Разработка алгоритмов и программных комплексов для глобальной оптимизации химико-технологических систем

Актуальность работы Проблемы глобальной оптимизации в настоящее время являются передним краем теории математического программирования и вычислительной науки в целом. В тоже время они имеют важнейшее значение для практики. Современные проблемы оптимизации процессов химической технологии настоятельно требуют обновления подходов к автоматизации и конструированию систем оптимального проектирования технологической схемы. С одной стороны, использование систем имитационного моделирования позволило снизить стоимость исследований, но при этом предъявляются более высокие требования к точности определения параметров. Вместе с этим, специфика задачи оптимизации химико-технологических схем (ХТС) заставляет предполагать многоэкстремальность целевой функции. Это обусловлено, во-первых, билинейностью математической модели. Во-вторых, ХТС зачастую имеют замкнутую структуру, то есть структуру с рециклами. Множественность стационарных состояний индуцирует многоэкстремальность в задаче оптимизации. Наконец, многоэкстремальности следует особо опасаться, если оптимизационная задача ставится как задача с априорной неопределенностью, а на этапе проектирования ХТС неопределенность всегда присутствует в математической модели. Кроме этого, в задаче экономической оптимизации всегда есть основания предполагать, что наилучшее значение критерия может лежать близко к границе множества оптимизации. При этом, бывают случаи, когда проведение масштабирования оказывает негативное воздействие на вычислительные свойства задачи. Поэтому можно предположить, что размеры множества оптимизации относительно велики.

Эти соображения позволяют предположить, что методы глобальной оптимизации для решения рассматриваемых задач будут весьма эффективны в сравнении с локальными методами оптимизации. При использовании последних исключительно важно корректно задать начальное приближение. Это представляет значительную трудность в задачах с априори неопределенной информацией. Кроме того, локальные методы оптимизации в большинстве своем используют степень гладкости целевой функции. Для задач негладкой оптимизации разработаны математические методы сглаживания, программирование которых представляет значительные трудности. Среди же методов глобальной оптимизации (МГО) возможно выбрать методы, специально разработанные для негладких функций.

С другой стороны, современное состояние математической теории глобальной оптимизации таково, что при всем многообразии идей и методов, отсутствуют систематизированные данные об успешном применении теоретически исследованных алгоритмов к специфическим задачам прикладных областей. Отсутствуют также общие рекомендации по выбору наиболее эффективного МГО для той или иной задачи. При этом, для решения прикладных задач, в частности оптимизации ХТС, предпочтение отдается эмпирическому классу МГО. В этом случае существенный интерес представляет проблема выбора параметров алгоритма с целью обеспечения его эффективной работы. Наконец, знание структуры математической теории глобальной оптимизации помогло бы сделать обоснованный выбор в пользу какого-либо алгоритма с учетом специфики задачи оптимизации. Общность методологий построения таких методов позволяет также адаптировать уже использовавшиеся и исследованные теоретически алгоритмы к конкретней задаче.

В настоящее время при моделировании ХТС часто рассматривается ситуация исходной неопределенности. Чем выше степень этой неопределенности, тем шире в процессе моделирования и оптимизации используются статистические методы оценки неопределенных параметров. В работе рассматривается подход к задаче оптимизации, при котором целевая функция представляет собой аппроксимацию поверхности отклика вычислительного эксперимента. В число влияющих на отклик факторов могут быть включены неопределенные параметры. Этот подход при использовании современных средств математического моделирования реализует переход от задачи условной оптимизации к безусловной. Но в этой связи при выборе метода оптимизации необходимо учитывать статистическую природу целевой функции. Таким образом, функции, вычисляемые со случайной ошибкой.

Y=F (X)+T], где TJслучайная величина, распределенная нормально с некоторыми параметрами, X еХ, представляют собой широкий класс целевых функций в задачах оптимизации ХТС.

Цели диссертационной работы.

Разработать комплекса алгоритмов оптимального моделирования ХТС с использованием методов поиска глобального экстремума и реализовать разработанные алгоритмы поиска глобального экстремума в виде комплекса программ.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

— Построение классификации методов глобальной оптимизации для обоснованного выбора алгоритмов решения задач экономической оптимизации технологических схем.

— Адаптация эмпирических алгоритмов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании технологической схемы.

— Разработка комплекса программ, осуществляющего данные алгоритмы глобальной оптимизации, интегрированного с приложениями WINDOWS для обработки вычислительного эксперимента и справочной системой.

— Применение разработанного комплекса для анализа схем жидкостного разделения, конструированных в системе ASPEN PLUS.

Методы исследования: алгоритмы математической теории глобальной оптимизации, методы локального поиска экстремума, методы планирования эксперимента, методы статистического анализа, средства объектно-ориентированного программирования, система технологического конструирования и проектирования ASPEN PLUS, математические пакеты программ, электронные таблицы EXCEL. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Применения выбранных алгоритмов глобального поиска для решения задачи оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.

2. Модификации метода Чичинадзе введением методики интервального сравнения и организацией расслоенной выборки.

3. Эмпирическая модификация метода случайного глобального поиска отсечением траекторий и использованием методики интервальных оценок.

4. Применение алгоритмов глобального случайного поиска для построения стратегии планирования экстремальных вычислительных экспериментов.

5. Программный комплекс эмпирических алгоритмов.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач и тестированием программного комплекса на контрольных примерах. Научная новизна.

1. Составлена иерархическая классификация математических методов глобального поиска на методологической основе.

2. Разработаны, обоснованы и протестированы на ЭВМ модификации эмпирических МГО, адаптированные для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.

В первой главе рассмотрено современное состояние математического аппарата алгоритмов глобального поиска и дан подробный обзор методов, использованных в разных прикладных областях. Проведен структурный анализ общей теории и методологии глобальной оптимизации и на его основе составлена подробная классификация алгоритмов. Использование этой классификации дало возможность обосновать выбор методов для решения рассмотренных задач оптимизации разделительных схем химической технологии.

Представлена общая постановка задачи экономической оптимизации ХТС как задачи условной оптимизации:

Пусть Хлинейное пространство над полем действительных чисел размерности п. хеХ, х =(хь х2,., х&bdquo-) — множество оптимизации ХсХ X = {хjct е V/ = 1. л}.

Xi имеет экономический или технологический смыслобозначим L доход от реализации ХТСобозначим S общие затраты на ХТС. = /(*), S = g (x).

На вектор х налагаются ограничения в виде равенств, представляющие собой уравнения материального и энергетического баланса: fi{x) = ai, i = l.M.

И условия в виде неравенств <pt (х) > Ъ, i=l.m Необходимо найти x=mmS (x) (1) х. ел или X =maxl (x) (1а) х^Х при данных условиях.

Для определенности в дальнейшем будем считать, что в задаче оптимизации определяется минимум целевой функции.

В постановке задачи выделяются три основных компонента: множество оптимизации, целевая функция, условия, налагаемые на параметры задачи и оптимизирующие переменные. Каждый из этих компонентов задачи имеет структурные особенности. Особенности множества оптимизации:

— Частично дискретно, то есть один или несколько факторов могут быть целочисленными;

— Большая размерность;

Построена общая методологическая классификация алгоритмов глобальной оптимизации. Критерием классификации служит использование априорной информации о поведении целевой функции в исследуемом множестве. Установлена связь этой классификации с другими классификациями, построенными, например, на основе алгоритмических критериев. В первой главе приводится подробная схема данной классификации.

Как уже указывалось выше, мера множества оптимизации X может быть достаточно велика. Построить же адекватную аппроксимацию поверхности отклика возможно только на небольших участках варьирования переменных. Во второй главе модель целевой функции предлагается строить в виде кусочно-линейной или кусочно-полиномиальной функции. Приводятся два способа разбиения множества оптимизации на ячейки с учетом особенностей ХТС. По результатам статистического анализа полученных аппроксимаций ячейки разбиения классифицируются, среди них выделяются подозрительные на содержание экстремума. Построенная функция цели не является непрерывной и гладкой. Однако с помощью методологической классификации среди многообразия алгоритмов глобальной оптимизации можно выбрать методы, для которых эти требования не являются центральными. Такими методами являются варианты случайного поиска и метод Чичинадзе, известный как метод у/ -преобразования. Таким образом, нет необходимости в применении трудоемких алгоритмов сглаживания.

Далее, предлагается использовать построенную классификацию ячеек разбиения для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Эта величина в ряде случаев является характеристикой эффективности алгоритма глобальной оптимизации. Метод у/ -преобразования используется только на ячейках, подозрительных на содержание экстремума и на граничных ячейках. Другой способ адаптации алгоритма к оптимизации функции вида (I) состоит в учете возможной ошибки регрессии. В ходе алгоритма необходимо проводить сравнение значений функции. При этом используются не точечные, а интервальные оценки этих значений. Данные интервальные оценки вычисляются при статистическом анализе аппроксимаций.

При оптимизации методом случайного поиска с направляющим конусом классификация ячеек также используется для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Отсечение неподозрительных ячеек в этом случае не производится, но на таких ячейках не делается последовательный разброс случайных точек, движение производится в направлении градиента построенной аппроксимации.

Для данного метода сконструирована эмпирическая модификация, состоящая в выделении на некотором этапе поиска неперспективных направлений движения, названных траекториями, и отсечения их по некоторому правилу, использующему интервальные оценки значений целевой функции.

В третьей главе описан комплекс программ, созданный в среде объектно-ориентированного программирования DELPHI 7. Комплекс интегрирован с электронными таблица EXCEL, поэтому позволяет не только применять методы глобальной оптимизации к тестовым функциям, но и строить аппроксимации на отдельных ячейках и проводить статистический анализ.

В четвертой главе с помощью программного комплекса «Оптимум» были применены алгоритмы глобальной оптимизации для схем простой ректификации и экстрактивной ректификации с рециклом. Для данных схем в результате вычислительного эксперимента по методике, заложенной в ASPEN PLUS, были определены границы множества оптимизации, построено разбиение этого множества на ячейки над которыми затем аппроксимировалась поверхность отклика линейной функцией или поверхностью второго порядка. и.

В предварительной задаче было построено приближение мультипликативной функцией на всем множестве оптимизации. В результате решения Щ (предварительной задачи обращает на себя внимание достаточно высокая точность метода Чичинадзе и эффективность для этого алгоритма методики интервальных оценок. Для случайного поиска с направляющим конусом выявлена главная группа влияющих параметров метода. Однако результаты оптимизации этим методом хуже, чем результаты метода Торна и метода Чичинадзе. Обращает на себя внимание расхождение значений аппроксимации поверхности и экспериментальных данных: максимальное значение относительной погрешности — до 25% .

При решении задачи оптимизации кусочно-линейной поверхности отклика вычислительного эксперимента для схемы простой ректификации ^ результативность данных методов возросла в связи с более удачной аппроксимацией. Расхождение с экспериментальным значением в подозрительной на глобальный минимум точке не превышает 10%. При этом выявлена тенденция уменьшения затрат на схему при увеличении процентной доли уксусной кислоты в растворе. Однако необходимость большого числа опытов делает этот метод весьма объемным в вычислительном отношении.

При упрощенной (рассматривалась зависимость от двух влияющих факторов) оптимизации схемы экстрактивной ректификации особенное внимание было уделено построению множества оптимизации, так как эта схема обладает свойством вычислительной неустойчивости по входным данным. Структура множества оптимизации оказалась весьма сложной, но методика разбиения на ячейки свела к минимуму возможные неудобства. Для данной схемы метод Чичинадзе применялся на всем множестве оптимизации, так как разбиение построено таким образом, что все ячейки граничные. Также в данном случае обратило на себя внимание быстродействие метода случайного поиска — уже вторая траектория обнаружила глобальный минимум. Ф.

Итак, в работе приводятся способы адаптации методов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента. Вычислительное применение этих модификаций дало положительные результаты и высветило аспекты повышения их эффетивности. Таким образом, осуществлено комплексное исследование проблемы оптимизации химико-технологических систем с применением современной технологии математического моделирования.

Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на международной конференции «Математические методы в технике и технологии» (ММТТ12) Тамбов, июнь 2002 г., ММТТ 15 Санкт-Петербург сентябрь 2003 г. Математические аспекты исследований обсуждались на научном семинаре кафедры математики и физики Санкт-Петербургского филиала Военно-инженерного Университета им. Куйбышева. Публикации по теме работы,.

1. Ананченко А. Г., Ананченко И. В., Холодное В. А. Поиск научной информации в сети INTERNET.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. — Т.5 — секция 11−12 — С 43−44.

2. Ананченко А. Г., Ананченко И. В., Холодное В. А. Поиск научной информации в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. — Т.5 — секция 11−12 — С 44−46.

3. Ананченко А. Г., Ананченко И. В., Шафеев М. А. Проблемы глобальной оптимизации в химической технологии. По материалам базы данных в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. — Т.2 — секция 2 — С 50−52.

4. Ананченко А. Г., Холодное В. А. Проблемы построения объемной классификации задач и алгоритм л в глобальной оптимизации. — Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. — Т.2 — секция 2 — С 52−54.

5. Ананченко А. Г., Холодное В. А. Структура алгоритма глобальной оптимизации и построение на ее основе классификации методов поиска экстремумаСб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. — Т.2 — секция 2 — С 25.

6. Ананченко А. Г., Холодное В. А. Классификация методов поиска глобального экстремумаСб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. — Т. 10 — секция 11 — С 87.

7. Ананченко А. Г., Холодное В. А. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации — Депонировано в ВИНИТИ № 975-В2003. от 19 03 03.

8. Ананченко А. Г., Холодное В. А., Пунин А. Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов. Химия и химическая технология № 3, 2004.-С 45−53.

9. Ананченко А. Г., Холодное В. А., Пунин А. Е. Комплекс программ глобальной оптимизации «Оптимум». Депонировано в ВИНИТИ № 734-А2004 от 25.03.04.

Выводы по диссертационной работе.

— 1. Рассмотренные методы достаточно эффективны, так как при сравнительном анализе на тестовых примерах погрешность относительно точного решения не превысила 6%.

— 2-Так как построение адекватной регрессии на большом интервале варьирования факторов затруднительно, в этом случае налицо значительное расхождение расчетного глобального минимума и экспериментального значения при аппроксимации на всем множестве оптимизации. Кусочно-полиномиальная регрессия существенно улучшает результат оптимизации.

— 3 Методики интервального сравнения значительно повышают эффективность метода Чичинадзе и необходимы при применении модифицированного случайного поиска.

— 4 Отбрасывание неперспективных ячеек заметно повышает эффективность метода Чичинадзе только при большом числе разбиения по каждому фактору. Если это разбиение мало, то мало и число внутренних ячеек, следовательно экономия на вычислениях при отсутствии данных ячеек невелика. Строить маленькие разбиения невыгодно еще и по следующей причине: линейное приближение адекватно только при небольших интервалах варьирования, следовательно, в относительно больших ячейках необходимо проводить дополнительные опыты для построения адекватной регрессии.

Заключение

.