1. Периодические тонкие и составные структуры.
Настоящая работа находится на стыке двух направлений — теории усреднения и теории тонких структур. В теории усреднения изучаются периодические микронеоднородные среды, характеристики которых быстро меняются с измельчением периода. Задача теории усреднения — найти постоянные эффективные характеристики и доказать, что среда с эффективными характеристиками в некотором смысле близка исходной. За 30 лет существования теории усреднения появилось огромное количество работ, в том числе много монографий [1−8]. Разработаны различные методы: метод асимптотических разложений Н. С. Бахвалова [9,1], метод компенсированной компактности L. Tartar — F. Murat[10], метод р-связности В. В. Жикова [11,12], метод двухмасштабной сходимости (Nguetseng — Allaire Жиков) [13−17].
С другой стороны, в классической теории упругости рассматривается возникающая из приложений задача об отыскании поля перемещений, которое вызывается внешним воздействием в балке (плоской или пространственной), пластине или сочленении плит и стержней. Все эти физические объекты примеры простейших тонких структур, у которых неоднородность выражается прежде всего в том, что размеры в различных направлениях являются величинами разного порядка, при этом выделяется малый параметр толщины h —" 0.
Еще в XIX в. механиками (Г.Р.Кирхгоф, С. Жермен) замечено, что при h —> 0 тонкие объекты можно описывать особыми уравнениями (уравнениями балки, пластины, мембраны), которые получаются редукцией размерности при переходе к пределу при h —> 0 из общей системы уравнений Ламе. При этом происходит переход от тонкой структуры к сингулярной, размерность которой меньше размерности объемлющего пространства. Понижение размерности в задаче сопровождается повышением ее порядка: из системы уравнений Ламе возникают уравнения четвертого порядка. Подобные результаты вошли во все классические учебники по теории упругости (см., например, [18−22]).
В последние 30 лет появилось большое количество работ с математическим обоснованием этого подхода (Назаров С.А., Слуцкий А. С., Панасенко.
Г. П., Ciarlet P.G., Destuynder Р и многие другие авторы.). Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях [23,24]. Ключевую роль в этих работах играет неравенство Корна, с помощью которого можно оценить поле перемещений и его полный градиент через поле напряжений в нормах лебеговых пространств. Вид неравенства Корна и вхождение в него параметра h сильно зависят от геометрии тонкой структуры. Отыскание «точного вида» неравенства Корна — необходимое условие для обоснования предельного перехода.
В данной работе изучаются задачи, лежащие на стыке двух изложенных выше направлений. Для решения их требуются наряду со старыми методами качественно новые подходы, разработке которых и посвящена диссертация.
1. Дадим определение тонкой периодической структуры. Пусть Fh -1-периодическая структура, которая характеризуется «толщиной» h > 0 и при h —> 0 переходит в некоторую предельную структуру F с «нулевой толщиной». Гомотетическое сжатие где h (e) —> 0 при е —" О, задает-периодическую структуру толщины eh (e). Тонкие структуры Fh удобно описывать как носители 1-периодических борелевых мер слабо сходящихся при h —> 0 к мере //, задающей предельную или сингулярную структуру F.
Перечислим модельные примеры.
1. Сетки. Пусть F — периодический граф (сетка) на плоскости, цнормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там линейной мере Лебега. Тогда Fh — объединение всех полос ширины 2h > О, симметричных относительно соответствующих звеньев из F, fih — нормированная мера, сосредоточенная на Fh и пропорциональная там плоской мере Лебега. Аналогично определяются периодические стержневые структуры в Ж3.
2. Ящичные структуры. Пусть F — периодическая ящичная структура в Ш3, состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, // периодическая нормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там плоской мере Лебега. Тогда Fh — объединение бесконечных плит толщиной 2h > 0, симметричных относительно соответствующих плоскостей из структуры F, fih — периодическая нормированная мера, сосредоточенная на Fh и пропорциональная там пространственоой мере Лебега.
3. Составные структуры на плоскости. Здесь мера ц, равна полусумме плоской меры Лебега и описанной выше естественной меры на сингулярной сетке F, a fih — полусумма плоской меры Лебега и естественной меры на тонкой сетке Fh. Таким образом, мы имеем плоскость, «армированную» сеткой Fh.
4. Составные структуры в пространстве. Здесь мера /1 равна полусумме пространственной меры Лебега и естественной меры на сингулярной ящичной структуре F, a ph полусумма пространственной меры Лебега и естественной меры на тонкой ящичной структуре Fh.
Обычно мера р, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в объемлющем пространстве, dph = ph (x)dx. Если dph = dp = dx есть мера Лебега, имеем классическое усреднение. Случай, когда dp, h = dp, = pdx, где р — характеристическая функция некоторого открытого периодического множества, соответствует усреднению в перфорированной области.
Впервые усреднение на тонких периодических структурах было рассмотрено Н. С. Бахваловым и Г. П. Панасенко более 20 лет назад. Для задачи о стационарном распределении тепла на плоском прямоугольном каркасе [1,глава 8] был установлен следующий результат: для любой h{с) —> 0 предельное при е —> 0 распределение тепла одно и то же и находится из классического типа усредненного уравнения, рассматриваемого в сплошной области, на которую натянут каркас.
В аналогичных задачах теории упругости полная картина усреднения прояснилась лишь в последнее время. В 2001;2002 гг. В. В. Жиковым [25,16] обнаружен масштабный эффект для задач теории упругости на периодических тонких структурах, который не наблюдается в скалярных задачах. Этот эффект заключается в том, что усреднение зависит от величины lim h (e)/? = в, 0е[О, оо]. 0.
При этом усредненное уравнение теряет классический характер и становится «двухмасштабным». В. В. Жиковым [16] получен принцип усреднения для достаточно тонких и достаточно толстых упругих структур, когда 0 = 0 или в = оо соответственно. Усреднение в наиболее сложном случае, когда структуры имеют критическую толщину, то есть в = const > 0, изучено в совместных работах В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой [26,27], а также в работах С. Е. Пастуховой [87, 88, 91]. Следует отмстить основанные на другой технике работы Г. П. Панасенко [63−65].
Тонкая структура представляет собой каркас в пустоте. Сочленение тонкой структуры с однородной средой дает составную структуру. Например, это может быть плоскость или пространство с встроенными в них тонкой сеткой или тонким ящичным каркасом. Составной структуре соответствует составная мера, равная полусумме меры Лебега в объемлющем пространстве и естественной меры на тонкой структуре, dp*1 =, Видим, что dph = ph (x)dx с плотностью ph (x), сильно контрастной при h 0: ph (x) = 0(1) и ph{x) = 0(h~l) соответственно вне тонкой структуры Fh и на ней. В этом смысле составная структура моделирует армированную среду определенного вида.
На составных структурах (и это сильно отличает их от тонких) усреднение скалярных задач и задач теории упругости однотипно [89, 92]: нет масштабного эффекта и усредненное уравнение имеет классический характер. Различие между тонкими и составными структурами проявляется также в неравестве Корна и в структуре так называемых периодических жестких перемещений для предельной меры.
2. Дадим точную постановку задачи на тонкой структуре. Через, А = {aijSp} обозначим тензор упругости, подчиненный обычным условиям симметрии: dijsp = aspij = со£2, со > 0.
Для изотропного тензора имеем + ?tr?, к > 0, к > 0, (0.1) где Е единичная матрица, tr? — след матрицы.
В пересечении ограниченной липшицевой области Q с тонкой структурой Fj1 = eFh (являющейся сжатием в е-1 раз 1-периодической структуры Fh) получаем перфорированную область ГI П Ff сложной геометрии (см. рис. 20). Свяжем с этой областью пространство Wejг — замыкание множества Co°(Q)d по норме 1 2 if d (pi dp ¦ Л p-p + e (p)-e (p)]dx J, e (ip) = - < + ^ - тензор деформации. nrFeh.
Рассмотрим задачу: найти вектор-функцию u?'h G We h, для которой выполнено интегральное тождество j Ae{u?'h)-e (ip)dx = ilnFp J f. tpdx V^J € Со00^, / e C°°(Q)d.
UnF'1.
0.2).
Это обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области fi П Fe/l, когда на сШ П dF}el задается условие закрепления, т. е. условие Дирихле u?'h = 0, а на остальной части границы области QnF1 — условие отсутствия напряжений: Ae (u?'h)n = 0, п — нормаль к границе.
Для широкого класса тонких структур доказано равномерное по е, h неравенство Корна (см. гл. 2).
J И2dx < с J e ((p)2dx, р € CS°(Q)d. (0.3).
Из него следует, что решение u?, h ограничено вместе с тензором деформации e (u?'h), т. е. справедлива оценка.
1 f (u?'hf + e (u?'h)2)dx.
QnFch в которой константа С не зависит от е, h. Эту оценку следует рассматривать как стартовую для дальнейшего исследования.
Цель усреднения состоит в том, чтобы изучить поведение решения u?'h при е —> 0 и найти уравнение, которому удовлетворяет предельная функция. Случай, когда толщина h > 0 — фиксирована, охватывается классической теорией усреднения в перфорированных областях, см. [1], [4], [6]. Будем считать, что толщина структуры стремится к нулю вместе с ?, т. е. h = h{e) —> 0 при е —> 0. Для скалярной задачи на тонкой сетке в книге Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [1] доказана «сильная» сходимость.
UnFpгде u?'h (x) — решение задачи вида (0.2), — решение усредненной задачи.
Дирихле и0 енЦп), -diwihornVu0 = /.
При этом усредненная матрица Ahom определяется с помощью некоторой периодической задачи на сингулярной сетке F. Важно, что предел решений и e, h не зависит от способа стремления h к нулю, [1, гл. 8].
Особенностью задачи теории упругости является то, что решение ue’h «осциллирует» и для него, вообще говоря, не может быть сильной сходимости (0.5). Более точно, в нулевом приближении решение v?, h (x) имеет вид и (х, j), где и (х, у) — функция двух переменных, периодическая по аргументу у. Функция и (х, у) служит «двухмасштабным пределом» последовательности u?'h. При этом структура функции и (х, у) и уравнение, которому она удовлетворяет, существенно различаются в указанных выше трех случаях (в = 0, в = оо, в > 0), хотя всегда и (х, у), как функция аргумента -</, есть «периодическое жесткое перемещение на сингулярной структуре F» .
Поясним это ключевое понятие. Скажем, что заданный на сингулярной структуре F вектор и G d/i)(i есть периодическое жесткое перемещение, если найдется последовательность гладких периодических векторов <рь? такая, что tpb -" и, е (р6-) 0 в L2(Y, dfi). Множество периодических жестких перемещений будем обозначать через.
Я.
Основную роль в теории усреднения играет возможность единственного представления периодического жесткого перемещения и (у) = с + х (у), (0−6) в котором с — постоянный вектор, а х ~ поперечное перемещение. Последнее означает, что на каждом составляющем структуры F (звене сетки или грани ящичного каркаса) вектор х ортогонален этому составляющему п.в. Таким образом, справедливо (неортогональное) разложение «Л = IR^ + где — множество всех поперечных перемещений. Это свойство меры fi (или самой структуры) аналогично так называемой 2-связности меры в скалярной теории и в дальнейшем называется просто связностью.
Представление (0.6) доказано для модельных сеток и ящичной структуры. Для сеток общего вида мы вводим специальное геометрическое условие, обеспечивающее связность структуры. Оно заключается в том, что узлам можно приписать целочисленную метку или уровень, так что каждый узел связан двумя неколлинеарными (в трехмерном случае — тремя некомпланарными) ребрами с узлами меньшего уровня.
В соответствии с (0.6) нулевое приближение для u?'h (или двухмасштаб-ный предел) имеет структуру и (х, у) = uQ (x) + х{х, у), х (х, •) е.
Компонента и0 принадлежит соболевскому пространству и является решением обычного типа усредненного уравнения.
— divAhome (u°) = f в П. (0.7).
Это верно как в критическом случае 9 > 0, так и для достаточно толстых структур. В последнем случае компонента х — 0? выполнено соотношение (0.5) и на этом усреднение задачи заканчивается. Для структур критической толщины ответ выглядит сложнее.
Например, для сеток компонента х{х-, У) определяется как решение некоторой хорошо поставленной периодической задачи на сингулярной сетке. Эта задача включает в себя уравнения балки на каждом звене и условия закрепления и сопряжения в узлах. Вместо сходимости (0.5) возникает сходимость j u^h{x)-ux)-x{x^-lx)2dx-,^ (0.8).
Qn Fsh что является частным случаем «сильной двухмасштабной» сходимости.
Можно сказать, что компонента и°(х) описывает (при малых е) перемещение системы узлов как целого, а компонента x (xi у) — поперечное отклонение каждого стержня.
Если область неограничена (или она ограничена, но неравенство Корна (0.3) не имеет места) мы рассматриваем «резольвентное» уравнение.
J [Ae (u?'h) ¦ е (<�р) + u?'h • ipdx = Qn F/1.
0.9) J f-ipdx Vp e cnny*, fec°°(ti)d. finFj1.
1. G. Nguetseng, A general convergence result for a functional related to the theory of homogcnizaion // SIAM J. Math. Anal., 1989, v.20, p.608−623.
2. G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal., 1992, v.23, p.1482−1518.
3. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Матем. сб., 2000, т.191, N7, с.31−72.
4. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярный структурах // Изв. РАН. Серия мат., 2002, т.66, N2. с.81−148.
5. Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2003, вып.23, с.149−186.
6. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М. Мир, 1974.
7. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
8. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
9. Партон В. З., Перлин В. И. Методы математической теории упругости. М. Физматгиз, 1981.
10. Назаров С. А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ, 1995, т.7, N5. с.1−92.
11. Назаров С. А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Т. 1. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002. — 408 с.
12. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. II. Theory of plates, Studies in Math, and Applications, 1997, v.27, Elsevier, Amsterdam.
13. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Докл. РАН, 2001, т.380, N6, с.741−745.
14. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Докл. РАН, 2002, т.385, N5, с.590−595.
15. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Математический сборник, 2003. т. 194, N5. с.61−95.
16. Пастухова С. Е. О характере распределения поля температур в перфорированном теле с заданным его значением на внешней границе в условиях теплообмена на границе полостей по закону Ньютона // Мат. сб., 1996, т.186, N6, с.110−120.
17. Пастухова С. Е. О характере затухания перемещений в упругом периодически перфорированном теле с заданной деформацией внешней границы при упругих связях на границе полостей // Диф. уравн., 1996, т.32, N10, с.1401−1409.
18. Пастухова С. Е. Об одной задаче теории упругости для периодически перфорированного тела // УМН, 1996, т.51, вып.5, с. 208.
19. Пастухова С. Е. Обоснование асимптотики решения смешанной задачи для стационарной теплопроводности в перфорированной области // Труды Моск. Мат. общества, 1997, т.58, с.88−101.
20. Пастухова С. Е. Обоснование закона Дарси для пористой среды с условием неполного прилипания // Мат. сб., 1998, т.188, N12, с.135−153.
21. Пастухова С. Е. Усреднение системы уравнений Стокса в перфорированной области с условием неполного прилипания // УМН, 1998, т.53, вып.4, с.149−150.
22. Пастухова С. Е. Усреднение стационарной системы Стокса в перфорированной области со смешанным условием на границе полостей // Диф. ургшн., 2000, т.36, вып.5, с.679−688.
23. Пастухова С. Е. Об усреднении одного вариационного неравенства для упругого тела с периодически расположенными трещинами //Мат. сборник, 2000, т.191, вып.2, с.149−165.
24. Пастухова С. Е. Усреднение смешанной задачи с условием Синьорини для эллиптического оператора в перфорированной области // Мат. сборник, 2001, т.192, вып.2, с.140−156.
25. Пастухова С. Е. Спектральные асимптотики для одной стационарной задачи теплопроводности в перфорированной области // Мат. заметки, 2001, т.69, вып.4, с.600−612.
26. Пастухова С. Е. Эффект осциллирующей границы при усреднении одной задачи климатизации // Диф. уравн., 2001, т.37, вып.10, с.1−7.
27. Pastukhova S.E. Homogenization for some problems with inequality type boundary condition in elasticity theory // International conference «Differential Equations and Related Topics» (Moscow, May 22−27, 2001), p.322.
28. Pastukhova S.E. Homogenization of mixed problem with Signorini condition for nonlinear elliptic operator in perforated domains // International conference «Nonlinear Patial Differential Equations» (Kyiv, August 22−28, 2001), p.93−94.
29. Пастухова C.E. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на сингулярных периодических структурах // Доклады РАН, 2002, т.382, N1, с.7−10.
30. Пастухова С. Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на тонких периодических структурах // Доклады РАН, 2002, т.383, N5. с.596−600.
31. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных структурах критической толщины // Доклады РАН, 2002, т.387, N4, с.447−451.
32. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических стержневых каркасах критической толщины // Доклады РАН, 2004, т.394, N1, с.26−31.
33. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодической составной структуре // Доклады РАН, 2004, т.395, N3, с.316−321.
34. Пастухова С. Е. Об аппроксимативных свойствах соболевских пространств теории упругости на тонких стержневых структурах // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.89−106.
35. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных и стержневых каркасах критической толщины // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.51−98.
36. Пастухова С. Е. Об усреднении задач теории упругости на составных структурах // Записки научных семинаров ПОМИ, 2004, т.310, с.1−30.
37. Пастухова С. Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном гильбертовом пространстве // Труды семинара имени И. Г. Петровского, 2004, вып.24, с.216−241.
38. Пастухова С. Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном пространстве// Доклады РАН, 2004, т.397, N5, с.596−601.
39. Пастухова С. Е. Аппроксимативные условия и предельный переход в соболевских пространствах на тонких и составных структурах // Современная математика и ее приложения, 2004, т.16, с.47−63.
40. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на тонких структурах: проблема корректора // Доклады РАН, 2005, т.401, N1, с.1−6.РисункиРис. 1Л f JA4гРис. 2.
