Исследование симметричных периодических орбит в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

Изучение движения материальной точки в различных силовых полях является одной из основных проблем механики, в частности, небесной механики и астродинамики. Большое значение в решении этой проблемы приобрела ограниченная задача трех тел [6, 10, 11, 48].

Как известно, при изучении небесных тел наряду с гравитационной силой часто приходится учитывать целый ряд других сил (магнитных, электрических, сил излучения и т. д.), которые в ряде случаев могут быть не только количественно соизмеримыми с первой, но и значительно превосходящими ее. Одна из них, а именно репульсивная сила светового давления [26, 40−42, 45, 46, 108], является неизменной спутницей гравитации, поскольку невозможно представить макроскопическое небесное тело, имеющее температуру, отличную от абсолютного нуля, и, вместе с тем, не отдающее излучения в окружающее его пространство.

Световым давлением называют механическое воздействие световых лучей, производимое на облучаемые ими тела и вызываемое взаимодействием между фотонами света и освещаемой поверхностью, которая отражает или поглощает свет. Заметим здесь, что звезды, в том числе и Солнце, излучают электромагнитные волны не только в видимом световом диапазонемногообразие физических процессов, происходящих на звездах, порождает электромагнитное излучение в огромном диапазоне длин волн — от сверхдлинных радиоволн до гамма-лучей. С этой точки зрения, более точным является термин «давление звездной радиации», однако, наиболее часто в этом смысле употребляется термин «световое давление» [42].

Здесь необходимо также различать фотонную (электромагнитную) радиацию звезд и корпускулярную радиацию, т. е. совсем другое физическое явление, представляющее собою истечение звездного вещества вследствие высокой температуры звездной поверхности.

Давление электромагнитного излучения, таким образом, представляет собою природное явление. В реальных условиях на гравитационное поле всегда накладывается некоторое поле репульсивных сил, образуя так называемое фотогравитационное силовое поле [42, 45, 46, 108]. Векторы гравитационной силы Fg и силы светового давления Fp звезды лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Действие репульсивной силы, которая отталкивает частицу от основного тела, приводит к «уменьшению массы» этого тела и появлению «эффективной массы» [61].

Изучению движения небесных тел в таком поле было посвящено большое количество исследований. И. Кеплер (1619 г.) впервые сформулировал гипотезу о световом давлении, пытаясь объяснить причину отклонения хвостов комет. П. Н. Лебедев [25] доказал верность этой гипотезы, а также разработал строгий математический аппарат теории светового давления. Одной из наиболее тщательных разработок по фотогравитационной механике является механическая теория кометных форм, созданная Ф. А. Бредихиным [4], Н. Е. Жуковским [14] и С. В. Орловым [36]. О. Ю. Шмидт широко использовал в своей космогонической теории эффекты светового торможения [78, 79]. Агекяном [1] была разработана теория фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами. Ф. А. Цандеру принадлежит первое серьезное исследование проблемы космического полета с помощью сил светового давления солнечных лучей (см. библиографию в [42]).

Для небесной механики и астродинамики наибольшее значение имеют работы В. В. Радзиевского [45, 46], в которых были впервые поставлена одна из важнейших задач динамики частицы в фотогравитационных полях — фотогравитационная задача трех тел. Фотогравитационная задача отличается от классической ограниченной задачи трех тел тем, что одно или оба основных тела являются источником световой репульсии.

В постановке с двумя излучающими телами эта задача допускает приложения в звездной динамике: на ее основе, например, можно эффективно строить промежуточные орбиты частиц газопылевых облаков в поле двойных звезд. Двойные звезды представляют собою парные звездные системы, в которых вращение происходит по кеплеровым орбитам вокруг общего центра масс под действием сил тяготения. Двойные звезды составляют примерно половину всех звездных систем [2, 15, 35].

Дадим здесь несколько примеров реальных двойных звездных систем, к которым применима рассматриваемая задача: приведем параметры этих систем в виде таблиц [2, 15]. Компоненты двойной звездной системы здесь обозначаются, как это принято в астрономии, А и В.

Заметим здесь, что во всех примерах параметры орбит основных тел вокруг центра масс весьма близки к круговым [2, 15]. Масса компонентов указана в единицах массы Солнца (Mq = 1.9891 • Ю30 кг). 1. Капелла (а Возничего).

А В.

Масса М, Mq 4.2 3.3.

Спектральный F4 GO класс.

Температура Т, К 6500 6000.

2.? Возничего.

А В.

Масса М, Mq 13 32.

Спектральный В4 М2 класс.

Температура Т, К 15 300 3400.

3.? Лиры.

А В.

Масса М, Mq 2.5 2.5.

Спектральный А2 А2 класс.

Температура Т, К 10 000 10 000.

4. 7 Овна1.

А В.

Масса М, Mq 1.04 1.02.

Спектральный АО АО класс.

Температура Т, К 11 000 11 000.

Уравнения фотогравитационной задачи хорошо описывают движение частиц в поле взаимно удаленных двойных звездных систем (в которых отсутствует обмен массами между их компонентами) — эту задачу.

Первая обнаруженная в телескоп двойная звезда (Р. Гук, 1664 г.) [15] удобно рассматривать в качестве динамической модели такого движения [108].

Основной целью настоящей диссертации является систематическое исследование симметричных периодических орбит фотогравитационной задачи. Это исследование включает доказательство существования локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации, продолжение этих локальных семейств по параметру h (константа интеграла энергии) — исследуются их эволюция и бифуркации и их свойство устойчивости.

Периодические орбиты являются очень важным классом решений ограниченной задачи трех тел, в том числе и фотогравитационной задачи. Поскольку уравнения ограниченной задачи являются неинтегри-руемыми [44, 48], то одним из путей изучения движения таких систем при t —У оо является исследование периодических траекторий (наряду с асимптотическими и почти периодическими движениями).

Отметим, что для периодических движений существует много возможностей классификации: например, разделение движений на симметричные (траектории в окрестности основных тел и коллинеарных точек либрации) и несимметричные (орбиты, примыкающие к треугольным точкам либрации), или разделение на локальные (ляпуновские семейства, полученные в виде рядов [27, 80, 104]) и нелокальные (например, орбиты, построенные численно в [130−132]).

На существование периодических траекторий указал еще JI. Эйлер [80]. Он получил периодические решения в окрестности коллинеарных точек либрации поставленной им ограниченной задачи трех тел. Периодические движения частицы в окрестности одного из основных тел построил Г. В. Хилл [104], рассматривая задачу о движении Луны (задача Хилла).

Огромный вклад в исследование периодических орбит внес А. Пуанкаре [43, 44]. Было показано, что так называемые решения первого сорта ограниченной задачи трех тел получаются посредством аналитического продолжения круговых решений задачи двух тел, а решения второго сорта — из эллиптических орбит соответствующей задачи двух тел.

Что касается численных исследований симметричных периодических орбит ограниченной задачи трех тел, то наиболее полной и строгой является работа, выполненная в Копенгагенской обсерватории под руководством Э. Стрёмгрена [130−132]. Продолжение этой работы, а также ценные комментарии содержат труды Г. Х. Дарвина [91], Ф.Р. Мульто-на [115], 3. Копала [106], Дж. X. Бартлетта [83], Т. Н. Тиле и К. Барро [88] Дж. Фишера-Петерсена [95], Н. Л. Гулда [98], Е. Рабе [116−118] и др. (см. библиографию в [48]). Дана классификация периодических орбит, связанная с 7-ю точками на плоскости ограниченной задачи: пятью точками либрации и двумя основными телами2. При изменении постоянной Якоби изменяется вид периодических орбит, что позволяет объединять эти орбиты в классы. Аналогичное исследование ограниченной задачи трех тел, в которой за основные тела принимаются Земля и Луна (лунные орбиты), было проведено Р. Брукке [87]. В работах В. А. Егорова [12], Е. Рабе [116−118] рассчитаны более сложные лунные орбиты, а также движения вокруг треугольных точек либрации. Имеется также множество других работ касающихся периодических орбит ограниченной задачи трех тел в различных аспектах (см. например [89]).

В монографии А. Д. Брюно [6] дана оригинальная (более сложная) классификация решений задачи двух тел, а также ограниченной задачи трех тел в случаях, когда безразмерная масса /х равна нулю или отлична от нуля. При этом параметризация проведена не по постоянной Якоби, а по кеплеровым элементам орбиты3. Для всех семейств симметричных периодических орбит дано строгое математическое описание. В качестве иллюстраций приводятся, например, численные результаты, полученные М. Хеноном [101, 102].

В последние годы, в связи с интенсивным освоением космического пространства, возрос интерес к изучению периодических орбит ограниченной задачи трех тел и ее модификаций (см. например [89]). Однако большинство исследований посвящены задачам в постановке, максимально приближенной к реальности, когда параметры системы отвечают реальным небесным телам (см. например [87, 90, 97, 99, 120, 124]). Наиболее часто встречаются работы по изучению так называемых систем «Солнце-Юпитер» и «Земля-Луна», когда параметры в.

2Отметим, что система координат Стрёмгрена несколько отличается от стандартной: начало отсчета выбрано во внешней коллинеарной точки либрации.

3Классификации предшествует процедура нормализации гамильтониана динамической системы ограниченной задаче трех тел берутся соответствующими данным небесным телам.

Впервые на существование локальных периодических орбит в окрестности внутренней коллинеарной точки фотогравитационной задачи трех тел либрации указал В. В. Радзиевский [45, 46] (в задаче с одним излучающим телом). Позднее Е. П. Филянская [75] показала, что такие орбиты существуют в окрестности всех коллинеарных точек. В данной работе периодические орбиты описываются с помощью экспонент с чисто мнимыми аргументами. Р. К. Шарма [126] рассмотрел периодические орбиты в задаче с одним излучающим телом при учете его несферичности. Периодические орбиты в окрестности треугольных точек либрации были построены Р. А. Фрейтасом и Ф. Вальдсом [96]. Для случая двух излучающих тел, существование периодических орбит вокруг компланарных точек либрации доказано А. Т. Турешбаевым [56], в слабоэллиптической задаче. Более детальное исследование этих орбит выполнено О. Рагосом и К. Загорасом [119]. Построение пространственных нелокальных решений фотогравитационной задачи было проведено А. Элипе и М. JIapa [94]. В этой работе был применен численный алгоритм построения орбит, предложенный А. Депри и Ж. Энраром [93].

Наряду с периодическими орбитами, множество исследований по фотогравитационной задаче трех тел посвящено изучению точек либрации. Впервые точки либрации, аналогичные классическим, в случае как с одним, так и с двумя излучающими телами, были исследованы В. В. Радзиевским [45, 46]. Он обнаружил, что их положение напрямую зависит от коэффициентов редукции массы. Линейная устойчивость коллинеарных и треугольных точек либрации в случае одного излучающего тела впервые была исследована Ю. А. Черниковым [76]. В этой работе была доказана неустойчивость коллинеарных точек либрации. А. А. Пережогин [37−39] используя другой, более простой метод, показал невозможность гироскопической стабилизации коллинеарных точек и как следствие (по теореме Кельвина-Четаева) их неустойчивость.

Для случая двух излучающих тел, детальные исследования существования и положения коллинеарных и треугольных точек либрации в зависимости от параметров ft, Qi, Q2, были выполнены А.Л. Куницы-ным и А. Т. Турешбаевым [21, 22, 109], а также Дж.Ф. Л. Симмонсом и др. [129]. Показано (см. например [56]), что внешние коллинеарные точки либрации всегда неустойчивы, тогда как для внутренней точки либрации существует область устойчивости. В работах ([107, 112]) была исследована линейная устойчивость треугольных точек либрации. Работы А. С. Зимовщикова [16−18] посвящены численным исследованиям устойчивости точек либрации.

Уравнения фотогравитационной задачи, так же, как и классической задачи трех тел [57], представляют собою обратимую систему дифференциальных уравнений. Свойство обратимости существенно используется в настоящем исследовании. Отметим здесь, что необходимость в исследовании обратимых динамических систем возникает не только при исследовании задачи трех тел, но также и многих других задач классической и небесной механики (см. например [57, 62−64, 72]).

Дадим определение обратимой системы. Если система дифференциальных уравнений инвариантна относительно преобразования х -> Gx (*) х — вектор фазового пространства, G — некоторое отобр ажение этого пространства, такое что G2 = id (тождественное преобразование)) при одновременном обращении независимой переменной, то такая система называется обратимой [72, 110]. Линейно обратимой системой называется система, инвариантная относительно линейного преобразования (*). Такую систему, выбирая соответствующим образом переменные г) можно представить в виде [72] g Rl, rje Rn,.

Здесь / и п — число собственных значений матрицы G, равных соответственно +1 и -1. В механических системах всегда / > п, поэтому в этом случае систему можем назвать обратимой механической системой [72].

Неподвижным множеством обратимой системы называется [72] множество х = Gx неподвижных точек оператора G. Для приведенной здесь обратимой системы неподвижное множество запишется в виде.

М = {?, 77:77 = 0}.

Одним из простейших примеров обратимой механической системы с одной степенью свободы является математический маятник [64, 72] х + sin а: = 0.

Легко видеть, что это уравнение инвариантно относительно замены (?, х, х) —> (—х, —х). Его неподвижное множество, таким образом, можно представить в виде: Мр = {х, х: х = 0}.

В работе Г. В. Хилла по теории движения Луны [104] дифференциальные уравнения задачи представляют собою [72] линейно обратимую систему, инвариантную относительно двух преобразований типа (*). Периодические движения, полученные в этой работе, а также в работе A.M. Ляпунова [27], посвященной задаче Хилла, симметричны относительно двух неподвижных множеств.

В работах А. Пуанкаре [43, 44] симметричные периодические орбиты ограниченной задачи трех тел порождаются из эллиптических орбит (решений второго сорта) задачи двух тел.

Корректное доказательство существования семейств симметричных периодических орбит дано в работах Т. Уно [136], Р. Б. Баррара [82], Р. Ф. Аренсторфа [81], причем в этих работах фактически используется теорема Хейнбокела-Страббла [100].

В последние годы теория обратимых систем развивается очень интенсивно в работах В. Н. Тхая [57−73] и его учеников [7−9, 13, 16−18, 34, 49−55, 134, 135, 138]. Одно из направлений этих работ — исследование симметричных периодических движений (колебаний и вращений) в обратимых механических системах, в частности, локальных периодических движений в окрестности положений равновесия.

Вопрос о существовании локальных семейств периодических движений в окрестности положений равновесия впервые исследован A.M. Ляпуновым [28]. Доказана теорема о существовании таких семейств для системы дифференциальных уравнений с голоморфными нелинейными правыми частями. Если характеристическое уравнение такой системы допускает пару чисто мнимых корней, то в нерезонансном случае в системе имеется локальное однопараметрическое семейство (ляпуновское семейство) симметричных преиодических движений.

В работе Ю. А. Рябова [47] дано обобщение этой теоремы Ляпунова: доказано, что утверждение Ляпунова справедливо без каких-либо ограничений на корни характеристического уравнения.

Для обратимых систем теоремы о существовании локальных семейств периодических движений были в разное время сформулированы и доказаны А. Д. Брюно [5] и Р. Л. Девани [92]. Наиболее общая формулировка теоремы для обратимых систем дана в работе В. Н. Тхая [64]. Это утверждение содержит конструктивно проверяемые условия существования ляпуновских семейств в обратимой механической системе. В этой же работе имеется условие существования периодических движений в обратимой системе при некоторых нарушениях условий общей теоремы. В [55] доказана теорема о существовании периодических движений в неисследованном ранее вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения. Существование ляпуновских семейств периодических движений в резонансных случаях исследуется в работе М. Б. Севрюка [125] для векторных полей (при I — п). В одном из последних исследований В. Н. Тхая [73] рассматривается обратимая механическая системадоказаны теоремы о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в различных резонансных случаях. Для исследования применяются методы, развитые для обратимых систем [62, 71]. Заметим здесь, что тема резонансности в динамических системах также хорошо изучена в литературе в самых различных аспектах. Явление резонансности изучалось в общей теории динамических систем [5, 20, 33, 121, 122, 123, 133], в теории обратимых систем [8, 58, 73], а также непосредственно в приложении к ограниченной задаче трех тел [31, 84].

В работе А. А. Зевина [137] доказано утверждение, содержащее условия продолжения локальных семейств периодических движений по параметру. При этом возможны следующие сценарии эволюции локальных семейств: 1) стягивание к положению равновесия- 2) переход в другие семейства движений (симметричных или несимметричных) — 3) неограниченное возрастание периода, а также амплитуды периодических движений («катастрофа голубого неба»).

В.Н. Тхаем [57, 65] был разработан и строго математически обоснован конструктивный метод численного построения и исследования устойчивости в смысле Ляпунова всех периодических траекторий в обратимой механической системе. Он основан на том, что периодическое решение обратимой системы дважды пересекает неподвижное множество М. Доказано, что пересечение множеств М и Мт (образ неподвижного множества при изменении независимой переменной за полупериод) содержит все точки, принадлежащие симметричным 2Т-периодическим решениям обратимой системы.

В дальнейшем данный метод был успешно реализован на компьютере и опробован на различных задачах классической и небесной механики: задаче Хилла (И.Л. Ефимов, В. Н. Тхай, [13]), ограниченной задаче трех тел4, задаче о движении спутника (Ю.Д. Глухих, В. Н. Тхай, [7], Д. Л. Гродман, В. Н. Тхай, [9]), фотогравитационной ограниченной задачи трех тел (Н.Н. Титова, В. Н. Тхай, [52, 53]).

Заметим, что подобный подход к построению симметричных периодических траекторий встречается в работах Э. Уиттекера [74] и А. Ф. Шанцле [124]. Он заключается в том, что вектор скорости при движении по орбите должен быть перпендикулярен оси абсцисс в точках ее пересечения с орбитой. Такой подход используется, например, в [130 132] при построении орбит Копенгагенской задачи. В отличие от этого критерия, метод построения, разработанный В. Н. Тхаем, опирается на строгие теоремы. Учитывание свойства обратимости системы уравнений движения дает возможность выполнять построение симметричных орбит «с открытыми глазами» .

В заключение перейдем к краткому описанию содержания настоящей диссертационной работы.

В первой главе приведены все основные теоремы и методы, кото.

4 Ефимов И. Л. Компьютерное моделирование периодических орбит ограниченной задачи трех тел. Дипломная работа. 2000. МГАПИ, кафедра «Математическое моделирование» рые в последующих главах используются для исследования ограниченной фотогравитационной задачи трех тел. Дается формулировка общей теоремы о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений, примыкающих к положению равновесия гладкой автономной обратимой системы, а также теорема о существовании локальных семейств в случае резонанса третьего порядка и в случае, когда характеристическое уравнение системы допускает пару нулевых корней. Для неисследованного ранее случая двух простых нулевых корней теорема о существовании локальных семейств периодических движений приводится с подробным доказательством. Излагается метод построения всех симметричных периодических движений обратимой системы, а также исследования этих движений на устойчивость по Ляпунову.

Вторая глава посвящена решению вопроса о существовании локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности кол-линеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел. Вводится в рассмотрение плоскость параметров задачи, на которой выделены области существования качественно различных кол-линеарных точек либрации. Проведено численное исследование каждой коллинеарной точки на этой плоскости параметровнайдены области существования одного, двух или отсутствия ляпуновских семейств симметричных периодических орбит в окрестности точки либрации. Исследован также вопрос о наличии ляпуновских семейств в случае резонанса третьего порядка и в случае присутствия нулевых корней характеристического уравнения.

В третьей главе с помощью компьютерного моделирования систематически исследованы нелокальные периодические орбиты ограниченной фотогравитационной задачи трех тел, примыкающие к коллинеарным точкам либрации. При этом выполнено численное продолжение локальных семейств, исследована их эволюция и бифуркациидля каждой орбиты выяснено свойство устойчивостипредложена классификация орбит. Рассмотрен случай идентичной двойной звезды (основные тела с равными массами и одинаковой светимостью), а также случай двойной звездной системы, близкой к идентичной. В результате проведенных обширных исследований впервые выполнена систематическая работа по изучению семейств симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

— теорема о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений в обратимой механической системе с двумя степенями свободы в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения;

— исследование существования ляпуновских семейств симметричных периодических орбит примыкающих к коллинеарным точкам либрации ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел;

— систематическое исследование нелокальных периодических орбит ограниченной фотогравитационной ограниченной задачи трех тел, примыкающих к коллинеарным точкам либрации: численное продолжение локальных семейств, построение орбит, исследование их эволюции, бифуркаций, свойства устойчивости по Ляпунову.

Заключение

.

В настоящей диссертационной работе впервые проведено систематическое исследование симметричных периодических орбит ограниченной фотогравитационной задачи трех тел. К задаче впервые применяется теория обратимых механических систем, которая учитывает фундаментальное свойство симметрии небесномеханических моделей.

Впервые получены условия существования симметричных периодических решений в вырожденном случае двух простых нулевых корней характеристического уравнения. Теорема дополняет теорию развитую В. Н. Тхаем [64, 73] о существовании локальных семейств периодических орбит в окрестности положений равновесия обратимых механических систем.

С помощью указанной теории проведено полное исследование существования ляпуновских семейств периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи. На плоскости параметров задачи (Q, Q2) выделены области существования различного количества локальных ляпуновских семейств симметричных периодических орбит для всех коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи. Кроме того, исследовано существование ляпуновских семейств в случаях, не подпадающих под общую теорию: в случае внутреннего резонанса третьего порядка и в случае существования нулевых корней характеристического уравнения.

Локальные ляпуновские семейства продолжены по параметру, выполнено построение и классификация нелокальных симметричных периодических орбит, исследована их эволюция, бифуркации, устойчивость по Ляпунову. Подробно рассмотрен случай идентичной двойной звезды, когда оба основных тела аналогичны друг другу, а также звездная система, близкая к идентичной двойной звезде.

Все результаты диссертационной работы получены с помощью строго обоснованных современных конструктивных методов исследования. Результаты численных исследований обосновываются совпадением с известными результатами в частных случаях (классическая задача трех тел, Копенгагенская задача).

Основными методами исследования в диссертации являются:

— метод продолжения по малому параметру симметричных периодических решений обратимой механической системы в негрубых случаях (В.Н. Тхай);

— метод нормальных форм в резонансном случае;

— метод построения и исследования на устойчивость всех симметричных периодических движений обратимой механической системы, развитый В. Н. Тхаем [57, 65].

Результаты по исследованию фотогравитационной задачи трех тел (существование локальных семейств при различных значениях параметров задачи, построение и исследование на устойчивость периодических орбит) могут быть применены при изучении движения объектов (планет, комет, спутников и т. п.) в фотогравитационном силовом поле двойных звезд. Теоретические результаты, полученные в работе, могут быть использованы при решении других прикладных задач, описываемых обратимыми системами дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М. В. Ломоносова, ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, Институте Проблем Механики РАН, ИПА РАН, ГАИШ, МАИ и другими научными центрами математики, механики и астрономии.