Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

В коммерческой деятельности примерами многоканальных систем массового обслуживания являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами. Бесплатная справочная служба по наличию в автомагазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет семь телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно. Следовательно, автомагазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль. Туристские фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании, представленную на рис. 5.13, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X.

Рис. 5.13.

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность ц. По числу заявок СМО определяются ее состояния S представленные в виде размеченного графа:

S₀ — все каналы свободны, k = 0;

Sy — занят только один канал, k = 1;

S₂ — заняты только два канала, k = 2;

Sj< — заняты k каналов;

S_n — заняты все п каналов, k = п.

Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например 5₀ ^в S, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью X, а обратно — под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью р. Для перехода системы из состояния 5* в S^- безразлично, какой именно из каналов освободится, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность /ер, следовательно, поток событий, переводящий систему из 5″ в 5"_i, имеет интенсивность яр. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера-математика — основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения —гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга.

Вычислив все вероятности состояний /7-канальной СМО с отказамиРоуР>Р2> —уРь —>Рт можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все п каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S_n

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому.

На этом основании относительная пропускная способность определяется по формуле.

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле.

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и, но другой формуле.

Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что-то же самое, среднее число каналов, занятых обслуживанием

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определяется отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу.

Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости ?_зан и простоя ?_пр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов:

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определяется формулой Литтла.

Пример 5.11. Определим оптимальное число телефонных номеров, необходимых для установки на коммерческом предприятии, при условии, что заявки на переговоры поступают с интенсивностью X = 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону составляет t₍₎c_)C = 2 мин.

Целевая функция в общем виде может быть записана следующим образом:

Решение.

Исчисляем показатели обслуживания для п = 1 одноканальной СМО:

• интенсивность обслуживания.

р = А/Р = 3;

• • интенсивность нагрузки
• • доля времени простоя каналов

Следовательно, 25% в течение часа телефон будет не занят, t_up = = 15 мин.

Доля заявок, получивших отказ на переговорах, равна

Значит, 75% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок составит

следовательно, 25% из числа поступивших заявок будут обслужены. Среднее число каналов, занятых обслуживанием, равно.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, телефон на 75% занят обслуживанием. Абсолютная пропускная способность системы.

Очевидно, такая СМ О с одним каналом будет плохо справляться с обслуживанием заявок, поскольку потеря поступающих на переговоры заявок составляет 75% — очень велика, а вероятность обслуживания — всего 25%, кроме того, мала пропускная способность системы: только 22 заявки в час из 90 поступивших. Следовательно, необходимо увеличить число каналов. Для определения оптимальной величины проведем аналогичные вычисления для п = 2,3,4,5,6, а полученные результаты запишем в табл. 5.10.

На основе полученных результатов можно установить, что оптимальное число телефонных номеров приходится па 5 телефонных аппаратов, поскольку в этом случае доля обслуженных заявок составит 90% и только 10% заявок получат отказ, а абсолютная пропускная способность СМО составит 81 заявку в час. При изменении критерия эффективности и введении дополнительных ограничений, например, но затратам на приобретение, установку и содержание телефонов, а также затрат на обеспечение сотрудников служебными

Таблица 5.10

переговорами и их необходимого количества установленная величина телефонных номеров может измениться. Таким образом, изменение условий меняет ответ, и, следовательно, задача носит многокритериальный характер, поскольку здесь необходимо в целевую функцию и алгоритм решения задачи еще ввести показатели коммерческой деятельности.

Пример 5.12. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей и осуществляет часть переговоров, но трем телефонным линиям. В среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров справочного характера составляет 2 мин. Определим характеристики СМО, дадим оценку работы СМО.

Решение

Определяем интенсивность загрузки.

Находим вероятность того, что обслуживанием не занят ни один канал.

• занят один канал.

• заняты два канала.

• заняты три канала, доля потерянных заявок (необслуженных).

• относительная пропускная способность.

• абсолютная пропускная способность.

• среднее число занятых каналов.

• коэффициент занятости каналов

Доля потерянных заявок составляет около 28%, это очень много, а обслуженных — всего 72%. Абсолютная пропускная способность СМО — 54 заявки в час; каждый из каналов занят обслуживанием всего 60% рабочего времени. Повышение эффективности работы СМО можно осуществить путем увеличения количества телефонных линий п и уменьшения среднего времени обслуживания.

Пример 5.13. Туристская фирма обслуживает клиентов по телефону, имеющему разветвление на четыре линии. Проведенные исследования показали, что в среднем за один час работы поступает 100 запросов. Среднее время переговоров референтов фирмы с клиентом по телефону составляет 2,5 мин. Необходимо дать опенку работы такой СМО, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 5.14.

Рис. 5.14.

Решение

Определяем:

• интенсивность обслуживания.

• интенсивность нагрузки.

• долю времени простоя референтов фирмы.

• вероятность занятости обслуживанием всех четырех линий.

что определяет долю необслуженных заявок, которые получили отказ в получении возможности провести переговоры с референтом;

• относительную пропускную способность.

• абсолютную пропускную способность фирмы.

• среднее число занятых каналов

• коэффициент занятости каналов.

Доля необслуженных клиентов составляет 32%, почти треть, а обслуженных клиентов — 68%, абсолютная пропускная способность равна 68 клиентам в час, а отношение потерянных денег к заработанным — в среднем 48%, следовательно, система работает с большими потерями.

Можно увеличить количество линий разветвления телефона до восьми каналов соответственно введением еще четырех референтов и снижением времени обслуживания до 2 мин, пропускная способность возрастает до 98,7%, следовательно, потери переговоров будут незначительны, а доход турфирмы от продажи путевок может увеличиться.

• возможное отношение «потерянные деньги/заработанные деньги» при средней стоимости путевки 300 у.е.

В реальной жизни задача выглядит значительно сложнее, поэтому необходимо детализировать постановку задачи, учитывая запросы, требования как со стороны клиентов, так и со стороны турфирмы.

Для увеличения эффективности работы турфирмы необходимо смоделировать в целом поведение потенциального клиента от начала операции до ее завершения. Структура взаимосвязи основных систем массового обслуживания фактически состоит из СМО разного вида (рис. 5.15).

Проблема с позиции массового обслуживания туристов, уезжающих на отдых, заключается в определении точного места отдыха (тура), адекватного требованиям претендента, соответствующего его здоровью, финансовым возможностям и представлениям об отдыхе в целом. В этом ему могут способствовать турфирмы, поиск которых осуществляется обычно из рекламных сообщений СМО_р, затем после выбора.

Рис. 5.15.

фирмы происходит получение консультаций по телефону СМО_т, после удовлетворительного разговора приезд в турфирму и получение более детальных консультаций лично с референтом, затем оплата путевки и получение обслуживания от авиакомпании по перелету СМО_а и в конечном счете обслуживания в отеле СМО₍₎. Дальнейшее развитие рекомендаций по улучшению работы СМО фирмы связано с изменением профессионального содержания переговоров с клиентами по телефону. Для этого необходимо углубить анализ, связанный с детализацией диалога референта с клиентами, поскольку далеко не каждый переговор по телефону приводит к заключению договора на приобретение путевки. Проведение формализации задачи обслуживания указало на необходимость формирования полного (необходимого и достаточного) перечня характеристик и их точных значений предмета коммерческой сделки. Затем проводятся ранжирование этих характеристик, например методом парных сравнений, и расположение в диалоге по степени их значимости, например: время года (зима), месяц (январь), климат (сухой), температура воздуха (+25°С), влажность (40%), географическое место (ближе к экватору), время авиаперелета (до 5 часов), трансфер, страна (Египет), город (Хургада), море (Красное), температура воды в море (+23°С), ранг отеля (4 звезды, работающий кондиционер, гарантия наличия шампуня в номере), удаленность от моря (до 300 м), удаленность от магазинов (рядом), удаленность от дискотек и других источников шума (подальше, тишина в течение сна в отеле), питание (шведский стол — завтрак, ужин, частота изменения меню за неделю), отели (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), экскурсии (Каир, Луксор, коралловые острова, подводное плавание), увеселительные шоу, спортивные игры, цена путевки, форма оплаты, содержание страховки, что брать с собой, что купить на месте, гарантии, штрафные санкции.

Есть еще один очень существенный показатель, выгодный для клиента, установить который предлагается самостоятельно въедливому читателю. Затем можно, используя метод попарного сравнения перечисленных характеристик x_if сформировать матрицу п х п сравнения, элементы которой заполняются последовательно по строкам по следующему правилу:

После этого определяются значения сумм оценок по каж;

N

дому показателю строки 5, = Ц а_1р вес каждой характеристи- ₉ и-1.

ки Mj = Sj/n и соответственно интегральный критерий, на основе которого можно провести выбор турфирмы, тура или отеля по формуле.

С целью исключения возможных ошибок в этой процедуре вводят, например, 5-балльную шкалу оценок с градацией характеристик Б_г(х,) по принципу: хуже (Б/ = 1 балл) — лучше (Б/ = 5 баллов). Например, чем дороже тур, тем хуже, чем он дешевле, тем лучше. На этом основании целевая функция будет иметь другой вид.

Таким образом, можно на основе применения математических методов и моделей, используя преимущества формализации, точнее и более объективно сформулировать постановку задач и значительно улучшить показатели СМО в коммерческой деятельности для достижения поставленных целей.