Уравнения лагранжа второго рода

В вариационном принципе Д’Аламбера—Лагранжа, справедливом для систем с идеальными голономными связями, набор возможных перемещений должен принадлежать касательному пространству к конфигурационному многообразию, т. е. (6г,…6г^) е е Т"М Таким образом, координаты вектора х и вектора возможных перемещений должны удовлетворять определенным условиям. Идея Лагранжа состоит в ведении набора независимых параметров, через которые выражаются координаты всех точек и векторы возможных перемещений. Математическая реализация этой идеи базируется на понятии дифференцируемого многообразия и его структуры.

Пусть М с E^lN — конфигурационное многообразие системы N материальных точек. Размерность многообразия л = 3/V- /, где / — число связей, а само многообразие.

Многообразие М предполагается односвязным, функции fj (x, I) — дифференцируемыми по всем аргументам, а векторы —.

линейно независимыми на М. Для каждой точки Xq е Мсуществуют ее окрестность U_t(x₀) = МП B_t, где B_t = {x:x е ?³*, |х — Xol < е), и отображение U_s{x₀) на область Рл-мерного пространства R" . Это отображение может быть построено, например, так: в качестве независимых координат q_lt …, q_n(n=7>N — I) выберем компоненты вектора х при условии, что оставшиеся / компонент вектора х можно выразить из уравнений связей через выбранные компоненты. Для этого якобиан.

(9.1).

Рис. 29.

в окрестности Щх^). Условие (9.1) всегда может быть удовлетворено надлежащим выбором компонент вектора х, поскольку система векторов {Vj^i линейно независима на М. Отображение <�р области V на U_t(o) называется локальной картой и задается дифференцируемыми функциями.

Пусть (К <�р) и (К', <�р') — две локальные карты и пересечение <�р V (1 <�р' У * 0 (см. рис. 29). Тогда возникает отображение (<�р')" '"ф области R" на область Л", определяемое функциями q' = q'(Q. О- Это отображение взаимно однозначно и имеет обратное определяемое функциями q = q (q /). Предполагаем, что эти функции дифференцируемы. В этом случае локальные карты называются совместными. Набор совместных карт при условии, что каждая точка многообразия имеет образ на одной из карт, называется атласом. Построенная конструкция задает структуру дифференцируемого многообразия.

Таким образом, всякая кривая на многообразии х = х (/) имеет свое изображение на локальной карте q = q (f).

Согласно формулам (9.2) вектор возможных перемещений

и возникает линейное отображение ф.: R" -" Т_ХМ, определяемое формулами (9.3): вектору возможных перемещений 6х е Т_ХМ соответствует вектор 6q е Rⁿ.

Воспользуемся формулами (9.2), (9.3) и преобразуем принцип Д’Аламбера-Лагранжа. Дифференцируя по времени формулы (9.2), получим.

Величины Q_k называются обобщенными силами. Объединяя выражения (9.6) и (9.7), представим вариационный принцип Д’Аламбера-Лагранжа в виде юо.

Вариации Sq_k в выражении (9.8) произвольны. Это обстоятельство позволяет получить из (9 8) уравнения Лагранжа второго рода.

положив, например, bq_k = 1, а все остальные 6<7_Л = 0.

Кинетическая энергия системы согласно (9.4) представляется в виде.

В случае стационарных связей дГ;/д/=0, Г, = Г₀ = 0, а ТТ₂— квадратичная форма по обобщенным скоростям q_k. В ряде случаев активные силы порождаются силовой функцией (/" (г, Гдг, /), а именно F, = V_r.U* Тогда обобщенные силы Q_k равны.

Введем функцию Лагранжа Цq, q, t) = Т + U и представим уравнения (9.9) в виде.

Системы уравнений (9.9) и (9.12) описывают движение механической системы с голономными идеальными связями. Порядок этих систем 2л, так как каждое уравнение содержит вторые производные обобщенных координат по времени. Начальные условия движения (q (0), q (0)) определяют закон движения системы q (f) на локальной карте, а отображение (9.2) позволяет найти закон движения каждой точки г,(t) в трехмерном евклидовом пространстве.