Уравнения магнитной гидродинамики

Систему уравнений гидродинамики образуют следующие группы уравнений.

Уравнения Максвелла применительно к движущейся проводящей среде. Проводящая среда по отношению к некоторой системе отсчета движется со скоростью v во внешнем магнитном поле индукции В. Скорость движения среды ничтожно мала по сравнению со скоростью света, поэтому релятивистские поправки в уравнениях Максвелла не вносят. Ток смещения не учитывают, так как он ничтожно мал по сравнению с током проводимости.

Напряженность электрического поля равна сумме электрической и магнитной составляющих:? + [v В]. Тогда.

где б — плотность тока.

Уравнение (28.4) представляет собой закон Ома. Решим систему уравнений (28.1)—(28.4) относительно вектора В. С этой целью найдем Е из.

(28.1), заменив Н на ?/р_а:

Так как rot rot В = grad div#- V² В, a div 5 = 0, то.

Уравнение Навье— Стокса выражает второй закон Ньютона применительно к единице объема проводящей среды, движущейся в магнитном поле.

Произведение массы единицы объема жидкости (р), движущейся со скоростью v, на ее ускорение dv/ dt равно сумме сил, действующих на единицу объема:

где dv/dt— полная или материальная производная, учитывающая изменение v в данной точке во времени и в результате того, что точка наблюдения попадает в поле с иными значениями v вследствие движения; fj = - grad р — сила, вызванная перепадом давления и направленная в сторону уменьшения давления (тогда как grad р направлен в сторону увеличения давления); F₂ = Р? — ^сила тяжести, действующая на единицу объема (g — ускорение силы тяжести в данной точке); F₃ = р о V² v — сила вязкого трения на единицу объема, о— кинематический коэффициент вязкости; сила вязкого трения взята пропорциональной второй производной скорости потому, что равна разности сил, действующих с каждых двух противоположных граней объема, отнесенной к расстоянию между гранями.

Выражение для электромагнитной силы F₄ получим из формулы (21.2). Для этого надо ввести ток / в квадратные скобки и заменить его произведением плотности тока 6 на сечение AS, через которое он проходит; затем обе части выражения F = [/ AS 6 В] разделить на выделенный объем проводящего тела А/ AS = А/ AS.

Силы F₂ и F₃ малы по сравнению с F, и Р₄ и потому их не учитывают. Окончательно имеем.

Уравнение непрерывности, выражающее то, что изменение массы в элементарном объеме обусловлено притоком жидкости (плазмы):

Уравнение теплового баланса

где р cdT/dt— теплота, расходуемая на увеличение температуры объема; с — удельная теплоемкость; X. V² Т — теплота, приносимая в единичный объем за счет теплопроводности; X— коэффициент теплопроводности; 5² /у— джоулевы потери в единице объема; W_— теплота,.

— Р dp

выделяемая в объеме в силу наличия трения; р — давление; -—-— теп;

Р dt

лота, выделяющаяся в объеме при изменении плотности р.

В установившемся тепловом режиме температура Т неизменна, и в этом случае уравнение (28.8) не используется.