Метод гармонической линеаризации

При изложении этого метода внимание будет акцентироваться лишь на прикладной стороне вопроса; его обоснование приводится в специальной литературе.

Пусть восстанавливающая сила и сила сопротивления описываются нелинейной функцией —Р (q, q). Тогда дифференциальное уравнение, описывающее колебания системы с одной степенью свободы при гармонической вынуждающей силе, принимает вид

или после деления па инерционный коэффициент а где

По аналогии с линейной колебательной системой приближенное решение уравнения (8.8) будем искать в форме

После подстановки (8.9) в U (q, q) эта функция оказывается периодической, а следовательно, ее можно представить в виде ряда Фурье:

где ф = со/ — у.

Примем, что высшие гармоники (8.10) оказывают малое влияние на формирование приближенного решения (8.9), т. е. на А₀, А_х. Это допущение реализуется, если колебания близки к гармоническим. При этом суждение о справедливости такого предположения должно базироваться на физических предпосылках, например, на эксперименте, опыте эксплуатации и т. п. Отметим, что в задачах нелинейной механики эффективность приближенных аналитических методов во многом зависит от того, насколько правильно «угадана» форма приближенного решения.

Далее введем в рассмотрение формально линейное дифференциальное уравнение.

где и, k² — некоторые неизвестные функции, a S — неизвестная координата.

С другой стороны, уравнение (8.8) при учете (8.9), (8.10) и приведенных выше допущений может быть записано как.

Сопоставляя (8.12) и (8.11), получаем.

Тогда, учитывая (8.9), после уравнивания коэффициентов при cos ф, sin ф и свободных членов.

Используя формулы для определения коэффициентов Фурье, окончательно получаем.

Эти функции называют коэффициентами гармонической линеаризации. Итак, при принятых допущениях нелинейное дифференциальное уравнение (8.8) в рамках принятого приближенного решения оказалось эквивалентным некоторому формально линейному дифференциальному уравнению (8.11), коэффициенты которого п_у k², S являются известными функциями от неизвестных параметров решения Л, Л₀.

При малых значениях п функция k соответствует частоте свободных колебаний, которая теперь, в отличие от линейного случая, зависит от амплитудного уровня.

Коэффициент 2п, как и при линейных колебаниях, характеризует диссипативные свойства системы, которые, как уже отмечалось, в инженерных задачах обычно оцениваются с помощью коэффициента рассеяния |/ или логарифмического декремента X. Для формального линейного уравнения (8.11) справедлива зависимость n/k = 5 = Х/(2п). При этом.

Можно показать, что зависимость (8.14) при учете принятого приближенного решения (8.9) энергетически эквивалентна соответствующему выражению в формулах (8.13), однако нередко она более удобна при решении инженерных задач, так как аналитическое описание диссипативной силы во многих случаях не представляется возможным или затруднено. Между тем определение параметров X или |/ обычно затруднений не вызывает даже в тех случаях, когда эти параметры зависят от амплитудного уровня А, А₀.

Строго говоря, реальные диссипативные силы, возникающие при колебаниях механизмов и машин, всегда нелинейны, поэтому их учет в предыдущих главах, посвященных линейным колебаниям, по существу, также отвечает гармонической линеаризации этих сил. В этом случае согласно (8.14) при k = const и X = const имеем п = const, что позволяет пользоваться при анализе колебаний линейными дифференциальными уравнениями.

Отметим следующее важное свойство коэффициентов линеаризации, позволяющее сводить сложные нелинейные функции к комбинации более простых. Если нелинейная функция U может быть представлена в виде суммы

то коэффициенты гармонической линеаризации определяются как сумма соответствующих парциальных значений.

При этом к виду функций U (q> q) не представляется какихлибо лимитирующих требований; в частности, они могут быть составлены из отдельных отрезков и иметь разрывы первого рода. Подчеркнем, что гармоническая линеаризация в отличие от обычной линеаризации, когда нелинейная функция подменяется линейной, не требует, чтобы q и q были достаточно малы. Единственное ограничение здесь состоит в близости к rap мои и ч ески м ко л еба и ия м.