Теорема Бэкингема (я-теорема)

Этот метод получения критериев подобия лежит в основе инженерного эксперимента. С помощью данного метода существенно сокращается число переменных, между которыми должна быть экспериментально установлена расчетная зависимость.

Пусть, например, некоторая размерная физическая величина А_г является функцией других переменных А₂, А₃, …, А_п. Общий вид уравнения, описывающего данный процесс:

Любое физическое уравнение должно быть размерно-однородным. Это означает, что физические величины А₂, А₃, …, А, должны быть в таких комбинациях, чтобы каждое слагаемое в правой части уравнения (1.1) имело размерность А_х. Приведем (1.1) к безразмерному виду путем деления всех слагаемых правой части на Ар.

где л_ь л₂, … — безразмерные комплексы.

Чаще всего безразмерные комплексы могут быть получены в виде степенной функции.

где a, b, i, к — показатели степенной функции.

Теорема Бжингема: число безразмерных комплексов равно числу размерных физических величин за вычетом числа основных размерностей.

Основные размерности в задачах гидромеханики — единицы длины, массы, времени. В теплотехнике к ним добавляется температура.

В задачах гидромеханики число основных размерностей к = 3. Таким образом, если обозначим число размерных физических величин через п, а число безразмерных комплексов — через т, то согласно л-теореме.

Для определения структуры безразмерных комплексов необходимо ввести понятие физических величин с независимыми размерностями. Эти размерности должны удовлетворять двум требованиям:

• 1) должны включать все основные размерности;
• 2) размерность каждой из них не может быть получена комбинированием остальных, т. е. представлена в виде степенного многочлена. Этим требованиям в задачах гидромеханики удовлетворяют физические величины v, р, d:

Технику раскрытия безразмерных комплексов рассмотрим на следующем примере.

Пример 1.4

Рассмотрим осаждение твердой шарообразной частицы в жидкой среде под действием силы тяжести.

Сила сопротивления среды при движении твердого тела является функцией скорости, вязкости, плотности жидкости и диаметра частицы:

Пять размерных физических величин согласно л-теореме могут быть заменены двумя безразмерными комплексами. Приступим к раскрытию этих комплексов.

Поскольку v, р, d — величины с независимыми размерностями, безразмерные комплексы можно представить в следующем виде:

Общий вид функциональной зависимости был выбран в виде степенной функции как наиболее часто встречающейся при описании физических явлений. Теперь необходимо подобрать значения х, у, z, при которых размерности Л1 и я₂ равнялись бы единице (были бы безразмерны).

Заменим физические величины их размерностями, выраженными через основные:

Приравниваем показатели степеней при одинаковых членах в правой и левой частях выражения. В результате получим систему уравнений:

откуда.

Отсюда получим безразмерный комплекс:

Аналогично раскрываем комплекс я₂. В результате получим величину, обратную критерию Рейнольдса:

Поскольку я-теорема не определяет конкретного вида зависимости между безразмерными комплексами, то в общем виде запишем:

После преобразования получим:

где Ъ, — коэффициент сопротивления среды, являющийся функцией крите- nd

рия Рейнольдса;—площадь проекции тела на плоскость, перпендику;

4 2.

р гг

лярную направлению движения; ——динамический (скоростной) напор.

Пример 1.5

Рассмотрим движение жидкости по трубе круглого сечения диаметром d, длиной /. Требуется определить потери давления на трение Лр. В общем виде запишем:

Согласно я-теореме, вместо шести размерных физических величин будем иметь три безразмерных комплекса:

Раскроем эти комплексы, заменив физические величины их основными размерностями:

Приравниваем степени при одинаковых членах:

В результате получим критерий Эйлера:

Аналогично раскроем второй и третий комплексы. Получим:

Поскольку л-теорема не раскрывает конкретной связи между критериями, поэтому в общем виде можно будет записать:

или.

где/(Re) — коэффициент трения X.

В итоге получим формулу Дарси — Вейсбаха:

Вопросы и задания для самопроверки

^[1][2][3]

• 4. В чем сущность физического и математического моделирования?
• 5. Поясните сущность подобия как основания для моделирования.
• 6. Раскройте подобие: геометрическое, временное и физическое.
• 7. Перечислите критерии подобия и способы их получения.
• 8. На конкретном примере раскройте способ получения критерия подобия при условии, что известно уравнение процесса.
• 9. Сформулируйте л-теорему. Раскройте понятие основных размерностей.
• 10. На конкретном примере раскройте способ получения критерия подобия с использованием метода анализа размерностей.

• [1] Какой критерий положен в основу классификации основных процессов?
• [2] В чем заключается принцип составления уравнений материальных и тепловых балансов?
• [3] Раскройте сущность критериев оптимизации (энергетического, экономического).