содержащая столбец одномерных операторов, имеет скалярный коммутант. И обратно, если операторная алгебра в гильбертовом пространстве пространственно проективна и имеет скалярный коммутант, то она «автоматически» содержит столбец одномерных операторов (там же, предложение И). Заметим, что само существование топологически неприводимой операторной алгебры в гильбертовом пространстве с нескалярным коммутантом — открытая проблема. Действительно, слабо операторное замыкание предполагаемой алгебры имеет нескалярный коммутант и будет служить контрпримером к так называемой проблеме транзитивной алгебры (см., напр., [37]): существуют ли топологически неприводимые алгебры, замкнутые в слабой операторной топологии, отличные от В (Н)1 И обратно, воображаемый оператор на гильбертовом пространстве, не имеющий замкнутых инвариантных подпространств, порождает топологически неприводимую алгебру с нескалярным коммутантом, поскольку сам этот оператор принадлежит коммутанту.

Следующая задача, рассмотренная в диссертации, связана с явлением аменабельности, возникшем в теории локально компактных топологических групп и затем обобщённым при помощи гомологической теории банаховых алгебр. В 1972 году Б. Е. Джонсон ввел понятие аменабельной банаховой алгебры ([61]). Это название оправдано благодаря нижеприведённой теореме Джонсона — Рингроуза. Напомним сначала определения.

Пусть, А — банахова алгебра, X — банахов Л-бимодуль. Дифференцированием алгебры, А с коэффициентами в X называется линейный непрерывный оператор Б: А —"¦ X, удовлетворяющий тождеству Лейбница/)(аЬ) = В (а)-Ь+а-0(Ь) для всех а, Ь е А. Например, любое отображение вида/): а н-" х-а—а-х, где х е X — произвольный фиксированный элемент, является дифференцированием. Такое дифференцирование называется внутренним. Дуальным к X банаховым бимодулем называется сопряжённое пространство^* с внешними умножениями, определяемыми формулами (а •/, х) = (/:?• а), (/•а, х) = (/, а-х) для всех / € Х*, а е, А их € X. Наконец, банахова алгебра, А называется аменабельной, или, более подробно, аменабельной по Джонсону, если всякое дифференцирование И: А —> X с коэффициентами в любом дуальном банаховом Л-бимодуле X является внутренним. Если это верно для частного случая Л-бимодуля А*, то, А называется слабо аменабельной.

По теореме Джонсона и Рингроуза групповая алгебраЬ1^) аме-набельна тогда и только тогда, когда группа (2 аменабельна ([61]). Этот результат показывает, насколько естественно понятие аменабельности для банаховых алгебр. Условие аменабельности нередко оказывается содержательным и в других конкретных классах банаховых алгебр (см. [75]). Например, С*-алгебра аменабельна тогда и только тогда, когда она ядерна ([41, 52] и др.). Напомним, что для любой локально компактной группы (7 алгебра Ь1{й) слабо аменабельна [63], и любая С*-алгебра также слабо аменабельна [52]. В диссертации показано (предложение 12), что алгебра Соболева из главы 1 не является слабо аменабельной.

Многие авторы (см., напр., [74, 76, 42, 44] и др.) исследовали аменабельность так называемых дуальных банаховых алгебр. Напомним, что банахова алгебра, А называется дуальной, если существует замкнутый по норме подбимодуль Е дуального Л-бимодуля.

Л*, такой, что Л-бимодуль Л канонически изоморфен Е*. Бимодуль Е называется обычно предуальным бимодулем и обозначается Л*. Самые известные примеры дуальных банаховых алгебр — это алгебры фон Нойманна и алгебра мер М (С?) на локально компактной группе <3.

Известно, что алгебра фон Нойманна аменабельна по Джонсону тогда и только тогда, когда она субоднородна ([86]), т. е. она имеет вид и"(Хи1ч) ® МП1(С)) ф. е (Ь°°(Хк, цк) О МПк (С)), где Мп (С) — алгебра матриц размера п х п.

Алгебра мер М ((3) на локально компактной группе (3 аменабельна по Джонсону тогда и только тогда, когда группа (3 дискретна и аменабельна ([44]).

Таким образом, дуальных банаховых алгебр, аменабельных по Джонсону, очень мало. Для них предпочтительнее использовать более мягкое понятие аменабельности, учитывающее их дуальность как бимодулей над собой, — так называемую аменабельность по Копну. Впервые этот вариант аменабельности для алгебр фон Нойманна введён в [62] (а сам термин «аменабельность по Конну» появился позднее [30]). А случай общих дуальных банаховых алгебр рассматривался в [42, 74].

Напомним определение. Пусть, А — дуальная банахова алгебра, X — дуальный Л-бимодуль. Бимодуль X называется нормальным, если операции внешнего умножения в нём раздельно слабо* непрерывны.

Алгебра, А называется аменабельной по Конну ([74]), если любое слабо* непрерывное дифференцирование И: А —> X из алгебры, А в любой нормальный Л-бимодуль X является внутренним. Известна теорема о том, что алгебра фон Нойманна гиперконечна, то есть совпадает со слабым операторным замыканием некоторой возрастающей направленности своих конечномерных *-подалгебр, тогда и только тогда, когда она аменабельна по Конну (|64, 65, 62,41, 86,39,.

40, 49]). Недавно доказано [76], что алгебра мер М ((?) аменабельна по Конну тогда и только тогда, когда группа (? аменабельна.

Для аменабельности по Конну алгебры фон Нойманна известен критерий на языке гомологии банаховых алгебр. А именно, в [30] А. Я. Хелемским доказано, что алгебра фон Нойманна Л аменабельна по Конну тогда и только тогда, когда предуальный бимодуль Л* инъективен. Для произвольных дуальных банаховых алгебр не было известно, верен ли такой критерий (см., напр., [75, задача 24, р. 225]). Чтобы сформулировать определение инъективного бимоду-ля, мы сначала напомним определение допустимого вложения би-модулей. Морфизм Л-бимодулей </>: X —> У называется допустимым вложением, если существует непрерывный линейный оператор 5: У —* X, левый обратный к т. е. такой, что вор = 1х. Наконец, банахов Л-бимодуль 3 называется итективным (см. [28]), если любое допустимое вложение : 3 X в любой банахов Л-бимодуль X имеет левый обратный морфизм бимодулей.

В главе 2 диссертации показано, что отмеченный выше критерий Хелемского аменабельности алгебр фон Нойманна по Конну не переносится на алгебры мер М©. Более того, доказано (теорема6), что для любой бесконечной дискретной группы (3, например, уже для (7 = Z, предуальный бимодуль со ((7) алгебры мер М (С?) (= ^{й) в случае дискретной группы) не инъективен, хотя (см. [74]) алгебра аменабельна по Конну в случае аменабельной (7. Этот результат был обобщён X. Г. Дэйлсом и М. Е. Поляковым [15], которые доказали, что для любой бесконечной локально компактной группы (3 левый Ь1(С)-модуль Со ((2) не является инъективным. Из этого легко следует, что для любой бесконечной локально компактной группы (3 модуль Со© не является также левым инъективным над алгеброй М ((7). А в дальнейшем, применяя метод Дэйлса и Полякова, М. Доус исследовал инъективностьсо ((7) как левого модуля над весовой свёрточной алгеброй 11{С, т) полугруппы (2. Им доказана, например, такая теорема (см. [47, теорема 5.20]): если группа 0 множество {д 6 (2: Цд)^"?-1) < е} бесконечно, то ^(С^г/^-бимодуль со ((3) не является инъективным.

Кроме того, для дискретной аменабельной группы (3 в диссертации указана (предложение 15) простая формула для нормальной виртуальной диагонали. Эта формула непосредственно влечёт сильную аменабельность по Конну (определение см. там же) алгебры ^(С?) для аменабельной дискретной группы (? (см. [76, следствие 5.4]). Интересно отметить, что в случае (2 = Z эта диагональ не является нормальным элементом некоторого канонического би-модуля над алгеброй ¿-х (2) (предложение 16).

Теперь речь пойдёт о круге задач, связанных с понятиями глобальной гомологической размерности и гомологической биразмерно-сти. По теореме о глобальной размерности А. Я. Хелемского ([27]- см. также [71]), любая коммутативная банахова алгебра Л с бесконечным спектром имеет глобальную размерность с^ А строго большую единицы. Эта теорема не имеет аналогов ни для ассоциативных алгебр, ни для локально выпуклых алгебр.

Таким образом, наименьшее возможное значение глобальной размерности бесконечномерной, как линейное пространство, коммутативной полупростой банаховой алгебры равно двум. До сих пор единственными известными примерами таких алгебр были прямые суммы.

А = А0 © А~1 ф А2~ ф. ф А^, где Ах (г = 0,1,., п) — бипроективные коммутативные полупростые банаховы алгебры, а В+ обозначает унитализацию банаховой алгебры В. В диссертации построен новый класс примеров коммутативных полупростых банаховых алгебр глобальной размерности 2.

Пусть X — топологическое пространство. Напомним, что производное множество подмножестваТ С X — это множество Т' всех его предельных точек (см., напр., [33, раздел 1.3[). Пусть — метризуе-мое компактное топологическое пространство, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто, и пусть С (О,) — банахова алгебра всех непрерывных функций наО с равномерной нормой. При бесконечном О. в данной работе доказаны равенства с^С (П) = ёЬС (^) = 2. Такие алгебры С (Г2) являются коммутативными полупростыми банаховыми алгебрами глобальной размерности 2, отличными от алгебр, упомянутых выше. Действительно, пусть — спектр алгебры Д (г = 0,1,., п). Так как эти алгебры бипроективны, их спектры являются дискретными топологическими пространствами (см. [28, теорема 1У.5.26]). Следовательно, спектр£1 алгебры, А является дизъюнктной топологической суммой.

По и А? и ?1} и. и где 5+ обозначает одноточечную компактификацию локально компактного пространства 5. Таким образом, второе производное множество О," спектра алгебры, А пусто.

Напомним другие известные факты о гомологических размерностях алгебр С (О,) и некоторых других алгебр. Пусть [0,а-п] — отрезок трансфинитных чисел вплоть до п-го несчётного с порядковой топологией. Тогда в алгебре С[0, ип] имеется максимальный идеал, гомологическая размерность которого строго больше п — 1 (Хелем-ский [24] для п = 1, и затем Моран [68] для п ^ 2). Моран также указал в алгебре непрерывных функций на некотором отрезке из трансфинитных чисел максимальный идеал бесконечной гомологической размерности. Позднее А. Н. Кричевец |9] построил примеры алгебр С (С1), глобальная размерность с^С (П) и биразмерность. ёЬС (П) которых принимают любые чётные натуральные значения, и указал в этих алгебрах примеры максимальных идеалов, гомологические размерности которых принимают любые натуральные значения. Заслуживает внимания результат о том, что глобальная размерность с^С*[0, 1] и биразмерность <НэС*[0, 1] алгебр гладких функций на отрезке [0,1] равны бесконечности (Пугач [16] для к = 1 и Клещёв [7] для к > 1- см. также [81, следствие 2.7]).

С вопросом о множестве значений гомологических размерностей функциональных (т. е. полупростых и коммутативных) банаховых алгебр тесно связаны вопросы о размерностях тензорных произведений. Поведение гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения изучалось многими авторами (см. [18,3, 8,17,80, 21]). Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические размерности тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих размерностей сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца [8] было доказано, что если А,., Ап — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроек-тивной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то.

А, = + +.

Важно отметить, что подобные «формулы аддитивности» — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре.

Такого рода формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей в довольно большой общности были получены Ю. В. Селивановым (см. [80, теоремы 5.10, 5.8]):

Теорема. Если, А — унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, а В — произвольная унитальная банахова алгебра, то dgAB = dgA + dgBu? ЪА®В = АЪА + АЪВ..

Напомним, что в случае общих унитальных банаховых алгебр контрпримеров к этим равенствам не найдено. Так как в условиях теоремы dgA = с1ЬЛ = 2, то из этих формул следует, что множество значений гомологических размерностей функциональных банаховых алгебр содержит все чётные неотрицательные целые числа, а вместе с любым нечётным числом содержит и все натуральные числа, большие его. Таким образом множество всех значений указанных гомологических размерностей — это нуль, все натуральные числа, за исключением некоторого отрезка нечётных натуральных чисел, начиная с 1, и бесконечность. Однако заметим, что до сих пор не известно примеров функциональных банаховых алгебр какой-либо нечётной глобальной размерности или биразмерности..

Пусть О, — метризуемый компакт, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто. В диссертации доказано, что если В — произвольная унитальная банахова алгебра, то.

С (П)®В = <1?С{П) + (еВ и? ЪС{0)®В = дЬС (П) + 4ЬВ..

Таким образом, эти формулы справедливы для нового класса коммутативных банаховых алгебр..

Алгебры С (П) естественно и полезно рассматривать в рамках гомологической теории строгих банаховых алгебр [12,13], ввиду того, что слабое тензорное произведение банаховых пространств вида С (О) имеет простое описание. Строгие алгебры часто называют инъективными алгебрами, а слабое тензорное произведение — инъ-ективным тензорным произведением [85]. Нас интересует задача о множестве значений строгих гомологических размерностей алгебр С{П)..

Напомним, что банахова алгебра Л называется строгой [12] (или <Ё>-алгеброй), если существует такой непрерывный линейный оператор Я: А®А —> А, что Л (а <8> 6) = аЬ для любых а, Ь е А. Все алгебры С (О,) являются строгими ввиду хорошо известного изометрического изоморфизма ГротендикаС (П)<8>С ((}) = С (П х О). Все строгие алгебры среди С*-алгебр описаны в работе [35]..

Как известно, банаховы алгебры гладких функций Ск[а, 6] (к = = 1,2,.) также являются строгими [12]. Кроме того, банаховы алгебры Ер (1 ^ р ^ оо) р-суммируемых последовательностей с поточечным умножением являются строгими только прир = 1 или оо (см. [12]). Легко видеть, что замкнутая подалгебра строгой банаховой алгебры всегда является строгой, а если, А и В — две строгие банаховы алгебры, то слабое тензорное произведение, А <8> В является строгой банаховой алгеброй относительно умножения, корректно определяемого формулой &-1)(а2 <8>&-г) = «1² (^1,^2 € А, 61,62 € В)..

Перейдем к обсуждению строгих гомологических размерностей строгих банаховых алгебр. Прежде всего, для них неверна теорема о глобальной размерности. Действительно, по теореме Курмакаевой [13, теорема 1] для любого бесконечного метризуемого компакта М выполнены равенства dgg, С (М) = db®С (М) = 1. Здесь символы dg® и dt^, соответственно, обозначают глобальную размерность и биразмерность для строгих алгебр. Далее, строгие глобальная размерность и биразмерность в общем случае не аддитивны. Действительно, по теореме Гротендика, если М — метризуемый компакт, мы имеем изоморфизм.

С (М) <Е>. <8> С (М) = С (Мп), п где М" — топологическая декартова степень М. А между тем пространство Мп метризуемо и компактно, и следовательно, для любого бесконечного компакта М, по теореме Курмакаевой мы имеем равенства dg®C (Mn) = db®C (Mn) = l..

Известно также, что строгая глобальная размерность dg® Ск[0,1] и строгая биразмерность db® С* [О, 1] алгебр гладких функций на отрезке [0,1] бесконечны (В. Я. Томашпольский, неопубл.)..

Вопрос о том, какие значения, кроме 0 и 1, принимают строгие глобальные размерности и биразмерности алгебр С (О,) не был исследован. Нетрудно проверить, что упомянутые выше примеры Кричевца алгебр C (i2) чётных гомологических размерностей переносятся без существенных изменений на случай строгих размерностей (см. пример 1 главы 5). До сих пор не было известно примеров алгебр С (0) или других строгих функциональных банаховых алгебр нечётных строгих размерностей, начиная сЗ, или бесконечной строгой размерности..

В диссертации получены «формулы аддитивности» (теорема 13).

С (М X к") с (м) + п • с (к+) =.

11)* С (М х Я?) = <Н>4 С (М) + п ¦ с! Ь® С (К+) = [) = АЪ®С{М) + 2п, где К+ — одноточечная компактификация дискретного топологического пространства К мощности К ^ К+ — топологическая декартова степень К+, а М — метризуемый компакт. С учётом теоремы Курмакаевой, установлено, что при бесконечном М dgg, С{М х Кп+) = .