Модели надежности установок с восстановлением

Марковские процессы в задачах надежности

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчета ПН установки с восстановлением используется математический аппарат марковских случайных процессов. Случайный процесс с дискретным множеством состояний называется марковским, если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса (при t > to) зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени /о, и не зависят от того, каким образом он протекал до момента /о (в прошлом). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее». Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс переходов будет марковским, с непрерывным временем.

Событие X (t) = / означает, что в момент времени / процесс Х{() находится в состоянии 5/. Если переход из состояния S/ в состояние Sj отсутствует, то X, j = 0. Если Pi (t) — вероятность пребывания системы в момент времени / в состоянии Sj, i — 0, 1,2, …, т, то эти вероятности удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова:

Эти уравнения составляются по определенному правилу. Для каждого состояния Si записывается уравнение, в левой части которого стоит производная от р,{/), а в правой — сумма произведений вероятностей всех состояний, умноженных на интенсивности перехода из этих состояний в состояние 5/. Произведения, соответствующие выходам из состояний Si, берутся со знаком «-*, а произведения, соответствующие входам в состояние 5/, — со знаком «+».

Из системы уравнений Колмогорова можно получить модель функционирования анализируемой системы при длительной ее эксплуатации (/ -* х). При этом p,{t) Pi и p,{t) 0. Вероятности р-, называются стационарными, или финальными вероятностями. Относительно этих вероятностей имеет место система линейных алгебраических уравнений:

".

которая должна решаться вместе с условием = 1.

/-1.

Расчет надежности простейшей нерезервированной системы [8].

На рис. 9.13 представлен граф простейшей системы с двумя состояниями:

• 1) Е — электроустановка работоспособна, и вероятность застать ее в этом состоянии — Л (0;
• 2) Eq — электроустановка неработоспособна (в состоянии ремонта), и вероятность застать ее в этом состоянии — Po (t).

Ветвям графа приписаны постоянные интенсивности перехода из состояния в состояние за время dr. интенсивность отказов — X, интенсивность восстановле- 1.

ния — ц = -.

X.

Hue. 9.13. 1'раф переходов для системы из двух состояний.

Рассматриваемая система описывается двумя уравнениями Колмогорова, каждое из которых содержит столько членов, сколько ребер непосредственно связано с данным состоянием:

При начальных условиях /^(О) = 1, Pq (0) = 0 и при условии, что состояния Е и? о представляют собой полную группу событий, т. е. Р^ (/) + P₀(f) = 1, решение системы (9.11) имеет вид.

При мгновенном восстановлении При отсутствии восстановленият.е. вероятность состоя ния Е равна ВБР.

При /->оо наступает стационарный режим системы (рис. 9.14) и вероятности состояний P{t) перестают зависеть от времени.

При отсутствии резервирования восстановление повышает надежность в отношении готовности, вероятность безотказной работы не увеличивается.

Пример. Определить ПН кабельной линии 6 кВ / = 1 км, X = 0,2 год^_,/км, длительность восстановления т — 24 ч, срок эксплуатации г = 10 лет.

Решение. Среднее время восстановления и средняя интенсивность отказов.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 9.14. Зависимость вероятности работоспособного состояния от времени при различной интенсивности восстановления

Здесь Р1 (ос) — представляет оценку коэффициента готовности

Среднее время безотказной работы: