Восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям

Задачу восстановления (интерполяцию) непрерывного сигнала по его дискретным значениям решают прежде всего при графическом представлении результатов расчета на компьютере — от дискретных отсчетов переходят к непрерывному графику. В математическом плане восстановление исходного сигнала сводится к отысканию функции, наилучшим образом описывающей сигнал. Эта функция должна в отсчетные моменты времени принимать значения, равные дискретным, а в остальные моменты описывает сигнал с требуемой точностью. Указанная операция составляет содержание общей задачи интерполяции.

Известные методы интерполяции можно разделить на три основные группы, в которых применяют степенные полиномы, ортогональные функции и нр.

Интерполяция степенными полиномами. Суть метода состоит в предположении того, что исходную функцию можно представить степенным рядом.

при я —?

Для определения ряда f (x) необходимо определить {а_?}, для чего нужно решить систему уравнений при известных значениях {*,}. Способы определения {a:.} по известным {#.} бывают различными, что и определяет различие методов интерполяции полиномами.

Наиболее известным интерполяционным полиномом является полином Лагранжа. Известные разновидности полинома Лагранжа: интерполяционные формулы Гаусса, Бесселя, Стирлинга, Эферетта, сплайн-функции (сплайны) и др.

В теории связи часто применяют интерполяционный ряд Котельникова.

(6.8). Одно из основных его достоинств состоит в том, что в качестве коэффициентов этого ряда используют дискретные значения, которыми задан сигнал.

Преимуществом метода степенных полиномов является простота при реализации на компьютерах, недостатками — увеличение погрешности при росте степени полинома и недостаточная обоснованность применения его к случайным функциям. Что касается случайных функций, то интерполяция конечными полиномами связана с погрешностями, существенно влияющими не только на качество восстановления сигнала, но и на саму возможность применять интерполяцию для восстановления исходного сигнала.

Одним из видов интерполирующей функции является сплайн-функция, или сплайн. Сплайн (от англ, spline — гибкая линейка) — линия, форма которой определяется типом вершин узловых точек, через которые она проходит (наиболее общие типы сплайна — кривые Безье). Интерполяция сплайнами — метод, дающий в результате гладкую функцию. Достигается это следующим образом: между каждыми двумя точками функция интерполируется кубической параболой у = ш³ + Ьх² + сх + d, причем функцию подбирают так, чтобы на концах отрезка совпадали с какими-то заранее заданными числами и значения функции, и значения производной. Совпадение самих значений функции требуется для непрерывности получаемой приближающей функции, а совпадение значений производной — для непрерывности производной. Таким образом, результат интерполяции получается составленным не из прямых, как при кусочно-линейной интерполяции, а из «склеенных» кусков разных кубических парабол. Причем эта кривая получается еще и гладкой, так как «склеиваются» не только сами значения функции, но и значения ее производной.

При сплайновой интерполяции для упрощения программ чаще всего используют локальные полиномы не выше третьей степени. Так, например, кубические сплайны проходят через три смежные узловые точки (текущие опорные точки вычислений), при этом в граничных точках совпадают как значения полинома и функции, так и значения их первых и вторых производных. Коэффициенты полиномов, проходящих через три смежные узловые точки, рассчитывают так, чтобы непрерывными были первая и вторая его производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает, но форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (линия 1 на рис. 6.8). Это создает более высокую плавность сплайнового интерполирующего полинома по сравнению с другими методами аппроксимации, например полиномом Лагранжа (линия 2 на рис. 6.8).

Рис. 6.8. Интерполяция сигнала по дискретным отсчетам:

1 — сплайновая; 2 — полиномом Лагранжа Интерполяция ортогональными функциями. Методы применения ортогональных интерполяций начали развиваться со времени разработки Ж. Фурье разложения сложных функций по гармоническим составляющим.

Алиасинг. Что же произойдет при восстановлении исходного сигнала, если попытаться оцифровать сигнал с недостаточной для него частотой дискретизации? В этом случае по полученной цифровой выборке нельзя будет верно восстановить исходный сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, присутствующие в нижней части спектра. Эти частоты суть «призраки», а эффект называется наложением спектров, эффектом маскировки частот или алиасингом (от англ, aliasing — наложение).

Положим, что оцифровывается и записывается музыка, спектр которой ограничен частотой 20 кГц, но при записи какой-то электроприбор (например, дисплей компьютера) сгенерировал сильную помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, которая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Положим, что оцифровка сигнала производится с частотой 44,1 кГц. При этом предполагается, что звук, лежащий ниже частоты 44,½ = 22,5 кГц, будет записан правильно (согласно теореме отсчетов). Но поскольку помеха лежит выше частоты 22,5 кГц, то возникнет алиасинг, и помеха отразится в нижнюю часть спектра, на частоту 45 — 40 = 5 кГц. Если мы теперь попробуем пропустить полученный цифровой сигнал через ЦАП и прослушать уже аналоговый сигнал, то услышим на фоне музыки помеху на частоте 5 кГц. Таким образом, помеха переместилась из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область. Для частоты /маскирующиеся под нее частоты составляют значения 2/_с ± /, 4/_с ± /, 6/_с ± / и т. д.

Вообще эффект маскировки частот называют стробоскопическим. Стробоскопический эффект — зрительная иллюзия, возникающая из-за инерции зрения человека в случаях, когда наблюдение какого-либо предмета или картины осуществляется не непрерывно, а в течение отдельных периодически следующих один за другим интервалов времени. По существу стробоскопический эффект — физическая иллюзия замедленного движения (или неподвижности), возникающая, когда движущийся предмет периодически (с частотой Fj) занимает прежнее положение. При этом для иллюзии полной неподвижности предмета необходимо, чтобы частота моментов наблюдения F₀ была равна частоте F_v Если же F₀ и F, не равны, но близки, то воспринимаемое кажущееся движение предмета характеризуется частотой биений F₆ = F₀ — F_v Наглядным проявлением подмены частот может служить иллюзия, часто проявляющаяся при кинои видеосъемке вращающихся объектов. Из-за недостаточно высокой частоты смены кадров быстро вращающееся колесо автомобиля может выглядеть неподвижным либо медленно поворачивающимся (причем в любую сторону). Здесь частота смены кадров является аналогом частоты дискретизации, и когда колесо совершает между соседними кадрами более чем пол-оборота, оно кажется вращающимся в другую сторону и с иной скоростью.

Как избежать алиасинга? Первый способ — использовать более высокую частоту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации. Второй способ — искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой. Для этого применяют ФНЧ. Одно из важных применений ФНЧ заключается в искусственном ограничении спектра сигнала перед оцифровкой. В этом случае ФНЧ называют антиалиасинговыми, так как они предотвращают возникновение алиасинга при оцифровке сигнала. Частота среза фильтров устанавливается в половину частоты дискретизации.

Пример 6.5.

Известно, что для получения разборчиво звучащей человеческой речи достаточно оцифровывать ее с частотой 8 кГц. Какой диапазон частот может быть правильно передан такой цифровой записью? Что необходимо предпринять при оцифровке для правильной передачи этого диапазона?

Решение

В соответствии с теоремой Котельникова при частоте дискретизации 8 кГц можно правильно передать сигнал с диапазоном частот от 0 до 4 кГц. Однако поскольку речь человека содержит частоты и выше 4 кГц, то для предотвращения эффекта алиасинга необходимо перед оцифровкой аналогового сигнала пропустить сигнал через антиалиасинговый фильтр нижних частот с частотой среза не менее 4 кГц.

В реальные АЦП почти всегда встраивается антиалиасинговый фильтр. Обычно эффект от искусственного ограничения спектра вполне приемлем, в то время как алиасинг при дискретизации и записи сигнала недопустим.