Факторно делимые группы ранга 1

Актуальность темы

Аболевы группы составляют один из важнейший класс групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий и чисел. Первые работы по абелевым группам относятся к 1917;1925 гг. и принадлежат Ф. Леви и X. Прюферу. В середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных абелевых групп, основанная на результатах X. Прюфера [21], Х. Ульма [22] и Л. Цыпина [24]. В конце 30-х годов Р. Бэр [3] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [20]. А. И. Мальцев [29] и Д. Дерри [6] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.

В 40−50-е годы произошло выделение абелевых групп из обтцей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [30].

В 60−70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. В это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения. Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен, в том числе, и выходом монографий И. Капланского [19], Л. Фукса [14] и П. Гриффита [16], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [14], JI. Фукс написал в 1970 и 1974 гг. совершенно новую двухтомную монографию [34].

В последующие годы интерес к примариым группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Б. Йонссоном [17], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых — это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли А. Корнер [5], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [25], [37]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (развитие данного направления отражено в монографии А. Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

Факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бью-монтом и Р. Пирсом [4]. В 90-е годы интенсивно изучался класс смешанных групп, называемый Q. Этот класс был введен в 1994 г. С. Глаз и У. Уи-клессом [15] и ему посвящено значительное количество работ. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса Q в 1998 г. A.A. Фомин и У. Уиклесс в работе [10] определили смешанные факторно делимые группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга, с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов, двойственны. Катсгорная двойственность Уиклесса-Фомина полезна для изучения как смешанных факторно делимых групп, так и групп без кручения конечного ранга. Это прежде всего относится к свойствам, сохраняющимся при квазиизоморфизмах. Знания о группах без кручения конечного ранга и двойственность Уиклесса, — Фомина позволяют прогнозировать свойства факторно делимых групп. Класс смешанных факторно делимых групп к настоящему времени мало изучен. Список работ, посвященных этому классу [1], [2], [10], [12], [13], [23], [33], [35], [36], близок к полному.

В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1. В 1937 г. Р. Бэр в работе [3] дал полное описание групп без кручения ранга 1. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же тип, каждый тип реализуется в качестве тина группы без кручения ранга 1. Любой метод изучения групп без кручения опирается на понятие типа. Учитывая, что двойственность Уиклесса-Фомина сохраняет ранг без кручения, изучение смешанных факторно делимых групп также должно основываться па смешанных факторно делимых группах ранга 1. Именно этому классу и посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является описание факторно делимых групп ранга 1 на языке характеристик.

Новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следующие.

1. Доказано, что две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны, тогда и только тогда, когда их кохарактсристики равны.

2. Доказано, что каждая характеристика реализуется в качестве кохарак-теристики факторно делимой группы ранга 1.

3. Описано тензорное произведение факторно делимых групп ранга 1.

4. Описаны группы гомоморфизмов и эндоморфизмов для факторно делимых групп ранга 1.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором иа конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В. Е. Воскресенского (Самара, 2007), а также на алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова и кафедры алгебры МПГУ.

Также результаты диссертационной работы обсуждались на Всероссийском симпозиуме по абелевым группам (Бийск, 2006), па Международной конференции по абелевым группам (Storrs, CT, USA, 2007), иа 18 алгебраическом коллоквиуме стран Латинской Америки (Medellin, Columbia, 2007), на Международной конференции по абелевым группам (Colorado Springs, СО, USA, 2008) и па 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 65 страниц.

Список литературы

содержит 37 наименований.

1. Albrecht U. F., Wickless W. Finitely generated and cogenerated qd groups // Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Dekker, NY, 2003, 13−26.

2. Albrecht U. F., Breaz S., Vinsonhaler C., Wickless W. Cancellation properties for quotient divisible groups //J. Algebra, 70, 2007, 1−11.

3. Baer R. Abelian groups without elements of finity order // Duke Math. J., 3, 1937, 68−122.

4. Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Illinois J. Math., 5, 1961, 61−98.

5. Corner A. L. A note on rank and direct decompositions of torsion free abelian groups // Proc. Cambridge Philos. Soc., 57, 1961, 230−233- 66, 1969, 239−240.

6. Derry D. Uber eine Klasse von abelischen Gruppen // Proc. London Math. Soc., 43, 1937, 490−506.

7. Files S., Wickless W. Direct sums of self-small mixed groups // J. of Algebra, 222, 1999, 1−16.

8. Fomin A. A., Wickless W. Categories of mixed and torsion free abelian groups // Abelian Groups and Modules. Boston: Kluwer, 1995, 185−192.

9. Fomin A. A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T (G) finite rank divisible // Comm. in Algebra, 26, 1998, 3563−3580.

10. Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc., 126, 1998, 45−52.

11. Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel, 1999, 87−100.

12. Fomin A. A. Quotient divisible mixed groups // Contempt. Math., 273, 2001, 117−128.

13. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups, in the book: Contributions to Module Theory, de Gruyter, 2007, 147−167.

14. Fuchs L. Abelian groups, Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., Budapest, 1958; Pergamon Press, New York-Oxford-London-Paris, 1960.

15. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. in Algebra, 22, 1994, 1553−1565.

16. Griffith P. A. Infinite Abelian Group Theory // The University of Chicago Press, Chicago-London, 1970.

17. Jonsson В. On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math. Scand., 5, 1957, 230−235- 7, 1959, 361−371.

18. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach, Algebra, Logic and Applications, Vol. 13, Amsterdam, 2000.

19. Kaplansky I. Infinite Abelian groups, The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich, 1954, 1960.

20. Kurosh A. G. Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math., 38, 1937, 175−203.

21. Prufer H. Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren Abelschen Gruppen // Math. Ztschr., 17, 1923, 35−61.

22. Ulm H. Zur Theorie der abzahlbar-unendlichen Abelschen Gruppen // Math. Ann., 107, No.5, 1933, 774−803.

23. Wickless W. Multy-isomorphism for quotient divisible groups // Houston J. Math., 31, 2006, 1−19.

24. Zippin L. Countable torsion groups // Ann. of Math., 36, No. 1, 1935, 86−99.

25. Благовещенская E.А., Яковлев A.B. Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения // Алгебра и анализ, 1989, Т. 1, № 1, С. 111−127.

26. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19—25 августа 2006), Бийск: РИО БПГУ, 2006, С. 20−21.

27. Давыдова О. И. Факторно делимые абелевы группы ранга 1 // Фунда-мен. и приклад, матем., 2007, Т. 13, № 3, С. 25−33.

28. Давыдова О. И. Прямые суммы факторно делимые группы ранга 1 //Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского, Самара (21—25 мая 2007.) — Самара: Изд-во Упиверс групп, 2007, — С. 17−18.

29. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб., 1938, Т. 4, С. 45−68.

30. Куликов JI. Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб., 1941, № 9, с. 165−182- 1945, № 16, С. 129−162.

31. Курош А. Г. Теория групп, М.: Наука, 1967.

32. Крылов П. А., Михалев А. В. Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.

33. Фомин А. А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундамсн. и приклад, матем., 2007, Т. 13, № 3, С. 223−244.

34. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, Т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

35. Царев A.B. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сиб. матем. ж., 2005, Т. 46, № 1, С. 312−325.

36. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, № 4. С. 198−214.

37. Яковлев А. В. Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1989, Т. 175, С. 135−153.