Вращение тела вокруг неподвижной оси

Такое движение тела, при котором какиенибудь две его точки (А и В на рис. 6.4) остаются неподвижными, называют вращением вокруг неподвижной оси.

Можно показать, что в этом случае неподвижной остаётся любая точка тела, лежащая на прямой, соединяющей точки Aw В.

Ось, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела; её положительное направление выбирается произвольно (рис. 6.4).

Любая точка М тела, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, центр которой расположен на оси вращения (рис. 6.4).

Положение тела с неподвижной осью вращения z (рис. 6.5) можно описать при помощи всего лишь одного скалярного параметра — угла поворота (р. Это угол между двумя плоскостями проведенными через ось вращения: неподвижной плоскостью N и подвижной — Р, жестко связанной с телом (рис. 6.5). За положительное примем направление отсчета угла <�р, противоположное движению часовой стрелки, если смотреть с конца оси z. (указано дуговой стрелкой на рис. 6.5). Единица измерения угла в системе СИ — 1 радиан «57,3°. Функциональная зависимость угла поворота от времени.

Рис. 6.5.

полностью определяет вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Поэтому равенство (6.3) называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Быстроту вращения тела характеризует угловая скорость со тела, которая определяется как производная угла поворота по времени.

и имеет размерность рад/с (или с" ').

Второй кинематической характеристикой вращательного движения является угловое ускорение — производная угловой скорости тела:

Размерность углового ускорения — рад/с² (или с~²).

Замечание. Символами со и? в этой лекции обозначаются алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения. Их знаки указывают направление вращения и его характер (ускоренное или замедленное). Например, если со = ф > 0, то угол (р со временем увеличивается и, следовательно, тело вращается в направлении отсчета (р.

Скорость и ускорение каждой точки вращающегося тела нетрудно связать с его угловой скоростью и угловым ускорением. Рассмотрим движение произвольной точки М тела (рис. 6.6).

Поскольку её траектория — окружность, то дуговая координата .9 точки М после поворота тела на угол <�р будет.

где h — расстояние от точки М до оси вращения (рис. 6.6).

Дифференцируя по времени обе части этого равенства, получим с учетом (5.14) и (6.4):

Рис. 6.6.

Рис. 6.7.

где г_г — проекция скорости точки на касательную г, направленную в сторону отсчета дуги .v и угла <�р.

Величина нормального ускорения точки М согласно (5.20) и (6.6) будет.

а проекция её касательного ускорения на касательную г согласно (5.19) и (6.5).

Модуль полного ускорения точки М

Направления векторов v, а, а", а, для случая, когда ф> 0 и ф > 0, показаны на рис. 6.7.

Рис. 6.8.

Пример 1. Механизм передачи состоит из колес / и 2, которые связаны в точке К так, что при их вращении взаимное проскальзывание отсутствует. Уравнение вращения колеса 1:

положительное направление отсчета угла (р указано дуговой стрелкой на рис. 6.8.

Известны размеры механизма: Г = 4 см, R₂ = 6 см, г₂ = 2 см.

Найти скорость и ускорение точки М колеса 2 для момента времени /| ⁼ 2 с.

Решение. При движении механизма колеса 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, проходящих через точки 0 и 0₂ перпендикулярно плоскости рис. 6.8. Находим угловую скорость и угловое ускорение колеса I в момент времени / = 2 с, используя данные выше определения (6.4) и (6.5) этих величин:

Их отрицательные знаки указывают на то, что в момент времени t — 2 с колесо / вращается по ходу часовой стрелки (противоположно направлению отсчета угла (р) и это вращение ускоренное. Благодаря отсутствию взаимного проскальзывания колес I и 2 векторы скоростей их точек в месте соприкосновения К должны быть равными. Выразим модуль этой скорости через угловые скорости колес, используя (6.6):

Из последнего равенства выражаем модуль угловой скорости колеса 2 и находим его значение для указанного момента времени 6 = 2 с:

Направление скорости _к (рис. 6.9) указывает, что колесо 2 вращается против хода часовой стрелки и, следовательно, оь > 0. Из (6.10) и последнего неравенства видно, что угловые скорости колес отличаются на постоянный отрицательный множитель (- г1г₂): со₂ = _{/г₂). Но тогда и производные этих скоростей — угловые ускорения колес должны отличаются на такой же множитель: е₂ =?_](-г_]/г₁)=-2- (-4/2) = 4с~².

Рис. 6.9.

Находим величины скорости и ускорения точки М ступенчатого колеса 2 при помощи формул (6.6) — (6.9):

Направления векторов v _и, , а, а_д/ показаны на рис. 6.9.