Одиннадцатая АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

При изложении настоящего курса для наглядного изображения расположенных в пространстве относительно выбранных плоскостей проекций точки, линии, плоскости, многогранников, сечений конической поверхности плоскостями использовались проекции, называемые аксонометрическими' или аксонометрией — см. рис. 1.1…1.8, 2.1,2.2,2.7,2.9,2.14,2.17,2.19,3.2,3.4,4.10,4.18,5.3,5.10,6.3,7.13,9.7 и др. Их часто используют для наглядного изображения конструкций приборов, машин на чертеже, особенно на начальных этапах конструирования.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

При параллельном проецировании, если направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоугольной, если направление проецирования не перпендикулярно плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. Применяемые в отечественной конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317—2011.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на примере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис. 11.1) путем последовательного преобразования его ортогональных проекций вместе с осями. При повороте параллелепипеда (а) с осями х и у вокруг оси z по стрелке а на 45° получаем его изображение (б) с повернутыми осями Х и у, и сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изображения на профильной проекции с осями z, х", у" по стрелке Б на угол 30° получаем изображение (в) с осями Zi, х₂", Уг, расположенными под некоторыми углами к картинной плоскости я (л «'). Параллельная проекция (г) по стрелке В на плоскости ли явля-^[1]

Рис. 11.1.

ется аксонометрической проекцией параллелепипеда с осями на плоскости я. Аксонометрическую плоскость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

Проекции осей координат х °, у⁰, z° на плоскости аксонометрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «О» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабов по ним. Это положение доказано теоремой К. Польке, которая утверждает:

три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала^[2].

Рассмотрим направление аксонометрических осей и масштабы по ним для направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции.

Коэффициенты искажения. На рис. 11.2 изображена пространственная система ортогональных координат Ox, Оу, Oz, единичные отрезки е на осях координат и их проекция в направлении s на некоторую плоскость я, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций. Проекции е_х, е_у, е. отрезка е на соответствующих аксонометрических осях О °Х°, О⁰ У⁰, О «Z⁰ в общем случае не равны отрезку е и не.

Рис. 11.2.

равны между собой. Отрезки е_х, е_у, е_г являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами).

Отношения.

называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки е_х, е_у, e_t — будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При е_х — е_у — e_z (к = т = п) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при е_х = e_z ф е_у (к = пф т), имеем диметрическую проекцию. Если е_х ф е_у ф e_z, то проекцию называют триметрической.

Картинная плоскость я на рис. 11.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси О_х, О_у, О, в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. В этом случае отрезок 00° перпендикулярен плоскости л. Отрезки 0°х, 0°у, (Заявляются аксонометрическими проекциями отрезков 0″ О_у, О_г и представляют собой катеты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых — отрезки Ох, Оу, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости л через а, (3, у.

Рис. 11.3.

Тогда

Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е. к = cos а; т = cos Р; п = cos у.

Известно, что для отрезка 00⁰1 я сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Отсюда или Тогда или т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Изометрическая проекция. В изометрической проекции все коэффициенты равны между собой:

Рис. 11.4 Рис. 11.5.

тогда откуда

Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен. Поэтому изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям х, у, z, т. е. коэффициент искажения принимают равным 1. Получаемое при этом изображение предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом случае составляет 22 % (выражается числом 1,22 = 1:0,82).

Каждый отрезок, направленный по осям х, у, z или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис.

11.4. На рис. 11.5 и 11.6 показаны ортогональные (а) и изометрические (б) проекции точки А и отрезка АВ.

Шестигранная призма в изометрии. Построение шестигранной призмы по данному чертежу в системе ортогональных проекций (слева на рис. 11.7) приведено на рис. 11.7. На изометрической оси z откладывают высоту Я, проводят линии, параллельные осям х и у. Отмечают на линии, параллельной оси х, положение точек / и 4.

Для построения точки 2 определяют координаты этой точки на чертеже — х₂ и у₂ и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строят точки 3, 5 и 6.

Построенные точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки 1 до пересечения с осью х, затем — ребра из точек 2, 3, 6. Ребра нижнего основания проводят параллельно ребрам верхнего. Построение точки А, расположенной на боковой грани, по координатам х_л (или у_А) и z_A очевидно из рис. 11.7.

Диметрическая проекция. Коэффициенты искажения в диметрической проекции выбирают следующими:

Рис. 11.7.

Рис. 11.8.

Тогда

В целях упрощения построений, как и в изометрических проекциях, коэффициент искажения по осям х и z принимают равным 1; по оси у коэффициент искажения равен 0,5. По осям х и z или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, по оси у — размеры уменьшают вдвое.

Увеличение в этом случае составляет 6% (выражается числом.

I, 06= 1:0,94).

Расположение осей в диметрической проекции показано на рис.

II. 8. С достаточной для практических целей точностью оси х и у строят по тангенсам углов:

Продолжение оси у за центр О является биссектрисой угла xOz, что также может быть использовано для построения оси у.

Аксонометрические изображения окружности. Окружности в аксонометрии изображаются в виде эллипсов: их изображения в аксонометрической проекции приведены на рис. 11.9, в диметрической — на рис. 11.10, с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов для приведенных коэффициентов искажения, равных 1.

Большая ось эллипсов расположена под углом 90° для эллипсов, лежащих:

в плоскости xOz к оси у,

в плоскости yOz к оси х,.

в плоскости хОу К ОСИ Z-

Рис. 11.9.

При выполнении аксонометрического изображения от руки (как рисунка) построение эллипсов как в изометрии, так и в диметрии выполняют по восьми точкам. Например, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (см. рис. 11.9). Точки 1, 2,3 и 4находят на соответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7и «Устроят по величинам соответствующих большой и малой осей эллипса.

При выполнении же аксонометрического изображения чертежным инструментом построение эллипсов в диметрической проекции также производят по восьми точкам, а эллипсы в изометрической проекции можно заменять овалами и строить их следующим образом^[3]. Построение показано на рис. 11.9 на примере эллипса, лежащего в плоскости xOz? Из точки 1, как из центра, делают засечку радиусом R = D на продолжении малой оси эллипса в точку О, (строят также аналогичным образом и симметричную ей точку, которая на чертеже не показана). Из точки О_и как из центра, проводят дугу CGC радиуса D, которая является одной из дуг, составляющих контур эллипса. Из точки О_ъ как из центра, проводят дугу радиуса 0₂G до пе;

Рис. 11.10.

ресечения с большой осью эллипса в точках 0₃. Проводя через точки О, 0₃ прямую, находят в пересечении с дугой CGCточку К, которая определяет 0_}К — величину радиуса замыкающей дуги овала. Точки К являются также точками сопряжения дуг, составляющих овал.

Аксонометрия цилиндра. Аксонометрические изображения цилиндра определяются аксонометрическими изображениями окружностей его оснований. Построение в изометрии цилиндра высотой Н

Рис. 11.11.

Рис. 11.12.

по ортогональному чертежу (рис. 11.11, слева) и точки С на его боковой поверхности показано на рис. 11.11, справа.

Пример построения в изометрической проекции круглого фланца с четырьмя цилиндрическими отверстиями и одним треугольным приведен на рис. 11.12. При построении осей цилиндрических отверстий, а также ребер треугольного отверстия использованы их координаты, например координаты хо и у₀.

Аксонометрическое изображение сферы и способ вписывания сферических поверхностей. В прямоугольной аксонометрии поверхность.

Рис. 11.14.

сферы проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде круга. Это позволяет использовать сферу для построения аксонометрических проекций тех фигур, в которые могут быть вписаны сферические поверхности. Так, например, аксонометрия поверхности вращения в этом случае может быть построена как огибающая сфер, вписанных в эту поверхность.

Построение аксонометрических изображения деталей. Положение предмета в изометрической и диметрической проекциях выбирают в зависимости от его форм и соотношения размеров. Так, детали, имеющие продолговатую (удлиненную) форму, выполняют обычно в диметрии. При этом наибольший размер располагают вдоль осей х

Рис. 11.15.

или z, по которым размеры не уменьшаются. В диметрии также предпочтительно выполнять детали, поверхности которых ограничены горизонтально проецирующими или фронтально проецирующими плоскостями, расположенными под углом 45° к плоскостям я, и п₂

соответственно, так как эти плоскости в изометрической проекции изображаются в виде вертикальных прямых.

Внутренние формы деталей в аксонометрических проекциях выявляют «вырезом» передней части детали.

Рациональная последовательность построения аксонометрической проекции по имеющемуся эскизу или чертежу (например, рис.

• 11.13) такая:
• 1) определяют вид аксонометрической проекции для изображения данного предмета (изометрия или диметрия). Деталь, показанную на рис. 11.13, целесообразно изображать в диметрической проекции (рис. 11.14). Выбирают достаточное место для аксонометрического изображения и отмечают начало координат О;
• 2) проводят аксонометрические оси под установленными углами (см. рис. 11.4 и 11.8) из начала координат и строят (рис. 11.14, о) сечения предмета в плоскостях уOz и xOz- Координаты точек сечений, выполняемых в плоскостях у Oz и xOz, берут соответственно на профильном и фронтальном разрезах чертежа;
• 3) строят (рис. 11.14, б) изображение верхней части детали, видимых внутренних элементов, наружные боковые поверхности;
• 4) достраивают боковые элементы крепления (см. рис. 11.14, в).

Пример рациональной последовательности построения изометрической проекции детали приведен на рис. 11.15, а—в.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

• 1. В чем заключается способ аксонометрического проецирования?
• 2. Что называют коэффициентами (или показателями) искажения?
• 3. В каких случаях аксонометрическую проекцию называют: а) изометрической; б) диметрической; в) триметрической?
• 4. Чему равна сумма квадратов коэффициентов искажения для прямоугольной аксонометрической проекции?

• [1] Аксонометрия от древнегреческого «аксон» — ось, «метрио» — измеряю.
• [2] 2 Доказательство этой теоремы см. в кн.: Глазунов Е. А., Четверухин Н. Ф. Аксонометрия. М., 1953. С. 32—35; Глаголев И. А. Начертательная геометрия. М., 1953.
• [3] Предложен Ю. Б. Ивановым.