О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Многие задачи теории групп и ее приложений сводятся к проблеме нахождения множества порождающих элементов, удовлетворяющих ряду определенных свойств. Для конечных простых групп и близких к ним наибольший интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности, в которых особую роль играют инволюции.

Всякая конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряженных), порождающих конечную простую неабелеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая неабелева группа, исключая группу £/з (3) [1].

С другой стороны, были описаны группы, порожденные тремя инволюциями, порядки произведений каждых двух из которых невелики. Например, если эти порядки равны 2, 3, 5, то соответствующая группа является либо знакопеременной группой либо ее инволютивным расширением. Несколько лет назад было выяснено [2−7] какие конечные простые неабелевы группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Такие тройки инволюций, если они существуют в группе, называются далее мазу-ровскими тройками инволюций этой группы.

Я. Н. Нужин [2−6] доказал, что в некоторых линейных группах размерностей, не превосходящих 4, и в знакопеременных группах AQ, A>7:Ag мазу-ровских троек инволюций не существует, а в других знакопеременных группах и простых группах лиева типа указал явно по мазуровской тройке. Ясно, что если (г, к) — мазуровская тройка инволюций, причем Ц = ^'г, то тройки инволюций вида (?7, г, к) и {13,], к) также являются мазуровскими.

В работе [7] показано, что среди спорадических групп, только группы Матье Мц, М22, М23 и группа Маклафлина МсЬ не обладают мазуровскими тройками инволюций. Вместе с тем, несколько ранее отсутствие мазуровских троек инволюций в этих группах было показано в работе [8], положившей начало циклу работ по следующей задаче:

В1. (А. В. Тимофеенко). Указать алгоритмы поиска мазуровских троек инволюций в конечных простых группах и создать электронный атлас таких троек.

Если (г, к) — мазуровская тройка инволюций конечной простой группы С? и гЛ = 2, 1к — р, Ук = д, то определим С2© как множество всех таких упорядоченных пар чисел (р, д). Мы не различаем две мазуровские тройки инволюций, если соответствующие числа р и д равны.

Группу типа Коксетера со следующим графом Коксетера прир, д > 3, р. ". а с Ь.

Д. Докович предложил называть ТС{р^)~группой. Вопрос, какие конечные простые неабелевы группы являются ТС (р, д)-группами, равносилен вопросу о существовании мазуровских троек инволюций в конечных простых группах. В работе [8] поставлен более сильный вопрос.

В2. (Я. Н. Нужин). Какие конечные простые группы являютсяТС{р) д)-группами при фиксированныхр ид?

Особый интерес представляют частные случаи для малыхр и д, а именно, когда (р, д) = (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Известно, что линейная группа ?2(11) является ТС (5, 5)-группой и ТС{5, 6)-группой, а знакопеременная группа А5 — ТС{5, 5)-группой. Известно [9] также, что если (р, д) е {(3,3), (3,4), (3,6), (4,4)}, то ТС (р, д)-группа не проста. Построив (под)множество.

С2©, мы получаем ответ на вопрос о принадлежности группы (У классу.

ТС (р, д).

Если группа порождена тремя инволюциями г, к, то, очевидно, что произведение элементов Цккуг = 1, а если ц = то единице равно произведение пяти инволюций (г- — одна из них), порождающих эту группу. И тогда возникает следующий вопрос («Коуровская тетрадь», вопрос 14.69):

ВЗ. (Я. Н. Нужин). Для каэюдой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.

1) Произведение порождающих инволюций равно 1.

2) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Все порооюдающие инволюции сопряжены.

3) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Выполняются одновременно свойства 1) и 2).

4) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

С точки зрения строения порождающего множества конечной простой группы нужно выделить гипотезу Дж. Томпсона, занесенную В. Д. Мазуровым в «Коуровскую тетрадь» как вопрос 9.24.

В4. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая неабелева группа (7 представима в виде (? = СС, где С — некоторый класс сопряженных элементов группы.

Возможности вычислительных методов были эффективно использованы в данной работе при изучении парных силовских пересечений в конечных почти простых группах. Важным инструментом в такого рода исследованиях является параметр Пусть — конечная группа с силовскойр-подгруппой Р и условием ОДС) = 1, где 0Р (0) обозначает наибольшую нормальную^{-подгруппу} группы Р. Если X — {Р9 | Р9 П Р = 1, д Е С?}, то, очевидно, что подгруппа Р действует сопряжениями на множестве X. Через lp (G) обозначим число орбит при этом действии.

В5. (В. И. Зенков). Чему равно значение l2(Aut (G)) для групп Шевалле малых рангов над полем порядка не превосходящего 9 ?

Как заметил В. И. Зенков изучение групп над полями порядков не более 9 является базисным при рассмотрении общего случая. Он же предложил автору использовать компьютерные вычисления для решения данного вопроса.

Основные результаты. Основные результаты диссертации связаны с решением вопросов В1, В2, В5 и состоят в следующем: указан явный вид некоторых мазуровских троек инволюций спорадической группы Бэби Всоздан комбинаторный алгоритм поиска мазуровских троек инволюций в группе, позволяющий, с точностью до сопряженности, указать все такие тройки. Этот алгоритм реализован для последовательного и параллельного варианта компьютерных вычисленийполучено точное значение, либо нижняя оценка числа орбит при действии силовской 2-подгруппы сопряжениями на множестве силовских 2-подгрупп, тривиально пересекающихся с ней в группах автоморфизмов ряда групп лиева типа.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Диссертационная работа носит теоретический характер.

Методы исследования. Основным инструментом изучения групп в представляемой работе являются компьютерные вычисления с помощью системы компьютерной алгебры GAP [10]. Применяются методы параллельного программирования. Специфика инструментария позволяет конструктивно отвечать на поставленные вопросы, что весьма важно для приложений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по математике и механике, посвященной 125-летию ТГУ и 55-летию ММФ (Томск, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конI ференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов, 2004 г.), Межрегиональной школе-семинаре «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2004 и 2005 гг.), Международной алгебраической конференции по теории групп (Екатеринбург, 2005 г.), посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеври-на, Международном российско-китайском семинаре «Алгебра и логика» (Иркутск, 2007 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина (Нальчик, 2009 г.), Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010 г.), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009 и 2010 гг.), Красноярском алгебраическом семинаре.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [11−25], в том числе в статье [20], входящей в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы (43 наименования). Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе. Объем диссертации 83 страницы.

Заключение

.

Немногим более пятидесяти лет назад в исследовании по теории групп были использованы компьютеры. С этого момента, когда впервые была продемонстрирована мощь компьютеров в алгебраических исследованиях, компьютерная индустрия существенно поменяла свой облик и возможности. Наряду с метаморфозой в технологии, аналогичная параллельно имела место и в алгебре. Произошла разительная перемена в способах и методах исследования. С одной стороны компьютерные вычисления облегчают математическое открытие, а с другой стороны они могут являться неотъемлемой частью доказательства теорем.

И если вначале опыт применения вычислений в каждом случае был уникальным, то сейчас этот процесс «индустриализирован» компьютерными системами GAP и MAGMA. Их широкое использование как инструментов исследования алгебраических и комбинаторных структур в свою очередь поставило множество алгоритмических и иных вопросов. Успех этих систем основан частично на принятии алгебраистами новых «алгебраических» компьютерных языков, на которых они были написаны. Развитие этих языков происходит в том числе и под воздействием практических исследований.

Представляется несомненным, что в ближайшее время роль компьютерных вычислений в алгебраических исследованиях будет возрастать. Экстраполируя ситуацию по аналогии с развитием самой теории групп следует ожидать ярких проявлений такого роста и становления этого направления.

Компьютерные вычисления применяются чаще всего для проверки выполнения каких-либо условий на определенном множестве объектов группы. Природа этих условий и проверок определяется общими рассуждениями и не сводится к использованию нескольких стандартных операторов системы компьютерной алгебры. И здесь важно, что мы стремимся получить легко реализуемый в смысле создания программы и ее выполнения алгоритм. Тем не менее, в исследуемых в данной работе задачах применяются методы параллельного программирования и вычисления на суперкомпьютерах. Использовались суперкомпьютеры Института вычислительного моделирования (г.Красноярск), ИММ Уро РАН (г.Екатеринбург) и самый мощный в России кластер ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (г.Москва). Общее время расчетов могло достигать нескольких месяцев непрерывной работы сотен машинных процессоров.

Очень важным и интересным аспектом компьютерных доказательств является то, что после получения результата часто его можно проверить без использования компьютеров или переформулировать результат, обойдясь при его доказательстве, без вычислений или минимизируя их использование. В любом случае автор, в своих исследованиях придерживался того, что тексты программ и результаты вычислений, если их невозможно (по соображениям объема) разместить в тексте публикации, должны быть доступны через Интернет. Это позволяет достичь прозрачности доказательства и предоставляет научному сообществу не только результаты, но и методы, технологию их получения. В продолжение этого можно сказать, что приведенные в приложении тексты программ при необходимости легко могут быть интегрированы в систему GAP.