Пространственно-временной лучевой метод в случае сред Био

Распространение волн в пористых средах, насыщенных жидкостью, традиционно моделируемое уравнениями Био (1956 г.) [4, 5, 7, 8, 9, 10], представляет интерес для геофизики, акустики, медицины и других приложений. Такие среды часто встречаются в земной коре, а в некоторых случаях являются коллекторами нефти и газа.

Ранние работы по пористым средггм восходят к Р. Fillunger (1913 г.) [15] и К. Von Terzaghi (1923 г.) [27]. Эти две базовые работы являются основой для двух подходов, используемых до настоящего времени [12]. Р. Fillunger впервые рассмотрел модель «твердое тело-жидкость» с концепцией объемной фракции в сочетании с поверхностными коэффициентами пористости, а К. Von Terzaghi разработал одномерную теорию уплотнения грунта, наглядную математическую модель деформации флюидонасыщенного грунта под действием напряжений. В работе [27] К. Von Terzaghi ввел понятие эффективного напряжения и применил закон Дарси для описания поведения насыщающей жидкости. Трехмерное обобщение теории уплотнения разработал Био [6] в 1941 году, где были предложены основополагающие соотношения для двухфазной континуальной модели. Позже, в 1944 году Я. И. Френкель [16], впервые рассмотрел распространение акустических волн в двухфазной континуальной модели при изучении сейсмоэлектрического эффекта и предсказал существование продольной волны второго рода, далее известной как медленная волна Био или Р2 — волна. Вслед за этой работой уравнения распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера и К. Костена [51]. Л. Я. Косачевский [38] показал, что предложенные Био уравнения движения пористой среды опираются на тс же соотношения между напряжениями и деформациями, что и в работе Я. И. Френкеля, но отличаются большей общностью. Теория распространения звуковых волн в насыщенной пористой среде также изучалась П. П. Золотаревым [37], В. Н. Николаевским [45] и Х. А. Рахматулиным [48].

Современные математические описания распространения акустических волн в пористых средах включают классическую модель Био, часто переформулированную для конкретных областей, представляющих интерес [35]: модель для звукопоглощающих материалов [1], термодинамическая теория уравнения равновесия пористости [28]- линеаризованная версия теории уравнений пористых сред [11], [23]- модель Био-Столла [25] с приложениями к акустике морских осадочных пород и т. д. Всеобъемлющий до настоящего времени обзор существующих теорий можно найти в [35].

Описание распространения высокочастотных колебаний в пористых средах требует специальной математической техники. В настоящей работе используется пространственно-временной лучевой (ПВЛ) метод, развитый для пористых сред Био. Основными создателями этого метода в применении к з’пругим средам являются В. М. Бабич [32], С. М. Рытов. М. Л. Левин [41] и А. Ф. Филиппов. Достоинство лучевого метода состоит в том, что он позволяет в высокочастотном приближении разложить волновое поле в неоднородной пористой среде на продольные Рь Р2 и поперечную 5 волны.

Лучевое поле может иметь особенности, которые характеризуются тем, что якобиан перехода от декартовых координат к лучевым обращается в ноль. Формулы лучевого метода тогда теряют смысл. В таком случае коротковолновую асимптотику волнового поля можно построить с помощью метода канонического оператора В. П. Маслова 1 [42, 43, 34, 3]. Существуют и другие приемы преодоления этой трудности (см. [47]).

В диссертации строится ПВЛ разложение решений системы уравнений среды Био, причем результаты излагаются традиционно, как принято в работах по математической теории дифракции ([50, 13, 40]), не формулируя их «на уровне теорем» .

Помимо ПВЛ метода для сред Био, в работе рассматривается задача Лэмба [19] для пористого двумерного полупространства. Данная проблема исследовалась в работах Dey h De [14], Phillippacoupou-los [22], Сеймова и др. [49], Valiappan et al. [26]. Решения в случае аксиальной симметрии обсуждались в работах Halpern h Christiano [18], Л. А. Молотковым [20, 21]. В нестационарном случае задача также исследовалась Л. А. Молотковым в [44], где автором были установлены формулы для компонент смещений в интегральной форме. В. Герасик и М. Стастна в [17] в стационарном случае получили решение задачи в виде интегралов, асимптотика которых, также как и в [44], впоследствии находилась при помощи метода перевала.

В соответствии с вышеизложенным определим Цель работы.

1. Построение лучевых разложений для объемных и поверхностных волн.

2. Построение и исследование явного решения нестационарной задачи о возбуждении волн точечным источником на проницаемой (поры открыты) границе полуплоскости, заполненной однородной изотропной флюидонасыщенной пористой средой.

Методы исследований. Для описания распространения волн в пористой среде Био используется пространственно-временной лучевой (ПВЛ) метод. Для решения задачи возбуждения волн поверхностным источником применяется метод Смирнова-Соболсва-Петрашеня. Научная новизна. Основные результаты диссертации являются 'Автор благодарен профессору С. Ю. Доброхотову за указание этой возможности. новыми и состоят в следующем'.

1. Построены ПВЛ разложения для модулированных как по частоте, так и по амплитуде объемных волн в трехмерной безграничной анизотропной неоднородной среде Био. Показано, что в случае изотропной среды Био для поперечных волн имеет место аналог закона Рытова.

2. Получены аналитические1 выражения главных членов ПВЛ разложения для амплитуды аналога поверхностных волн Рэлея, распространяющихся вдоль свободной криволинейной поверхности анизотропной неоднородной среды Био в случае проницаемой границы. Найдено выражение для фазы Берри.

3. Построено и исследовано решение нестационарной задачи о действии сосредоточенной силы на поверхность однородной изотропной среды Био в случае открытых пор на границе.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для вычисления волновых полей в реальных пористых средах. Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции в ПОМИ им. В А. Стеклова РАН, на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ, в Институте Проблем Машиноведения РАН. на семинаре лаборатории им. П. Л. Чебышева СПбГУ. в Акустическом Институте им. акад. H.H. Андреева (Москва), в Politecnico di Torino (Италия) и на трех международных конференциях: «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2009), «Day& on Diffraction». (Санкт-Петербург, 2009. 2011, 2012), «Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах» (Москва, 2012).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, 3 — в тезисах докладов.

1. Заворохин Г. Л. О лучевом методе для сред Био // Зап. научи. сем. ПОМИ, 2008, 354, 112−131.

2. Заворохин Г. Л. О распространении воли Рэлея вдоль границы неоднородной анизотропной пористой среды Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2010, 379, 24−46.

3. Заворохин Г. Л. Волновое поле от точечного источника, действующего на открытой границе полуплоскости Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2011, 393, 101−110.

4. Заворохин Г. Л. О лучевом методе для сред Био // Тезисы докладов конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 2009.

5. Zavorokhin G.L. On the Rayleigh wave propagation along the boundary of an inhomogeneous anisotropic porous Biot medium // Book of abstracts of the conference «Days on Diffraction», Saint-Petersburg, 2009.

6. Zavorokhin G.L. Wave field from a point source on the boundary of half plane Biot // Book of abstracts of the conference «Days on Diffraction», Saint-Petersburg, 2011.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 70 страниц с 3 рисунками.

Список литературы

содержит 51 наименование.

1. J.F. Allard, Sound propagation in porous media (modelling sound absorption materials), Chapman and Hall, London, 1993.

2. V.M. Babich, N.Ya. Kirpichnikova, A new approach to the problem of the Rayleigh wave propagation along the boundary of a nonhomogeneous elastic body, Wave Motion, 40, 2004, 209 223.

3. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov, T.Ya. Tudorovskiy, Operator separation of variables for adiabatic. problems in quantum and wave mechanics. J. Engin. Math., 2006.

4. M.A. Biot, Theory of elastic viaves in fluid-saturated porous solid. I. Low frequency range, J. Acoust. Soc. Am., 28, 1956, 168 178.

5. M.A. Biot, Theory of elastic waves in fluid-saturated porous solid. II. High frequency range, J. Acoust. Soc. Am., 28, 1956, 179 191.

6. M.A. Biot, General theory of three-dimensional consolidation, J. Appl. Phys., 12, 1941, 155 — 164.

7. M.A. Biot, Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid, J. App. Phys., 26, № 2, 1955, 182 185.

8. M.A. Biot, D.G. Willis, The elastic coefficients in the theory of consolidation, J. Appl. Mech., 24, 1957, 594 601.

9. M.A. Biot. Generalized theory of acoustic propagation on porous dissipa-tive media, J. Acoust. Soc. Am., 34, 1962, 1254 1264.

10. M.A. Biot, Mechanics of deformation and acoustic, propagation in porous media, J. App. Phys., 33, № 4, 1962, 1482 1498.

11. R. Dc Boer, Trends in continuum mechanics of porous media, Springer, Dordrecht, 2005.

12. R. De Boer, Theory of porous media. Highlights in historical development and current, state, Springer, Berlin, 2000.

13. V. Cerveny, Seismic ray theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, MA, 2001.

14. S. Dey, R.K. Dc, Stresses in fluid saturated porous half-space due to normal and tangential loadings, Indian J. Pure Appl. Math., 15, 1984, 1375 1397.

15. P. Fillunger, Der Auftrieb von Talsperren. Teil I-11I, Osterr. Wochenschrift. fur den ofFentlicen Baudients, 7, 1913, 510 — 532.

16. Y. Frenkel, On the theory of seismic and seismoelectric ph, e. nom, ena in moist soil, J. Phys., 8, 1944, 230 — 241.

17. V. Gerasik, M. Stastna, Poroelastic acoustic wave trains excited by harmonic line tractions, Proc. Roy. Soc. Lond. A, 464, 2008, 491 511.

18. M. Halpern, P. Christiano, Response of poroelastic half-space to steady-state harmonic surface tractions, Int. J. Numer. Anal. Geomech., 10, 1986, 609 632.

19. H. Lamb, On the propagation of tremors over the suiface of an elastic solid, Phil. Tran. Roy. Soc. A., 203, 1904, 1 42.

20. L.A. Molotkov, A sources acting on the free boundary of a porous Biot medium and reflection of this boundary, J. Math. Sci. A., Ill, 2002a, 3750 3762.

21. L.A. Molotkov, A propagation of normal waves in an isolated porous fluid-saturated, Biot layer, J. Math. Sci. A., 108, 2002b, 758 771.

22. A.J. Philippacoupoulos, Lamb’s problem for fluid saturated porous media, Bull. Seismol. Soc. Am., 78, 1988, 908 923.

23. M. Schanz and S. Diebels, A comparative study of biots theory and the linear theory of porous media for wave propagation problems, Acta Mech., 161, 2003, 213 235.

24. V.I. Smirnoff, S.L. Soboleff, Sur une m, et, hode nouvelle dans le probleme plan des vibrations elastiques, Тр. Сейсм. инст., 20, Л., АН СССР, 1932.

25. R.D. Stoll, Acoustic, waves in saturated sediments. In: Physics of Sound in Marine Sediments. Acoustics and ultrasonics, Plenum, 1974, 19 — 39.

26. S. Valiappan, J. Tabatabaie, C. S. Zhao, Analytical solution for two-dimensional dynamic consolidation in frequensy domain, Int. J. Numer. Anal. Geomech., 19, 1995, 663 — 682.

27. K. Von Terzaghi, Die berechnung der durchlassigkeit des tones aus de. m verlauf der hydromechanischen spannungserscheinungen, Sitzungsber. Akad.Wissensch. Math.-Nat.urwiss. Klassc. 132, 1923, 125 — 128.

28. K. Wilmanski, Porous media at finite, strains. The new model with the balance equation for porosity, Arch. Mech., 48, 1996, 591 — 628.

29. G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley & Sons, New-York, 1974.

30. A.C. Алексеев, B.M. Бабич, Б. Я. Гельчинский, Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов, Вопросы динам, теории распростр. сейсм. волн, 5, ЛГУ. 1961, 3 24.

31. В. М. Бабич, B.C. Булдырсв, И. А. Молотков, Пространственно-времепной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны, ЛГУ, 1985.

32. В. М. Бабич, О прост, рапствелто-временном лучевом, методе в теории упругих волн. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, № 2, 1979, 3 13.

33. В. М. Бабич, С. К. Кочугуев, О методе В.И. Смирнова-С.Л. Соболева явного решения задач математической теории дифракции, Препринты ПОМИ, 1/2002, 1 35.

34. Й. Брюнинг, В. В. Грушин, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тодоровский, Обобщенное преобразование Фолди-Вутхайзена и псевдодифференциальные операторы, ТМФ, 167, № 2, 2011.

35. Н. С. Городетская, Волны в пористо-упругих, насыщенных жидкостью, средах, Акуст. Вестник, 10, 2007, 43 — 63.

36. Н. С. Городетская, Волны на границе пористо-упругого полупространства, Акуст. Вестник, 8, 2005, 28 — 41.

37. П. П. Золотарев, Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелет, ом, Инж. журнал. IV, 1964, 111 — 120.

38. Косачевский Л. Я., О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах, ПММ, XXIII, № б, 1959, 1115 1123.

39. Н. Е. Кочин, И. А. Кибель. Е. М. Розе, Теоретическая механика. Часть 1, Москва, 1963.

40. В. И. Кучер, Б. М. Каштан. Лучевой метод для изотропной неоднородной, упругой среды, СПбГУ, 2001.

41. М. Л. Левин, С. М. Рытов, О переходе к геометрическому приближению в теории упругости, Акустич. журнал, вып. 2, 1956.

42. В. П. Маслов, Комплексный мет, од ВКВ в нелинейны, х уравнениях. Наука, М., 1977.

43. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, МГУ, М., 1965.

44. Л. А. Молотков, Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред, Наука, СПб, 2001.

45. В. Н. Николаевский, О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах, Инж. журнал, 3, вып. 2, 1963, 251 261.

46. Г. И. Пстрашсиь, Г. И. Марчук, К. И. Огурцов, О задаче Лэмба в случае полупространства, Уч. Зап. ЛГУ, вып. 21, № 35, 1950.

47. М. М. Попов, Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном приближении, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 104, 195 216.

48. Х. А. Рахматулин, Основы, газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред, ПММ, XX, 1956, 184 195.

49. В. М. Сеймов, А. Л. Трофимчук, O.A. Савицкий, Вибрации и волны в слоистых средах, Наукова Думка, Киев, 1990.

50. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, ПММ, IV, 1974.

51. К. Цвиккер, К. Костен, Звукопоглощающие материалы, Изд. иностр. лит., М, 1952.