Работа посвящена исследованию максимальных абелевых подгрупп группы Qп верхних I — треугольных матриц порядка ть над произ-вольным полем К.
Если К — конечное поле, то группа Q является универсальной р — группой в том смысле, что любая конечная р — группа изоморфна некоторой подгруппе группы Q (при подходящем 71)."I"Изучение абелевых подгрупп группы Q представляет самосто• t"ятельный интерес для теории линейных групп, оно важно также для построения теории представлений абелевых р — групп над полем характеристики р.
Абелевы подгруппы группы QL (Ti, К) изучались в работах И. Щура /I /, М. Ф. Кравчука /2, 3/, Д. А. Супруненко /4 /. Модернизированное изложение результатов М. Ф. Кравчука содержится в работе /4/.
В случае простого конечного поля К в/5 / и/6 / описаны все абелевы подгруппы максимального порядка группы Q в /7 / -абелевы подгруппы максимального порядка в группах Шевалле типаAn, Сп t D^ над конечным полем К, а в /8/ - абелевыунипотентные подгруппы максимального порядка конечных ортогональных групп.
Мы рассматриваем конструктивные методы построения максимальных абелевых подгрупп группы G опирающиеся на характеризацию одного экстремального класса абелевых подгрупп в Q — групп, являющихся централизатором одной матрицы. Полное описание этогокласса максимальных абелевых подгрупп группы G дается в главеft2, которая занимает центральное место в этой работе.
Заметим, что задача об абелевых подгруппах группы которые в Qn являются централизатором одной матрицы, не эквивалентна такой же задаче для группы QL (Tl, K) t для элементов которой имеется каноническая форма Фробениуса. Действительно, централизатор в Q матрицы может быть абелевым и тогда, когда71 TLцентрализатор этой матрицы в неабелев (соответствующиепримеры легко указать уже для 71 = 3).
Пусть (i f i) — первая из клеток (i, j>) (t, j-) >(i таких, что функция а^ (%) не является линейной комбинацией функцийа. (9)=^,. а. С^) =oi.
Тогда полагаем об = OL. (а).* ' H+iТеорема I.I. Цусть, А — максимальная абелева подгруппа группы Qft над простым полем It из р элементов (р — простое).
Пусть. — множество указанных выше клеток, где расположены независимые параметрыоб о^ (L< > г > ' ' ' •" i 'Будем говорить, что клетка подчинена клетке, если t? 2 и для некоторой степени pm имеем 6 () =t.
Подмножество (3)<. < ъ) множества ^ назовем базовым, если одновременно выполняются два условия:1) Каждая из клеток Wl подчинена по крайней мере одной из клетокт.
2) В любой паре различных клеток из Ш! ни одна из них не подчинена другой.
Теорема 2.1. Цусть Ш1 — базовое подмножество клеток для фиксированных элементов ^.,? в (2).
ТогдаА- («,)•.•(#,)•-I ч>Теорема 3.1. позволяет получить прямое разложение ряда классов максимальных абелевых подгрупп группы G над конечным полем.
Следующая теорема, относящаяся уже к конечномерным алгебрам над полем Ж примыкает к теореме I.I.
Образуем множество Q ={ 1 + эс} х е V. Тогда Q — группа порядка рт.
Теорема 4.1. Существует такое прямое разложение группыmiчто элементыт4 тг{в,.д }образуют It — базис радикала 1/ алгебры А.
Как уже отмечалось, 2-ая глава занимает центральное место в диссертации. Здесь описан важный экстремальный класс максимальных абелевых подгрупп группы (ц — абелевы группы, являющиеся в Qn централизатором одной матрицы.
Доказаны следующие теоремы и предложения: Предложение 1.2. Централизатор Z (A) абелев тогда и только тогда, когда матрица, А сопряжена в (5 с матрицей В= IIб. II вида: TL Ъф.
1. Sckur 0. Zur iheorie der vertauschBaren Matrizen. 2. Qreee, Band 130, 1905, 66−75.
2. Кравчук М. Ф. 0 группах перестановочных матриц. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, сер. 2, т. 14, 1914, с. 169−176.
3. Кравчук М. Ф., Гольдбаум Я. С. Про групи комутативних мат-риць. Тр. KAI, т. 5, 1936, с. 12−23.
4. Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. Минск, Наука и техника, 1966.
5. Qooze-ff С/.Т kBeiian р-би&дгоирь о/ the genera? Bineer group, д. Huitrae MatH. Soc., 1970, 11, p.257−259.
6. Thuiltes Q.N. The. АВеС^сип p-swBgroicps QL,(n, K) o>f maximcLe rctnk. Виве. London Vatk. Soc., 1972,4, p. 313−320.
7. Barry «З.Э. Large aBeticun subgroups о/ CHevaeEey groups. 2. kubtrai Mat&.Soc., 1979, 27, p. 59−87.
8. V/ощ W. C7. ABetian unipotent mByroupi о/ orthogonat groups. VAubtrcLt MaifL. Soc., 1982,32, p. 223−245.
9. Князева В. Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы треугольных матриц. № 1850−78. Деп. от 8.06.78.
10. Князева В. Ф. Об одном типе максимальных абелевых подгрупп группы треугольных матриц. J& 937−79. Деп, от 16.03.79.
11. Князева В. Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы Iтреугольных матриц над произвольным полем. Доклады АН УССР, сер. А, 1984, № 12, с. 14−16.
12. Князева В. Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы Iтреугольных матриц над произвольным полем. гё 391 Ук-84. Деп. от 2.03.84.
