Прямая калибровка рейтингового балла с использованием С4Р-кривой

Использование явного вида САР-кривой для калибровки рейтингового балла на вероятность дефолта наиболее предпочтительно для задачи оценки кредитного риска, поскольку позволяет учесть все важные свойства рейтинговой модели в количественной дискриминации заемщиков на «плохих» и «хороших».

Для перехода «рейтинговый балл — вероятность дефолта» используются:

• 1) прогнозная величина ожидаемой дефолтности на горизонте, используемом для калибровки зависимости. Она вычисляется с использованием исторических средних с учетом фазы экономического цикла, пессимистического сценария внедрения новых продуктов, политик кредитования, выхода на новые рынки кредитных продуктов и т. д.;
• 2) зависимости СЛР-кривой по точкам X, У, (от 0 до 100%), построенной в координатах «размер популяции упорядоченных рейтинговых баллов — процент дефолтов в валидационной выборке»;
• 3) зависимости значений рейтинговых баллов /?, в упорядоченном распределении их в популяции размера Х-, в процентах.

Для построения явной формулы зависимости PD от рейтингового балла используется основное свойство СЛР-кривой, заключающееся в том, что значение математической производной С71Р-кривой, но координате X оси размера упорядоченной популяции рейтингового балла R — суть относительная вероятность дефолта в точечном диапазоне популяции заемщиков (х, x+cbc). Для получения абсолютного значения вероятности дефолта PD (x) необходимо просто умножить эту функцию на среднегодовое значение . Затем для перехода зависимости PD (X) в искомую PD (R) необходимо учесть зависимость R (X) пересчета значения объема популяции упорядоченного рейтингового балла, который меньше или равен значению R.

Учитывая, что САР-кривая является разрывной (из-за дискретности дефолтов), производную необходимо искать от гладкой функции, которая является аппроксимацией исходной С, А P-за в нс и мости. Наиболее подходящей оказалась трехпараметрическая функция Y = САР (Х):

где а, (3, у — параметры аппроксимации, а>0, Р>1, yp>lUy<0 либо (для выпуклой вверх СЛР-кривой, классическое расположение).

Параметры находятся из максимального приближения искомой непрерывной кривой к действующей, вычисленной в процедуре валидации рейтинговой системы. Минимизацию отклонения следует проводить в квадратичной норме, задавая начальные приближения, например, а = (3 = у=1. Вероятность дефолта, зависящая от размера упорядоченной популяции х, будет вычисляться как.

В качестве примера рассмотрим СЛР-кривую, полученную из процесса валидации рейтинговой модели для банков, основанной на показателях отчетностей (рис. 4.3).

Для построения функции перехода от доли X упорядоченных рейтинговых баллов к самому рейтинговому баллу R необходимо построить гладкую аппроксимирующую функцию, которая будет эффективна в наиболее широком многообразии распределений X® (обратная функция R (X),

существует в силу монотонности). Рекомендуется использовать четырехпараметрическую функцию, основанную на нормальном распределении:

где N —функция нормального распределения; sign — знак а, |3, у, 8 — параметры, выбираются в начальном приближении, а = 1 / stdev®, $ = mean®, у = 1, 8 = 0; stdev и mean — стандартные функции стандартного отклонения и среднего от совокупности рейтинговых баллов R, па которых верифицируется рейтинговая система.

Рис. 43. ЛОС-кривая и ее аппроксимация для модели банков (а) и соответствующая вероятность дефолта (б):

а — ЙОС-кривая; б — вероятность дефолта В качестве примера рассмотрим калибровку одной рейтинговой модели для банков РФ, ежеквартальные наблюдения за рейтингом проводились в 2007—2009 гг., в выборку входило около 350 банков. Среднеожидаемый уровень дефолтности (исторически подтверждаемый по событиям лишения лицензии ЦБ РФ за период с 2002 г.) около 4% в год. Модель показала мощность AR = 57%. Распределение банков по баллам рейтинга за анализируемый период и его аппрокроксимация (сглаживание) функцией¹ X'® представлены на рис. 4.4.

В распределениях баллов рейтинга часто наблюдается более одного уплотнения (имеет место мультимодальная функция распределения). Поэтому непрерывная функция, моделирующая такое распределение, должна быть достаточно гибкой для более тщательной аппроксимации.

Заключительным шагом калибровки зависимости вероятности дефолта от значения рейтингового балла с использованием измеренной СЛР-кривой является объединение двух функций PD (X) и X®:

Штрих означает производную функции X®, которая является плотностью распределения банков по рейтингам, т. е. частотой попадания измерений рейтингов в рейтинговые диапазоны.

Для этого необходимо найти все параметры, входящие в исходные функции САР (Х) и Х (К) по данным валидации рейтинговой модели.

Рис. 4.4. Аппроксимация распределения банков по рейтингам функцией X'(R) (гладкая кривая) и наблюдаемое распределение (кусочная функция) На рис. 4.5 представлены зависимости вероятности дефолта банка от рейтингового балла для двух способов калибровки — упрощенной по формуле (16) и непосредственно по измеренной САР-кривой.

Рис. 45. Зависимость вероятности дефолта от балла кредитного рейтинга для двух способов калибровки — упрощенной (сплошная линия) и непосредственной по jROC-кривой (пунктирная линия).

Из рис. 4.5 видно, что зависимости существенно не различаются, но непосредственная (по САР-кривой) более консервативна в области низких рейтингов (показывает выше PD) и менее оптимистична в области высоких рейтингов (PD не стремится к нулю), хотя в целом «крутизна» изгиба схожа на обоих графиках, поскольку оперируется с одной и той же рейтинговой моделью (одинаковой мощности). Поэтому предпочтение среди методик калибровки нужно отдавать непосредственной, однако для этого потребуется больше надежных данных для валидации и более трудоемкий подход.