Актуальность работы Одномерное телеграфное уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Телеграфное уравнение описывает давление нефти или газа в трубопроводе, характеризует динамику силы тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, свободные колебания геологической среды (пластовые давления и смещения).
Исследованию решений задач управления распределенными системами и их оптимизации посвящены работы многих математиков. Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний распределенной системы под воздействием некоторого граничного локального или нелокального управления может быть переведен из одного состояния, заданного начальными смещениями и скоростями системы, в наперед заданное финальное. В математическом плане такие задачи граничного управления формируются в терминах краевых задач для уравнения, описывающего процесс колебаний. Во многих работах доказывается существование промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим Для уравнений колебаний струны было показано, что если промежуток времени, за который проводится управление, не превосходит Т^, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках, строго больших Тк, существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных условиях.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж. Л. Лионе (1988г.). В его работах изучалась задача успокоения с граничными условиями типа смещения. Им же в работе [1] была доказана неединственность решения полученной задачи при Т^ > С * 21.
В работе Е. Яшгиа [2] гильбертов метод единственности был обобщен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения. Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе А. Г. Бутковского [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.
В статье [5] Ф. П. Васильева была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [6] и [7], в которых построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [6] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления в виде ряда Фурье, а работа [7] использует метод Фурье. Отметим, однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.
В работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [8] для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на одном конце при закрепленном другом для критического промежутка времени = 21.
В работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [9] для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на обоих концах для критического промежутка времени Тк = I.
В работах В. А. Ильина [10]-[18] для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, т. е. участков разной плотности и разной упругости, разработана теория управления процессом колебаний, описываемых волновым уравнением. В работах [10] и [11] получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости в случаях продольных и поперечных колебаний. В работах [12]-[15] для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, были получены формулы для решения смешанных начально-краевых задач, а также аналитический вид оптимальных граничных управлений (т.е. доставляющих минимум интегралу граничной энергии) для большого промежутка времени Т > Т^.
Цель диссертационной работы.
В диссертационной работе построена теория управления процессом колебаний, описываемых телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости. Для всех задач будет получен явный аналитический вид решений.
Научная новизна.
В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
1. Получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока. Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.
2. В терминах обобщенного решения телеграфного уравнения щг (х, ?) — ихх (х, ?) + с2и (х, ?) = 0 с конечной энергией для любого промежутка времени Т решены 7 задач граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для любого промежутка времени Т получен явный аналитический вид решенияи (а-,?).
3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые им-педансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением.
4. Решена задача о граничном управлении на двух концах смещением процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.
Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер. Учитывая, что телеграфным уравнением описывается давление нефти или газа в трубопроводе, сила тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, явный аналитический вид решений, полученных в диссертации, может быть использован для моделирования указанных выше процессов, для существенного сокращения объемов вычислений.
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
• Молодежном симпозиуме с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», Переяславль, сентябрь 2009 г;
• конференции Ломоносов-2010 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, Москва, июль 2010 г;
• конференции Тихонов-2010 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, Москва, октябрь 2010 г;
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах, из них 3 работы — в ведущих математических журналах (Доклады РАН,.
Дифференциальные уравнения) и 1 — тезисы докладов. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из 4 глав. Главы разбиты на разделы. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул — сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 25 наименований. Общий объем диссертации 76 страниц.
1. J. L. Lions, Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // S1. M Review, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1−68.
2. Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1−31.
3. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1985.
4. Егоров А. И. Управление упругими колебаниями. // ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук. 1986. №.5 с. 60−63.
5. Васильев Ф. П., О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения// Дифференц. уравнения. 1995. Т 31, № 11. С. 1893 1900.
6. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Потапов М. М. Метод прямых в задчах граничного управления и наблюдения для уравнений колебаний струны.// Вестник МГУ, сер.15, вычисл. матем. и киберн. 1993. № 3. С. 8 15.
7. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Разгулин A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны. // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. № 2. С. 3 8.
8. Ильин. В. А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2002. Т.387, № 5. С.600−603.
9. Ильин. В. А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2004. Т.394, № 2. Стр. 154−158.
10. Ильин В. А. Формула типа Даламбера для продольных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости. //Доклады РАН. 2009. Том 427. № 4. Стр.466−468.
11. Ильин В. А. Формула типа Даламбера для поперечных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности. //Доклады РАН. 2009. Том 427. № 5. Стр.609−611.
12. Ильин В. А., Луференко П. В. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.428, № 1. С.12−15.
13. Ильин В. А., Луференко П. В. Обобщенные решения смешанных задач, для разрывного волнового уравнения при условии равенства импедансов. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 3. С.317−321.
14. Ильин В. А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 6. С.742−745.
15. Ильин В. А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного нелокального условия. // Автоматика и Телемеханика. 2009, № 4. С.6−18.
16. Ильин В. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация. // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, № 4. С.586−596.
17. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой. Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, № 12 С. 1699−1711.
18. В. А. Ильин, Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени. // Дифференциальные уравнения, 2007, Т.43, № 12 С. 1655−1663.
19. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией.// Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, № 11 С. 1513−1528.
20. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнения. //Успехи математических наук. 1960. Т.15,№ 2, С.97−154.
21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими силами за любой достаточно большой промежуток времени. // Дифференциальныеуравнения. 2008. Т.44, № 1 С.89−110.
22. Ильин В. А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны упругой силой при условии, что второй конец закреплен. //Труды матем. института имени В. А. Стеклова. 2005. Том 248. С.117−123.
23. Ильин В .А. //Дифференциальные уравнения. 1999.Т.35, № 12. С.1640−1659.Публикации автора по теме диссертации.
24. Смирнов И. Н. Формула типа Даламбера для колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности, описываемых телеграфным уравнением // Доклады Академии Наук, 2010, том 433, № 1, С. 25−29.
25. Смирнов И. Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. Одностороннее управление. Доклады Академии Наук, 2010, том 435, № 1, С. 22−25.
26. Смирнов И. Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. Доклады Академии Наук, 2010, том 435, № 2, С. 172−177.
27. Смирнов И. Н. Решение задачи успокоения для системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением. Тезисы конференции Тихонов-2010. Москва: Изд-во МГУ, 2010. С. 28−29.
