G-многообразия нильпотентных групп и многообразия степенных групп

Многообразия а. 1гебр — это классы алгебр, определяемые системами тождеств языка первой ступени. Впервые они были точно определены в работах Гаррета Биркгофа [24] и Б. X. Неймана [37]. В настоящее время теория многообразий алгебраических систем — бурно развивающаяся ветвь алгебры, представленная в ряде специальных монографий [4], [7], [14]. В частности, теория многообразий групп прекрасно изложена в монографии X. Нейман [37]. В предисловии к этой книге ее переводчик А. Л. Шмелькин об этой ветви теории групп написал: «. своими результатами и методами она оказа, ла столь сильное влияние на теорию групп, что в настоящее время (1969 г.) является одним из наиболее важных разделов этой теории» .

Последующие годы с одной стороны подтвердили справедливость этой оценки, а с другой стороны логика развития алгебры и, в частности, уни-верса.?1ьной алгебры привела к расширению этих понятий в разных направлениях.

В работе [29] Г. Баумслаг, А. Г. Мясников и В. П. Ремесленников изложили основы алгебраической геометрии над фиксированной группой С В частности, в этой статье введены категория С-груип, понятие С-свободной группы, категории алгебраических множеств над группой С и категория координатных групп для алгебраических множеств над С Логические основания алгебраической геометрии над группами и. зложены в статье [33]. Для решения проблем алгебраической геометрии над группами потребовалось развитие теории универсальных классов групп, заданных универсальными формулами группового языка первой ступени с коэффициентами из фиксированной группы О. В частности, понятия С-тождества и С-многообразия являются весьма существенными в этой теории.

Отметим, что эти понятия, несколько в другой редакции, встречались в работах В. С. Анашина [1, 2, 3], Р. М. Брайанта [31], И. 3. Голубчика и А. В. Михалева [6], Г. М. Таманова [19]. Основной проблемой, интересующей авторов этих работ, была проблема конечной базируемости для С-многообразий. В частности, эта проблема была положительно решена В. С. Анашиным [3] для случая, когда С — конечно порожденная нильпо-тентная или метабелева группа.

Теория степенных групп начиналась работами А. И. Мальцева [11], Г. Баумслага [27], Ф. Холла [23] и Р. Линдона [32]. Аксиоматическое понятие степенной группы введено Р. Линдоном [32] (1960 г.). В работах [13, 35 А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова добавлена новая аксиома к системе аксиом Р. Линдона. Это новое определение более удобно, так как оно совпадает с понятием модуля над кольцом в абелевом случае, что не так в случае аксиоматики Линдона. Понятие степенной группы оказалось весьма плодотворным в современных исследованиях по комбинаторной теории групп (см., например, работы [30], [38], [39]). В диссертации (глава 4) строится теория многообразий степенных групп в смысле этого нового понятия.

Настоящая диссертация посвящена построению теории многообразий в категории С-групп (главы 1−3) и в категории степенных групп (глава 4). В основном исследуются нильпотентные многообразия в этих категориях.

При выполнении работы использовались результаты и методы комбинаторной теории групп, теории нильпотентных групп, а также резу. льта-ты и методы алгебраической геометрии над группами, развитые в работах 29,33.

В диссертации введены и изучены новые понятия в теории групп, такие как О-многообразия, группы редуцированных С-тождеств, коммутаторные подгруппы и главные группы.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1) Доказано, что группа редуцированных А-тождеств ранга п КгААей (<�А) равна единичной группе для двух важных классов групп: a) G — группа, близкая к свободным (например, С — гиперболическая группа без кручения), b) С — относительно свободная нильпотентная группа достаточно большого ранга.

2) Описаны мальцевские базы и треугольные представления для тензорного произведения произвольных абелевых групп.

3) Описана структура группы К, гей (СА) в случае, когда С есть нильпотентная группа ступени нильпотентности < 3.

4) Найдены критерии конечной базируемости С-многообразия, порожденного группой С, в случае, когда С есть нильпотентная группа ступени < 3.

5) Созданы основы теории многообразий нильпотентных степенных групп. Проведено сравнение различных определений нильпотентности и ана.1из алгоритмических проблем для относительно свободных нильпотентных степенных групп.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Перейдем к и, зложению результатов диссертации по главам.

1. Анашин В. С. Смешанные тождества в группах //Мат. заметки. -1978. — Т. 24. — ^ 1. — С. 19−30.

2. Анашин В. С. О функционально полных группах //Мат. заметки. -1977. Т. 22. — 1. — С. 147−151.

3. Анашин В. С. Смешанные тождества и смешанные многообразия групп //Мат. Сб. 1986. — Т. 129 (171). — № 2. — С. 163−174.

4. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.5. б. лудоВ В. В. Нитевые базисы и коммутаторные тождества в группах: дис. доктора физ.-мат. наук. Иркутск, 1995.

5. Голубчик И. 3., Михалев А. В. Обобш-енные групповые тождества в классических группах //Зап. Науч. семинара ЛОМИ. 1982. — Т. 114. -С. 96−119.

6. Диксмье Ж. Универсальные обертываюш-ие алгебры: Пер. с фр. -М.: Мир, 1978. 408 с.

7. Каргаполов М. П., Мерзляков Ю. П., Ремесленников В. Н. О пополнении групп //Доклады АН СССР. 1960. — Т. 134. — С. 518−520.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1996.

9. Кузьмин Ю. В. О метабелевых Р-группах //Успехи мат. Наук. 1972. -Т. 27. — 1. — С. 247−248.

10. Мальцев А. И. Нильпотентные группы без кручения //Изв. АН СССР. Серия математическая. 1949. — Т. 13. — № 3. — С. 201−212.

11. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Формульность множества маль-цевских баз и элементраные свойства конечномерных алгебр //Сиб. матем. журнал. 1982. — Т. 23. — № 2. — С. 97−113.

12. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Степенные группы I: основы теории и тензорные пополнения //Сиб. матем. жури. 1994. — Т. 35.5. С. 1106−1118.

13. Нейман X. Многообразие групп. М.: Мир, 1969.

14. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяюп]-их соотношений в группах. -М.: Наука, 1989. 446 с. — (Современная алгебраВып. 16).

15. Полин С. В. Свободные разложения в многообразиях групп //Матем. сб. 1972. — Т. 87. — № 129. — С. 377−395.

16. Ремесленников В. Н. Два замечания о 3-ступенно нильпотентных группах //Алгебра и логика (семинар). 1965. — Т. 4. — № 2. — С. 59−65.

17. Ремесленников В. П., Романьков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп //Итоги науки и техники. А. лге-бра, топология, геометрия. Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1983. — С. 3−79.

18. Таманов Г. М. Обобп]-енные групповые тождества в линейных группах //Мат. Сборник. 1984. — Т. 123. — ТВА 1. — С. 35−49.

19. Федосеева Ю. М. Алгебраические множества над абелевыми и ниль-потентными группами: дис. Канд. физ.-мат. Наук. Омск, 1998.

20. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: Сб. ст. Ч. 1. М.: Мир, 1974.

21. Холл М. Теория групп. М.: Госиноиздат., 1962. — 468 с.

22. Холл Ф. Нильпотентные группы //Математика: Сб. переводов. -1968. Т. 12. — 1. — С. 3−36.

23. Birkhoff G. On the strukture of abstract algebract //Proc. Cambridge Phil. Soc. 1935. — V. 31. — P. 433−454.

24. Baumslag G. On generahzed free product //Math. Zeitschr. 1962. — V. 7, 8. — P. 423−438.

25. Baumslag G. On free D-grups //Comm. Pure and appl. math. 1965. -V. 18. — P. 25−30.

26. Baumslag G. Lecture Notes on Nilpotent Groups / /C. B. M. S. Regional Conf. Ser. JY2 2. Proridense. — 1971.

27. Baumslag G. A generalization of Theorem of Mal’cev //Acta Math. -1961. 12. — P. 405−408.

28. Baumslag G. Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups //Journal of Algebra. 1999. — V. 219. — P. 16−79.

29. Baumslag G, Miasnikov A. and Remeslennikov V. Residually hyperbolic groups. Preprint 24. — Omsk: IITAM — 1994. — P. 3−37.

30. Brayant R. M. The laws of finite pointed group / /Bull. London Math. Soc, 1982.

31. Lyndon R. Groups with parametric exponents //Trans. Amer. Math. Soc. -1960. P. 518−533.

32. Miasnikov A., Remeslennicov V. Algebraic geometry over groups II: logical foundations. Preprint, p. 1−59.

33. Miasnikov A., Remeslennicov V. Exponential groups II: Extensions of cen-tralizers and tensor completion of CSA-groups Intemath. //Algebra Corn-put. 1996. — № 6. — R 687−711.

34. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups: Iterated free extentions of centralizers. Preprint JYA 16. Omsk: IITAM — 1994. — P. 3 36.

35. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Big powers and free-like groups. Preprint. P. 1−19.

36. Neumann B. H. Identical relations in groups I //Math Ann: 1937. -V. 114. P. 506−525.

37. Kharlampovich O. Myasnikov A. Irreducible affine over a free group I: irreducibility of guadratic and Nullsellensatz //Journal of Algebra. 1998. -T. 200. P. 472−516.

38. Kharlampovich O. Myasnikov A. Irreducible affine varieties over a free group II: sustems in triangular guasi-guadratic form and description of residually free groups //Journal of Algebra. 1998. — V. 200. — Ш 2. -R 517−570.

39. Амаглобели M. Г. Степенные группы III: Многообразия групп. Препринт 5. Новосибирск: ПМ СО РАН, 1993. — С. 14.

40. Амаглобели М. Г. Многообразия степенных групп. Международная конференция по алгебре памяти М. П. Каргаполова: Тезисы докладов. -Красноярск, 1993. С. 10.

41. Амаглобели М. Г., Ремесленноков В. П. Алгоритмические проблемы для нильпотентных степенных групп. Международная конференция по математическои логике, посвяп]-енная 85-летию со дня рождения А. И. Мальцева: Тезисы докл. Новосибирск, 1994. — С. 8−9.

42. Амаглобели М. Г. Ремесленников В. Н. Нильпотентные А-группы ступени 2. Препринт № 16. Новосибирск: НИИ МИОО ПГУ, 1997. — С. 119.

43. Амаглобели М. Г. С-тожденства нильпотентных групп. Препринт У5 29. Новосибирск: НИИ МИОО ПГУ, 1997. — С. 1−18.

44. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. П. л-тождества и С-многооб-разия. Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А. Г. Куроша: Тезисы докл. Москва, 1998. — М.: МГУ, 1998. — С. 134 135.

45. Амаглобели М. Г. Группы редуцированных С-тождеств для групп, близких к свободным: Международная конференция по комбинаторным и вычислительным методам в математике. Омск, 1998. — С. 9−11.

46. Амаглобели М. Г. Треугольные представления тензорных произведений абелевых групп. Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Сб. науч. тр. Омск, 1999. — С. 20−34.

47. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. П. С-тождества и С-многообра-зия //Алгебра и логика, 39, № 3 (2000), 249−272.

48. Амаглобели М. Г. С-тождества нильпотентных групп I //Алгебра и логика, 40, № 1 (2001), З-И •.

49. Амаглобели М. Г. л-тождества нильпотентных групп II //Алгебра и логика, 40, № л (2001), Злтл-ЗлБ" ,.

50. Амаглобели М. Г. Тензорные кольца и структура С-свободных нильпотентных групп ступени < 3. Докл. РАН.-2С?с?/,-Т1377- Ллл." с / д ?

51. Амаглобели М. Г. Структура С-свободных нильпотентных групп ступени 3. Препринт .1У2 32, Омск, ОмГАУ, 2000.

52. Amaglobeli M. G. Varieties of Nilpotent Exponential Groups. Bull. Georg. Acad. Sei., 162, № 2 (2000), 209−211. :

53. Amaglobeli M. G. Algorithmic Problems Reating to Varieties of Exponential Nilpotent Groups. Bull. Georg. Acad. Sei., 161, № 3 (2000), 401−402.