ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ
Π ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°Ρ Π½Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅, Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠΎΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠΌ. Π‘os 210Β°= cos (180?+30?) =-cos30?=-/2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 180?=90??2(Ρ/2 Π²Π·ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·), ΡΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ; ΡΠ³ΠΎΠ» 180?+30? Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ.
10−11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ.
Π.Π. ΠΠΈΡΡΡΠΊΠΎ.
- ΠΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅
- Π’Π΅ΠΌΠ° 1. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 2. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°
- Π’Π΅ΠΌΠ° 3. TΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 5. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 6. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- Π’Π΅ΠΌΠ° 7. ΠΠΎΡΠ΅Π½Ρ n-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π°
- Π’Π΅ΠΌΠ° 8. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 9. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- Π’Π΅ΠΌΠ°10. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- ΠΡΠ²Π΅ΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 1. ΠΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 2. ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
- Π’Π΅ΠΌΠ° 3. ΠΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
- Π’Π΅ΠΌΠ° 4. Π£Π³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 5. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 6. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ. ΠΡΠΈΠ·ΠΌΠ°
- Π’Π΅ΠΌΠ° 7. ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄
- Π’Π΅ΠΌΠ° 8. ΠΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Π°
- Π’Π΅ΠΌΠ° 9. Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 10. ΠΠΎΠ½ΡΡ
- Π’Π΅ΠΌΠ° 11. Π¨Π°Ρ
- ΠΡΠ²Π΅ΡΡ
- ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅.
ΠΠ½ΠΈΠ³Π° Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Ρ , ΠΊΡΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΎΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π·Π° 10-ΠΉ — 11-ΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ.
ΠΠ°ΠΊ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΎΠΉ?
Π ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ 20 ΡΠ΅ΠΌ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π²Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ 10−11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΊΠΎΠ»Ρ. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡ, ΠΎΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ «ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ», Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ (ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΡΡΠ½ΡΡΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅). ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² Π½ΡΠΌ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΡ, Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ («Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ») ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈ (ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅!) Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΌ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΡΠΌ ΠΆΠ΅ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Ρ «ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ» ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ, Π° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ.
ΠΡΠ° ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ 10−11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ- - ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ, Ρ.ΠΊ. ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
Π ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°Ρ Π½Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅, Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠΎΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠΌ.
Π Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π»Π°Π΄Π΅ΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ. ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ 10−11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ². ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ * ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ²ΡΠΎΡ
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.
Π’Π΅ΠΌΠ° 1 Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅:
Π°) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ,.
Π±) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
— 3sinx; tgx+5; cos2x.
2. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
Π°) sin2x; Π±) cos 0,5x; Π²) tg7x.
3. ΠΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ:
Π°) tg2x; Π±) sinxβ’cos 3x; Π²)?cosx; Π³) sinx+cosx.
4. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
Π°) sin50Β° Β· cos60Β° Β· sin 188Β° Β· cos 189Β° ;
Π±) tg2 Β· sin4.
5. Π§ΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅: Π°) sin 37Β° ΠΈΠ»ΠΈ sin 67Β°; Π±) cos 54Β° ΠΈΠ»ΠΈ cos45Β°; Π²) tg59Β° ΠΈΠ»ΠΈ tg13Β°?
6. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
Π°)sin2x; Π±) cos Ρ /2; Π±) tg Ρx.
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1. Π°) Ρ — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ; Ρ ? Ρ/2 +Ρk, k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ; Ρ — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π±) [-3; 3]; (-?; +?); [-1; 1] .
2. Π°) Ρ/2; Π±)2Ρ; Π²)2Ρ/7.
3. Π²) ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ; Π°), Π±) — Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π³) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
4. Π°)"ΠΏΠ»ΡΡ"; Π±)"ΠΌΠΈΠ½ΡΡ".
5. Π°) sin 67Β° > sin 37Β°; Π±) cos45Β° >cos 54Β°;Π²) tg59Β° >tg13Β°.
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1.a)ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (D) ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
D (sin x) = (-?; +?); D (cosx) = (- ?; +?); D (tgx): Ρ ? Ρ/2 +Ρk,.
k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
1. 2sin5x; 2. -cos4x; 3. tg3x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = sint — Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Ρ. Π΅. t (-?; +?), ΡΠΎ 5x ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ, 5x (-?; +?), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Ρ (-?; +?). D (2sin5x) = (-?; +?).
1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = cost — Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Ρ. Π΅. t (-?; +?), ΡΠΎ 4x ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ,.
4x (-?;+?), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Ρ (-?; +?). D (-cos4x) = (-?; +?).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = tgt Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ t = Ρ/2 +Ρk, Π³Π΄Π΅ k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ 3Ρ ? Ρ/2 + Ρk, k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Ρ. Π΅. Ρ ? Ρ/6+Ρk/3, k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. D (tg3x): Ρ ? Ρ/6 +Ρk/3, k — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
b) ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (E) ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
E (sinx) = [-1; 1]; E (cosx) = [-1; 1]; E (tgx) = (-?; +?).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
1. 2sin5x; 2.-cos4x; 3. tg3x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sint — ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ [-1; 1], ΡΠΎ.
— 1? sin5x?1, Ρ. Π΅. -2?2sin5x?2, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π (2sin5x) =[-2;2].
2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ cost — ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ [-1; 1], ΡΠΎ.
— 1? Ρos4x ?1, Ρ. Π΅. -1? -Ρos4x ?1, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π (-cos4x) =[-1;1].
3. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tg t — Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ: (-?;+?), ΡΠΎ ΠΈ Π (tg 3x) = (-?; +?).
2. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π’ (Π’?0), Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ± Π’ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈ f (Ρ ± Π’) = f (x).
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
1. ΠΡΠ»ΠΈ Π’ — ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), ΡΠΎ kT — ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ f (x), Π³Π΄Π΅ k — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
2. ΠΡΠ»ΠΈ Π’ — ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (mx) (m — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ) ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π’/m.
ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ sinx ΠΈ cosx ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tgx ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ..
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: 1. sin2x; 2. tg7x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sinx ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sin2x ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2Ρ/2=Ρ.
2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tgx ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tg7x ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ/7.
3. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ x ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) -x ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ.
f (x) = f (-x).
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ x ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), — x ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ.
f (-x) = - f (x).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
1. y= xΠ-|x|; 2. y =xΡ - x; 3. y = 3vx+5; 4. y = x — xΠ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°,.
f (-x)= (-x)Π-|-x| = xΠ- |x| = f (x).
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y= xΠ-|x| ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ.
2. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°,.
f (-x) = (-x)Ρ -(- x) = - xΡ + x =-(xΡ - x) = - f (x).
3. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — Π²ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ x D (3vx+5), Ρo — x D (3vx+5), Ρ. Π΅.Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
4. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, f (-x)= -x- (-x)Π =-xxΠ =-(x+xΠ)? — f (x)? f (x), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sinx ΠΈ tgx ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ cosx — ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ:
sin (-x)=-sinx; tg (-x) = -tgx; cos (-x) = cosx.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ:
1. y = -2 sin 6x +tg4x;
2. y = 4cos 3x + 3;
3. y = sinx + cosx.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. f (-x) =-2sin 6(-x)+tg4(-x) = 2 sin 6x — tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f (x), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
2. f (-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f (x), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
3. f (-x) = sin (-x) + cos (-x) =-sinx +cosx? — f (x)? f (x),.
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
4. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π½ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ (Ρ.Π΅. ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ). y.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sinx:sinx.
sinx > 0 Ρ (2Ρk; Ρ +2ΡΠΊ), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ;
sinx < 0 Ρ (Ρ +2ΡΠΊ; 2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ cosx: y.
Ρosx > 0 Ρ (-Ρ/2 +2Ρk; Ρ/2 +2ΡΠΊ), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ cosx ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ;
cosx < 0 Ρ (Ρ/2 +2ΡΠΊ; 3Ρ/2+2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Ρ .
y.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tgx: tgx.
tgx > 0.
Ρ (Ρk; Ρ/2 +ΡΠΊ), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ;
tgx <0 x.
Ρ (-Ρ/2 +ΡΠΊ; Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠ»ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sinx: sinx=0, x= ΡΠΊ, k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ cosx: cosx= 0, x = Ρ/2 +ΡΠΊ, k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ tgx: tgx =0, x= ΡΠΊ, k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
1. sin57Β° cos80Β° sin 108Β° cos 139Β° ;
2.tg67Β°β’sin73Β° cos 246Β°;
3. tg4 sin2Β· cos1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ» 57Β° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ (Ρ.Π΅. 0Β° <57Β°< 90Β°), ΡΠΎ sin57Β° > 0. Π£Π³ΠΎΠ» 80Β° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅Π΄ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, cos80Β°. Π£Π³Π»Ρ 108Β° ΠΈ 139Β° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. sin 108Β° >0, cos 139Β° <0. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, sin57Β° Β· cos80Β° Β· sin 108Β° Β· cos 139Β° <0, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π».
2. Π£Π³Π»Ρ 67Β° ΠΈ 73Β° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, ΡΠ³ΠΎΠ» 246Β° - ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ,.
tg67Β°>0, sin73Β° >0, cos 246Β°<0, Ρ. Π΅. tg67Β°β’sin73Β° β’cos 246Β° <0.
3. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ? 3.14, ΡΠΎ Ρ < 4 < 3Ρ/2, ΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» 4 ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. tg4 > 0. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΠ³ΠΎΠ» 2 ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π΄Π΅ΠΆΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. sin 2 > 0, ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» 1ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π΄Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, cos1>0. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ,.
tg4 sin2Β· cos1 >0.
5. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π (Ρ 1 ΠΈ x2), Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ 1>x2, ΡΠΎ f (x1)>f (x2), Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ 1.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ .
Π΄Π²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π (Ρ 1 ΠΈ x2), Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ 1>x2, ΡΠΎ f (x1) 2), Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ 12, ΡΠΎ f (x1) >f (x2)).
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sinx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (- Ρ/2 +2ΡΠΊ; Ρ/2+2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = cosx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (- Ρ+2ΡΠΊ; 2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sinx ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (Ρ/2 +2ΡΠΊ; 3Ρ/2+2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = cosx ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (2ΡΠΊ; Ρ+2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = tgx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (- Ρ/2 +2ΡΠΊ; Ρ/2+2Ρk), k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π§ΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅:
1. sin 37Β° ΠΈΠ»ΠΈ sin 67Β°; 2. cos 54Β° ΠΈΠ»ΠΈ cos45Β°; 3. tg59Β° ΠΈΠ»ΠΈ tg13Β°?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sinx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-90Β°; 90Β°), ΠΈ 37Β°(-90Β°; 90Β°), 67Β°(-90Β°; 90Β°), ΠΈ 37Β° < 67Β°, ΡΠΎ sin 37Β° < sin 67Β°.
2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = cosx ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-90Β°; 90Β°), ΠΈ 54Β°(-90Β°; 90Β°), 45Β°(-90Β°; 90Β°), ΠΈ 54Β° > 45Β°, ΡΠΎ cos 54Β° < cos 45Β°.
3. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = tgx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-90Β°; 90Β°), ΡΠΎ tg59Β° > tg13Β°.
5. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = sinx (ΡΠΈΡ.4):
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=cosx (ΡΠΈΡ.5):
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=tgx (ΡΠΈΡ.6):
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=sin2x. ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2Ρ/2=Ρ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π΅ (ΡΠΈΡ.7).
2. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=cos ?x. ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ cos? x ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3Ρ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π΅ (ΡΠΈΡ.8).
3. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=tg7x. ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ tg7x ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ/7. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π΅ (ΡΠΈΡ.9).
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ?
1. sin47Β° < sin157Β° - Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 47Β° ΠΈ 157Β° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°ΠΌ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» sin47Β° ΠΈΠ»ΠΈ sin107Β° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ³Π»Ρ 47Β° ΠΈ 107Β° Π½Π° ΡΠ³Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ:.
Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ sinΠ± = sin (180Β° - Π±) Π΄Π»Ρ Π± =157Β°, sin157Β°= sin23Β°.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 47Β°(-90Β°; 90Β°), 73Β°(-90Β°; 90Β°) ΠΈ sinx Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-90Β°; 90Β°), ΡΠΎ sin 47Β° > sin23Β°, Ρ. Π΅. sin47Β° > sin157Β°.
2. tg 2 > 0 — Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: ΡΠ³ΠΎΠ» 2 ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ (Ρ/2; Ρ), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, tg 2 < 0.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅:.
Π°) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:;; tg (3x+ Ρ/4);
Π±) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: -2Ρos2x;? sinx +1; .
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: 3,4sin 11x +2; tg (ΡΡ ); Ρos (0.4x+ Ρ/6).
3. ΠΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ — Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ: xcosx; sin (x+ 1); tg (x).
4. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: sin129Β°cos95Β°tg260Β°; ;
5. Π Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π°:
Π°) sin Ρ/12; sin 10Ρ /9; sin 2,1 Ρ; Π±) cos Ρ/5; cos2,3 Ρ; cos1,4 Ρ; Π²) tg Ρ/7; tg2,9 Ρ; tg4 Ρ.
6. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = cos3x.
Π°).
Π±).
Π²).
Π³).
Π’Π΅ΠΌΠ° 2. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ:
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅:.
Π°) sinx ΠΈ tgx, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρosx =1/5, x[- Ρ/2;0].
Π±) cosx, Π΅ΡΠ»ΠΈ tgx=2, x[ Ρ; 3Ρ/2].
2. Π°) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sin (Π±+Π²), Π΅ΡΠ»ΠΈ sinΠ± =3/5, Π° cosΠ²=?, Π±[Ρ/2; Ρ], Π²[0; Ρ/2],.
Π±) Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅: .
3. Π°) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅: Ρos 210Β°; sin (-135Β°); tg (11Ρ/6).
Π±) Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅: .
4. Π°) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sin2Π±; cos2Π±; tg2Π±, Π΅ΡΠ»ΠΈ tgΠ±=5, Π±[0; Ρ/2].
Π±) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sinx, cosx, tgx, Π΅ΡΠ»ΠΈ cos2x=, x[Ρ/2; Ρ].
5. Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅:
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1. Π°) —; Π±); 2. Π°); Π±) 1; 3. Π°) -; -; -;
Π±); 4. Π°) -; -; Π±); -; -; 5. .
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
1. sinΠx + cosΠx =1.
— ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° 1.
ΠΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅, Π·Π½Π°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ — Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠ³Π»Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, sinx =1/3), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ³Π»Π° (cosΠx =1- sinΠx =1-(1/3)Π= 1−1/9=8/9, cosx=±2. ΠΠ½Π°ΠΊ cosx Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Ρ .
ΠΠ½Π°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ — Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠ³Π»Π°, ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ³Π»Π°: Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ sinx, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρosx=1/5, x[- Ρ/2;0];
sinΠx=1-cosΠΡ =24/25, sinx=-2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ x[- Ρ/2;0] sinx<0.
2..
Π³Π΄Π΅ x? Ρn, n — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ; Π³Π΄Π΅ x? Ρn, n — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
3. ctgΠx +1 = 1/ sinΠx, x? Ρn, n — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅, Π·Π½Π°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ — Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠ³Π»Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ctgx =4), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ³Π»Π°, Ρ. Π΅. sinx. (sinx==, Π·Π½Π°ΠΊ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Ρ ).
4. tgΠx +1 = 1/ cosΠx, x? Ρ/2+ Ρn, n — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅, Π·Π½Π°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠ³Π»Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, tgx =5, x[Ρ/2; Ρ]), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ³Π»Π°, Ρ. Π΅. cosx.(cosx = - =, Π·Π½Π°ΠΊ «-», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ x[Ρ/2; Ρ] cosx<0).
5. tgxβ’ctgx=1, x? Ρ/2?n, n — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ³Π»Π° x, Π΅ΡΠ»ΠΈ.
gx =0.75, x[Ρ; 3/2Ρ].
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ tgxβ’ctgx=1 Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ctgx=1/tgx =1:0.75 = 4/3.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
tgΠx +1 = 1/ cosΠx Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ cosx = -,.
Π·Π½Π°ΠΊ «-», Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ x[Ρ; 3/2Ρ] cosx<0.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ sinx = cosxβ’tgx =- 0.8β’0.75 = -0.6.
2. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
1. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
sin (x +y) =sinxcosy + sinycosx.
2. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
sin (xy) =sinxcosy — sinycosx.
3. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
cos (x+y) = cosxcosy — sinx siny.
4. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
cos (x-y) = cosxcosy + sinx siny.
5. Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
tg (x+y) =, Π³Π΄Π΅.
x+y? Ρ/2+ Ρn, x? Ρ/2+Ρk, y? Ρ /2+Ρm, n, m, k — ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
6. Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
tg (x-y) =, Π³Π΄Π΅.
xy? Ρ/2+ Ρn, x? Ρ/2+Ρk, y? Ρ /2+Ρm, n, m, kΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
Π°) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ cos (x+y), Π΅ΡΠ»ΠΈ sinx =3/5, Π° cosy=?, x[Ρ/2; Ρ], y[0; Ρ/2].
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ cos (x+y) = cosx cosy — sinx siny. Π ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ cosx ΠΈ siny Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ :
cosx = -=, siny ==.
.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ cos (x+y) = cosxcosy — sinx siny, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: cos (x+y)=.
Π±) Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ. Π΅.
cos 110Β°cos40Β° +sin 110Β° sin 40Β° = cos (110Β° - 40Β°)= cos70Β°.
Π Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ. Π΅.
sin 35Β°cos15Β° - cos35Β°sin15Β°=sin (35Β° - 15Β°) = sin 20Β°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
=,.
cos 70Β° = sin20Β°, Ρ.ΠΊ. 20Β° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ 70Β° Π΄ΠΎ 90Β°.
3. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ/2?n +Π±, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π±.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, sin (Ρ/2+Π±) = cos Π±, cos (Ρ+Π±) = - cos Π±.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:
Π°) Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, cos (5Ρ/2+Π±)) Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π± ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ Ρ/2(ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ/2), Π²Π·ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π· (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ 5ΡΠ°Π·), ΡΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: ΡΠΈΠ½ΡΡΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ, ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ);
Π±) Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, cos (3Ρ +Π±)) Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π± ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ Ρ/2(ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ/2), Π²Π·ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π· (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ — 6 ΡΠ°Π·, 3Ρ =6? Ρ/2), ΡΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ;
Π²) Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» Π± ΠΎΡΡΡΡΠΌ (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 5Ρ/2+Π± ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ cos (5Ρ/2+Π±)=-sinΠ±; ΡΠ³ΠΎΠ» 3Ρ +Π± ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π° Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, cos (3Ρ +Π±)=-cos Π±).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅: Ρos 210Β°; sin (-135Β°); tg (11Ρ/6).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Ρos 210Β°= cos (180?+30?) =-cos30?=-/2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 180?=90??2(Ρ/2 Π²Π·ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·), ΡΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ; ΡΠ³ΠΎΠ» 180?+30? Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ «- «.
sin (-135Β°) =-sin (90Β° +45Β°)=- cos45Β° = - /2.
tg (11Ρ/6) = tg (2ΡΡ/6)=-tg Ρ/6=-/3.
Π±) Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
===.
==.
4. a)Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
1. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°: sin2x = 2sinxcosx.
2. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°: cos2x = cos2 x — sin2 x.
3. Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
tg2x =.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sin2Π±; cos2Π±; tg2Π±, Π΅ΡΠ»ΠΈ tgΠ±=5, Π±[0; Ρ/2].
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°: sin2Π± = 2sinΠ±cosΠ±.
Π ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ sinΠ± ΠΈ ΡΠΎsΠ±.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ tgΠ Π± +1 = 1/ cosΠ Π± Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ cos Π± .
ΡΠΎs Π± =.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ sin2 Π± +ΡΠΎs2 Π±=1 Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ.
sinΠ±. sinΠ± =.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sinΠ± ΠΈ ΡΠΎs Π± Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
sin2Π± = 2sinΠ±cosΠ± =.
cos2Π± Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
ΡΠΎs 2Π± = cos2Π± — sin2Π± = .
tg2Π± =.
Π±) Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
1. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
six.
2. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
cos.
3. Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
tg x.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sinx, cosx, tgx, Π΅ΡΠ»ΠΈ cos2x=, x[Ρ/2; Ρ].
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ.
sinx= =.
ΠΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ «+», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x[Ρ/2; Ρ](Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡ), sinx Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΎsx= = ,.
Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ «-», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x[Ρ/2; Ρ](Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡ), cosx Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ.
tgx =.
5. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ cΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°).
1. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
sinx +siny =2sincos.
2. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
sinx — siny =2sincos.
3. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
cosx +cosy =2cos cos.
4. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²:
cosx — cosy = -2 sin sin.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², Π° ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
=.
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ:
=2, Π° ΡΠΎs,.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
=.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
1. ΠΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sinΠ± = -, Π±. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎsΠ±.
cΠΎsΠ± =, ΡΡΠΎΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ, Ρ.ΠΊ. Π±, Π° Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ:
cΠΎsΠ± = ;
2. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ.
Π°) sin (3Ρ-Π±) ;
Π±) tg (x — Ρ).
Π°) sin (3Ρ-Π±) = cosΠ±.
ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ.
3Ρ =6, 6 — ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ:
Π°) sin (3Ρ-Π±) = sinΠ±.
Π±) tg (x — Ρ) = ctgx, ΡΡΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: tg (x — Ρ) =- tg (Ρ-x) =-ctgx.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ cos105?- sin195?+sin (-135?).
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sin, Π΅ΡΠ»ΠΈ tgx = 2, x.
3. Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: .
4. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ: sin 22,5?.
Π’Π΅ΠΌΠ° 3. TΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ:
1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅:
Π°) arcsin.
Π±) arcsin.
2. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) sinx = Π±) cosx = -Π²) tgx = .
3. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) sin2 x + cosx +1= 0; Π±) sin2 x +2sinxcosx — 3cos2x = 0;
Π²) 3sinx +4cosx = 2.
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1.Π°) Π±) 2. Π°) (-1)k.Π±).
Π²).
2.Π°) Π±) arctg (-3)+Ρn, n;
Π²).
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ a: Π°rcsin a = Π±, sin Π±=a, .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: Π°) arcsin0,5; Π±) arcsin (-0,5);
Π°) arcsin0,5=, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ sin= 0,5, .
Π±) arcsin (-0,5)= -, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ sin= -0,5, -.
ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ a: Π°rcΡΠΎ a = Π±, cosΠ±=a,.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅:
Π°) arccos0,5; Π±) arccos (-0,5);
Π°) arccos 0,5=, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ cos= 0,5,.
Π±) arccos (- 0,5)=, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ cos= - 0,5,.
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ a: Π°rctg a = Π±, tgΠ±=a,.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅:
Π°) arctg1; Π±) arctg (-1);
Π°)arctg1=ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ tg.
Π±) arctg (-1) = - ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ tg (;
2. ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sinx = a, xΠ½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, a-Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π°) ΠΡΠ»ΠΈ a>1 ΠΈΠ»ΠΈ a< -1, ΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sinx = a Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ sinx = 4, sinx = -2,4 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π±) EcΠ»ΠΈ a= 1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x=.
Π²) EcΠ»ΠΈ a= -1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x= ;
Π³) EcΠ»ΠΈ a= 0, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x=.
Π΄) EcΠ»ΠΈ aΡΠΎ x=(-1)narcsina+Ρn, n.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ sinx = 0,3 Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ x=(-1)narcsin0,3+Ρn, n.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎsx = a, xΠ½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, a-Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π°) ΠΡΠ»ΠΈ a>1 ΠΈΠ»ΠΈ a< -1, ΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cosx = a Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ cosx = 1,4, sinx = -2,5 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π±) EcΠ»ΠΈ a = 1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x=.
Π²) EcΠ»ΠΈ a= -1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x=.
Π³) EcΠ»ΠΈ a= 0, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: x=.
Π΄) EcΠ»ΠΈ aΡΠΎ x= arccosa+2Ρn, n.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ cosx = 0,3 Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
x=arccos0,3+2Ρn, n.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ tgx = a, xΠ½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, a-Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
x=arctga + Ρn, n.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
tgx=3, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ x=arctg3 + Ρn, n.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π΅ΡΠ»ΠΈ a=0, ΡΠΎ x= Ρn, n.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) sinx = 3; Π±) sinx = -; Π²) cosx = -2,3; Π³) cosx = -; Π΄) tgx = .
Π°) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3>1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
Π±) x =(-1)k arcsin (-)+ x =(-1)k +.
x =(-1)k+1 +.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: (-1)k+1 +.
Π²) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ -2,3>1, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ; ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
Π³) x=, x=;
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ;
Π΄) tgx =, x = arctg+ x = +.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: +.
3. ΠΠΈΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:.
1. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ.
af2(x)+bf (x)+c= 0,.
Π³Π΄Π΅ a, b, c — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, a ?0, f (x) — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
4sin2x +5 sinx+1 = 0.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ sinx = t, (1)ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: 4t2 +5t +1 = 0, ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ t, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ.
D=9, t1= -1;t2=-0,25.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ t1 ΠΈ t2 Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1).
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠΊΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ sinx =-1,sinx =- 0,25.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
x= -.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
x = (-1)k+1arcsin0,25+.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: -; (-1)k+1arcsin0,25+.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
sin2 x + cosx +1= 0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
sin2 x + cosx +1= 0, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ sin2 x = 1- cos 2x, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ 1- cos 2x+ cosx +1= 0,.
cos 2x — cosx -2= 0.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ cosx = t, (1)ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
t2 -t -2 = 0, ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ t Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ.
D=9, t1= -1; t2 =2.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ t1 ΠΈ t2 Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1).
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠΊΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ cosx = -1, cosx = 2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ x= -.
ΠΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ, Ρ.ΠΊ. 2>1.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ,.
2. ΠΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ).
Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ aβ’sin2x+bsinxcosx+ kβ’Π°cos2x= 0, a, b, k — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, a?0, k?0.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 4sin2x +5sinx cosx+cos2x = 0.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ:.
1. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° cos 2x? 0, Ρ. Π΅.
4;
2. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
4 4tg 2x +5tgx+1=0.
3. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ tgx, tgx =t.
4t 2 +5t +1 = 0,.
D=9, t1= -1;t2=- 0,25.
tgx = -1, tgx = - 0,25.
x = arctg (-1)+Ρk, ΠΈΠ»ΠΈ x = arctg (-0,25)+Ρn, ,.
x = - +Ρk, ΠΈΠ»ΠΈ x = - arctg 0,25+Ρn, .
ΠΡΠ²Π΅Ρ: — +Ρk,; - arctg0,25+Ρn,.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4sin2x +sin2x -3 = 0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ sin2x ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π½Π°.
2sinxcosx, Π° 3- Π½Π° 3sin2x +3Ρos2x, Ρ.ΠΊ. sin2x +Ρos2x =1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
4sin2x +2sinxcosx-3sin2x -3Ρos2x =0, sin2x +2sinxcosx-3Ρos2x =0.
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅. Π Π΅ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ:
1. ;
2. tg2x +2tgx — 3= 0.
3. tgx =t, t2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .
tgx = 1, tgx = - 2.
x = arctg1+Ρk, ΠΈΠ»ΠΈ x = arctg (-2)+Ρn, ,.
x = +Ρk, ΠΈΠ»ΠΈ x = - arctg 2+Ρn, .
ΠΡΠ²Π΅Ρ: +Ρk,; - arctg2+Ρn,.
3. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° asinx+bcosx=c.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 3sinx+4cosx=2), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.
1. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ sin (x +t) =(Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ sin (x +t) =, sin (x +t) =).
2. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: sin (x +t) =, (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ sin (x +t) =, x+t = (-1)k arcsin0,4 +Ρk, ;
x = (-1)k arcsin0,4 — t +Ρk, ;
3. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ t, t = arctgb/a (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ t = arctg4/3);
4. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ: x = (-1)k arcsin0,4 — arctg4/3+Ρk, .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2sinx +cosx = 1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. sin (x +t) =, sin (x +t) =;
2. x+t = (-1)k arcsin+Ρk,, x = (-1)k arcsin-t+Ρk, ;
3. t = arctg½;
4., x = (-1)k arcsin-arctg0,5 +Ρk, /.
4. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) sin (3x+) = 0,5; Π±) sin2x + cosx = 0; Π²) sinx + cosx = 0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π°) sin (3x+) = 0,5.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ 3x+= t, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: sint = 0,5- ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ t =(-1)k +ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ t Π½Π° 3x+, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ 3x += (-1)k +.
Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ :
x = -+ (-1)k+,.
ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° 3, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
x = -+ (-1)k +.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: -+ (-1)k +.
Π±) sin2x — cosx = 0.
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ sin2x ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π½Π° 2sinxcosx, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
2sinxΡos + cosx = 0.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ cosx Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: cosx (2sinx-1) = 0, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° Ρosx = 0 ΠΈΠ»ΠΈ 2sinx -1=0;
x =ΠΈΠ»ΠΈ sinx = 0,5;
x = ΠΈΠ»ΠΈ x = (-1)k +.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:; (-1)k +.
Π²) sinx + cosx = 0.
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
1. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° cosx, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
2. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
tgx +1 = 0, tgx = -1 .
3. Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
tgx = -1, x=.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
1. arccos (-0,5) = -, ΡΡΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ:
arccos (-0,5) = Ρ — = ,.
Ρ.ΠΊ. Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° -0,5 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ -0,5.
2. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ cos4x = 0,5, x =, ΡΡΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ,.
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: x =.
3. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2sinx +cosx = 1 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2sinx +cosx = 1 Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ sinx ΠΈ cosx, Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² ΠΏ. 3.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: Π°rccos (-1) + arcsin (-1) + arctg (-1).
2. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) sin= 0,5;
Π±) tgx = 2;
Π²) cos.
3. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) 8sin x + cos2x +7= 0;
Π±) sin2 x +2sinxcosx — 3cos2x +2 = 0;
Π²) 3sinx — 4cosx = 0.
Π’Π΅ΠΌΠ° 4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ:.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π°) f (x) = 2x +5;
Π±) f (x) = (3x -7)(4x+9);
Π²)f (x) =, Π³) f (x) =3x5.
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ f '(2), Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°) f (x) = 8x +5;
Π±) f (x) = (3x -7)(4x+9);
Π²)f (x) =; Π³) f (x) =3x5.
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ f '(x), Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°) f (x) = ;
Π±) f (x) = ;
Π²) f (x) = (1−3x)4;
Π³) f (x) = .
4. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ f '(x), Π΅ΡΠ»ΠΈ.
Π°) f (x) = sinx;
Π±) f (x) = cos2x ;
Π²) f (x) = tg3x;
Π³) f (x) = ctg.
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1. a) 2;.
2. Π±)24x-1; Π²); Π³)15x4.
3. a) 8; Π±) 47; Π²); Π³) 240.
4. a); Π±); Π²) -12(1−3x)3; Π³).
5. a) cosx; Π±) -2sinx; Π²); Π³) .
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π°) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (U ΠΈ V) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅.
(U + V)' = U' + V',.
Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ (U' ΠΈ V') ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
1.1 ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ: Ρ'=0.
1.2 ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ x ΡΠ°Π²Π½Π° 1 (x'=1).
1.3 ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ kx+b ΡΠ°Π²Π½Π° k (kx+b) ' = k.
1.4 ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π°Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, (2x)'=2(x)'=2.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, (2x+5)' = (2x) '+ 5' = 2+0 =2.
Π±) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (U ΠΈ V) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅.
(U β’ V)' = U’V + V’U,.
Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ (U' ΠΈ V') ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
((3x -7)(4x+9))' = (3x-7)'(4x+9) +(3x-7)(4x+9)' =3(4x+9)+4(3x-7) =.
12x+27 +12x-28 = 24x -1.
Π²) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (U ΠΈ V) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅.
.
Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ U ΠΈ VΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ V?0.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
Π²) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ xΠ±.
(xΠ±)'=Π±xΠ± -1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, (5x8)'= 5(x8)' = 40x7.
2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ.
2. Π Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ f'(2), Π΅ΡΠ»ΠΈ f (x) =3 x5.
1. f'(x)=(3x5)'=15x4.
2. f'(2)=15β’24=240.
3. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f'(g (x)) ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈ (y=g (x)), ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (f'(y)).
f'(g (x)) = f'(y) g'(x).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (y);
2. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y =g (x);
3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ f'(y) g'(x).
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 3.1.
f'(kx+b) =kf'(y), y=kx+Π².
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ((1−3x)4)'.
1. f (y) = y4.
2. y=1−3x.
3. 4(1−3x)3 (1−3x)' = -12(1−3x)3.
4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
(sinx)'=cosx; (cosx)'= - sinx; tgx = ; ctgx=..
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, sin'(4x+7)=4cos (4x+7).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π°) f (x) = (2x +5)4;
Π±) f (x) = (3×2 -7)(4x2+9);
Π²) f (x) =; Π³) f (x) =3cos (2x-1); Π΄) f (x) = .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π°) Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) = (2x +5)4 ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, Π²ΠΈΠ΄Π° f(kx+b). ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ 3.1:
((2x +5)4)' = 2β’4(2x+5)3 =8(2x+5)3.
Π±) ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (3×2 -7)(4×2+9) ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
((3x2 -7)(4x2+9))' = (3x2-7) '(4x2+9) + (4x2+9)'(3x2-7) =3(4x2+9) +4(3x2-7) =.
24x2 -1.
Π²) ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ:
Π³) f'(x) =(3cos (2x-1))'= 3(cos (2x-1))', (ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ), Π΄Π°Π»Π΅Π΅ 3(cos (2x-1))' = -3β’2sin (2x-1), (ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ cosy = - siny ΠΈ f'(kx+b) = kf'(y), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ 2). ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: f'(x) = -6sin (2x-1).
Π΄) f'(x) = ()' = ((6x-7)0,5)' =0,5β’6(6x -7)0,5−1 =3(6x -1)-0,5,.
Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
1. ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ 0.5;
2. ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ((Ρt)'=tyt-1);
3. ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 3.1(ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ 6).
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
1. (1−2x)'? 2, Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ: (1−2x)'=-2.
2. (x-3)' ?-3x-2, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ: (x-3) ' ?-3x — 4.
3. sin' (3x-8)? cos (3x-8), ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ: sin'(3x-8) =-3cos (3x-8).
4.ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ: = (x-0,5)' = - 0,5x -1,5 = .
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π°) f (x) = 3+4x3;
Π±) f (x) =.
Π²) f (x) = tg (2x+1) — x;
Π³) f (x) =(-x3 -2)(1- x4).
2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ f'(x0), Π΅ΡΠ»ΠΈ f (x) = (2x-8)5, x0 = 3;
3. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: f'(2) >x-5, Π΅ΡΠ»ΠΈ f (x) = sin (2x-4).
Π’Π΅ΠΌΠ° 5. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ:
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = x3-27x.
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = x3-27x.
3. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = x3-3x2 Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ.
4. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = 0,75x4 — x3 -3x2 ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ.
5. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
f (x) = - 2x3 -3x2 +4 Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ [-2; -0,5].
6. ΠΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
s (t) = 2t2 -8t -10 (s Π² ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ , t Π² ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Π°Ρ ).
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ 8 Ρ.
7. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ.
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = x2 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ x0 = 0,5.
8. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
y = x3+1 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1; 2).
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1. ΠΠ° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (-; -3) ΠΈ (3;) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅.
(-3; 3) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ.
2. x= -3 — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, x=3 -ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
3. ΠΠ° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (-; 0) ΠΈ (2;) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (0; 2) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, x= 0 — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, x=2 -ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
4.
5. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 8, Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 3.
6. 24ΠΌ/c.
7. 45?.
8. y = 3x — 1;
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° (a;b), ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅..
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° (a;b), ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ (a; b) ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ a ΠΈ b, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅[a; b].
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈ f (x) (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, f (x)= x3-27x), Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ D (f) (Π΄Π»Ρ f (x)= x3-27x — ΡΡΠΎ Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ).
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ f'(x) ((x3-27x)' = 3x2 -27).
3. Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΠ²Π°.
f'(x)> 0 (3x2 -27>0, 3(x2 -9)>0,x),.
f'(x)< 0 (3x2 -27<0, 3(x2 -9)<0, x).
4. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ:
ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f'(x)> 0 — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ, (Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (-; -3) ΠΈ (3;) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x)= x3-27x Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ); ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f'(x)< 0 -ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ (Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-3; 3) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x)= x3-27x ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ).
2. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° (ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, f (x)= x3-27x), Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ((x3-27x)' = 3x2 -27).
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ f'(x) = 0, (3x2 -27=0, 3(x2 -9) = 0, x2 -9 = 0,(x-3)(x+3)=0, x=3, x=-3). f'(x) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x)= x3-27x.
3. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
4. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ «+» Π½Π° «-» ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° (x = -3, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°).
5. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ «-» Π½Π° «+» ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° (x = -3, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°).
3. ΠΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y = x3-3x2), Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ D (f) (Π΄Π»Ρ f (x)= x3-3x2 — ΡΡΠΎ Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ).
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ((x3-3x2)' = 3x2 -6x).
3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ f'(x) = 0, (3x2 -6x=0, 3x (x -2) = 0, x=0, x=2). f'(x) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x)= x3-3x2.
4. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ .
5. ΠΠ°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
Ρ . | (-;0). | 0 — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°. | (0;2). | 2 -ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. | (2;+). | |
f'(x). | ||||||
f (x). | Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. | 0, max. | ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. | — 4, min. | Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. | |
4. ΠΠ±ΡΠ°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y = 0,75x4 — x3 -3x2) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π΄Π»Ρ f (x)= 0,75x4 -x3 -3x2 ΡΡΠΎ Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ).
2. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (f (-x)= 0,75(-x)4 — (-x)3 -3(-x)2 =0,75x4 + x3 -3x2? f (x) ?-f (x), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ).
3. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
(Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = 0,75x4 — x3 -3x2 Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ).
4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π½ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΎΡΡΡ OX), Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (x)=0. (0 = 0,75x4 — x3 -3x2, x2(0,75x2 — x -3)=0, x1=0, x2 ?-1,4, x3? 2,8).
5. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΎΡΡΡ OY, Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 0, Ρ. Π΅. f (0). (f (0)= 0,75Β· 04 — 03 -3Β· 02 = 0).
6. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
(f'(x) = 0, 3x3-3x2 -6x = 0, x (x2 -x -2) =0, x1=0, x2 =2, x3 =-1, f (-1)=1,25, f (0)=0, f (2)=-8).
x. | (-;-1). | — 1. | (-1;0). | (0;2). | (2;). | |||
f'(x). | ; | ; | ||||||
f (x). | ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. | 1,25 min. | Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. | 0-max. | ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. | — 8 min. | Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. | |
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΏΡΠ½ΠΊΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 4 ΠΈ 5).
ΠΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ (ΠΏΡΠ½ΠΊΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 6).
ΠΠ° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ — Π΄ΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΏΡΠ½ΠΊΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 6).
5. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [a;b], Π½Π°Π΄ΠΎ: (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, f (x) = -2x3 — 6x2 +5 Π½Π° [ -1;1]).
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ;(f'(x) = -6x2 -12x).
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ (ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ); (f'(x) = 0; -6x2 -12x=0, -6x (x+2)=0, x =0, x=-2).
3. ΠΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ [a;b]; (ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° x =0 ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ [-1;1]).
4. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° [a;b]; (f (0) =5; f (-1) =1; f (1) =-3.).
5. ΠΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = -2x3 -6x2 +5 Π½Π° [ -1;1] ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 5; Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = -2x3 -6x2 +5 Π½Π° [ -1;1] ΡΠ°Π²Π½ΠΎ-3.
6. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ s (t), ΡΠΎ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ to ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΅Π΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° s'(t).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ s (t) = 2t2 -8t -10ΠΌ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t =3c.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ s' (t)= (2t2 -8t -10)' = 4t -8.
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ s' (2), s' (3)= 4β’3−8 =4ΠΌ/c — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ 3Ρ.
7. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x0; f (x0), Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ.
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (f'(x));
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0(f'(x0));
3. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Ρ. Π΅. tgΠ± = f'(x0).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = x2 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ x0 = 0,5.
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = x2, f''(x) = 2x.
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0 = 0,5, f''(0,5) = 1.
4. Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ: ΠΎΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 45?, Ρ.ΠΊ. tg45? = 1.
8. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x0 ; f(x0)).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x0; f (x0)), Π½Π°Π΄ΠΎ.
1. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ f (x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x0; f (x0)): Ρ =f'(x0)xf'(x0)x0 + f (x0);
2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0(f'(x0));
3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0(f (x0));
4. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° 1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = x3+1 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1; 2).
1. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ:
Ρ =f'(x0)xf'(x0)x0 + f (x0);
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0 =1:
f'(x) = 3x2, f'(1)=3;
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0 =1: f (1) =2;
4. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Ρ =3x — 3β’1 + 2;
Ρ =3x — 1- ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
y = x3+1 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1; 2).
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = ;
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (- ?; 0) ΠΈ (3,2; +?), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (0; 3,2).
ΠΡΠΎΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ° Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² f' (x)>0 ΠΈ f' (x)< 0.
f' (x) = ;
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f' (x)>0 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ (0; 3,2);
ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f' (x)< 0, Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ (- ?; 0) ΠΈ (3,2; +?).
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ: ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ (- ?; 0) ΠΈ (3,2; +?), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (0; 3,2).
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = 2x3-6x Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0; 1,5].
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 4. ΠΡΠΎΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ° Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° -1 Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ [0; 1,5].
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ: Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0; Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ -4.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Ρ = ;
2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Ρ = 0, 5x4 +8x.
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = x3-3x Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0; 1,5].
4. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = x2— 1 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡΡ Ox.
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π΅ΠΌΠ° 6. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π».
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡ:
1. ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y= sinx + x4 -7 ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = cosx + 4x3 Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-?; ?)?
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = x2, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ (3; 6).
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°) f (x) = x10; Π±) f (x) = x8 — cosx;
Π²) f (x) = 3sinx; Π³) f (x) = sin (7x+2);
4. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ = x2 +4, y=0, x = 2, x =4.
5. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»: Π°) Π±); Π²) .
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ:
1. Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ;
2. F (x)=.
3. a);Π±)F (x) =; Π²) F (x)=-3cosx+c; Π³) F (x) = ;
4. 26? ;5. Π°)2?; Π±) 0; Π²) -1;
Π£Π»ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
1. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F (x)(Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 5x2) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) (10x) Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° F'(x)= f (x)((5x2)' =10x).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Y (x)= 0,5sin2x + x5 -3 ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y (x) = cos2x + 5x4 Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-?; ?).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Y= 0,5sin2x + x5 -3 ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = cos2x + 5x4 Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-?; ?).
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈY: D (Y)= (-?; ?).
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y= 0,5sin2x + x5 -3:(0,5sin2x + x5 -3)' = cos2x + 5x4 ;
3. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ: Y'(x) =y (x) Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ x ΠΈΠ· ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° (-?; ?), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Y (x)= 0,5sin2x + x5 -3 ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y (x) = cos2x + 5x4 Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ (-?; ?).
2. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F (x) ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π° Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x)Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΡΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ F (x)+Π‘, Π³Π΄Π΅ Π‘ — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = x2, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ (3; 6).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = x2 — ΡΡΠΎ F (x) =, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F (x) = ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ (3; 6), ΡΠΎ F (3) =6, Ρ. Π΅. 6=9+Π‘, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° Π‘=-3.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ (3;6) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ F (x) =.
3. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ.
Π°) ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ xn ΡΠ°Π²Π½Π° +Π‘.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ x6 ΡΠ°Π²Π½Π° +Π‘.
Π±) ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ x2+sinx ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ x2 ΠΈ sinx, Ρ. Π΅.
Π²) ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ 5 x6 ΡΠ°Π²Π½Π° 5+Π‘.
Π³) ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (kx+c) ΡΠ°Π²Π½Π°, Π³Π΄Π΅ ΠΊ?0.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sin (5x+2) ΡΠ°Π²Π½Π°cos (5x+2)+C.
4. ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ x=a, x=b ΠΈ ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π°Π΄ΠΎ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, F (x);
2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ F (x)Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ b, Ρ. Π΅. F (b);
3. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ F (x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ a, Ρ. Π΅. F (a);
4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ (ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ) F (b) — F (a)=SΡΡΠΎ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ.
Ρ = x2 +4, x = 2, x =4,Ρ=0.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ.
Ρ = x2 +4 — ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π°, x = 2, x =4 — - ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΈ OY, Ρ=0 — ΠΎΡΡ OX. Π€ΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x)= x2 +4 Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
F (x) = ;
2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ F (x)Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 4, Ρ. Π΅.
F (4) = ;
3. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ F (x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 2, Ρ. Π΅.
F (2)= ;
4. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ S=21? — 10? =10?.
5. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π». Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°-ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [a;b], Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ «ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ a Π΄ΠΎ b ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x)dx».
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° — ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ°:
=F (b)-F (a).
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
.
ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ: «Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΎΡ a Π΄ΠΎ b», f (x) — Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, f (x)dxΠΏΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π», Π½Π°Π΄ΠΎ.
1. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅[a;b];
2. ΠΠ»Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ F (x);
3. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ a ΠΈ b: F (b)ΠΈ F (a);
4. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ F (b) — F (a).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,.
1. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x)=x2 Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [1;2];
2. F (x)=;
3. F (2)=, F (1)=;
4. F (2) — F (1)= -=2.
ΠΠΎΡΠΎΡΠ΅ ΡΡΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π²Π΅Π΄Π΅ΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΡΠΎΡΠΊΡ:
.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ, Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡ Π»ΠΈ ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) = (2x+5)3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
F (x)= ?(2x+5)3 +C — ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ:
F (x)= 1/6(2x+5)3 +C, Ρ.ΠΊ. f (kx+b)= (2x+5)3, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ 3Π³): F (kx+b) =.
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ y=x2, y=4.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
S= F (2)-F (-2)= - ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: S= 4β’4−5?=10?. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ y=x2, y=4 (ΡΠΈΡ.) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ABCD Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ y=x2, y=0, x=2, x=-2.