Структура и объем диссертации
.
Диссертация состоит из пяти глав и заключения. В работе 87 страниц, 50 наименований использованной литературы, 78 рисунков.
В главе 1 (введении) сформулирована общая постановка задачи и приведен краткий обзор результатов, касающихся известных моделей гравитационных полей, допускающих интегрирование в квадратурах, среди которых представлена и рассматриваемая модель. Описаны известные интегрируемые варианты задачи двух неподвижных центров: Кеплера, Р. Баррара, Дж. Винти и М. Д. Кислика, Е. П. Аксенова, В. Г. Демина и Е. А. Гребенникова, а также предложенный А. А. Кочиевым и рассматриваемый автором некоторый новый вариант:
0) где.
X +ус) +Z ,.
2).
Глава 2 посвящена постановке задачи и интегрированию уравнений движения.
К В параграфе 2.1. ставится задача с потенциалом (1): проинтегриро-I] вать в квадратурах уравнения движения материальной точки в поле с Sуказанным. В параграфе 2.3 рассматриваются сжатые сфероидальные коор-' дината-" ч, ,. /.
————————————————.sa^lt^^ VLa x = Ajucos.
• d (0 f 1 с2.
U2 Л2 где аdt = (л2 -су.
4).
5).
L{A) = (л2-с21Л2 (2а, Л2 + 2/МЛ + а2)+а2с2 = (-М2-сс23 -M2(2alc2ju1 +а2).
В параграфе 2.2 рассмотрена связь потенциала модельной задачи с потенциалом поля тяготения твердого тела и гауссова кольца.
На основе системы уравнений (4) и многочленов (5) разработан алгоритм построения промежуточной орбиты, которая для ограниченных движений (А <0) в общем случае является условно-периодической с тремя периодами.
В параграфе 2.3 получены три первых интеграла в инволюции, т. е. такая система первых интегралов, скобки Пуассона от которых для любых двух интегралов тождественно равны нулю.
Соответствующие интегралы в сжатых сфероидальных координатах (8) имеют вид:
Рт = «3.
Л2-С2)Р2ЛН-М2)Р1, pi 2/МЛ.
2 .2.
Al-fic Л1ц.
2,2/<]2 «2"2. ч2/1, 2"2.
Л1-цгсг У.
Л2-м2с2 2C2JMAju2 Л2-ц2с2 ~ ^ 2 h.
Pl.
6).
В параграфе 2.4 получена полная система первых интегралов, через которые установлена связь между произвольными постоянными, возникшими при интегрировании методом Гамильтона-Якоби, прямоугольными координатами и скоростью точки.
В параграфе 2.5. произведен переход уравнений движений модельной задачи к безразмерным переменным.
В главе 3, состоящей из четырех параграфов, найдены стационарные решения (движения) и исследована их устойчивость по Ляпунову, а также рассмотрены вопросы бифуркации.
В параграфе 3.1 найдены стационарные движения, которые соответствуют круговым орбитам, лежащим в экваториальной плоскости планеты, с центром в начале координат. В заключение параграфа приведён общий алгоритм построения стационарных (круговых) движений.
В параграфе 3.2, посвященном устойчивости по Ляпунову стационарных движений, показано, что круговые орбиты модельной задачи устойчивы по отношению к цилиндрическим координатам r, r, z и i, только для орбит, радиусы г0 которых удовлетворяют неравенству r0 >cV3 + 2л/з, и неустойчивы в противном случае. Здесь же получено, что степень неустойчивости Пуанкаре стационарных движений равна 1.
В параграфе 3.3 получена бифуркационная диаграмма Пуанкаре-Четаева, с помощью которой удобно характеризовать геометрически распределение устойчивых и неустойчивых стационарных движений.
В параграфе 3.4 в виде зависимости постоянной интеграла энергии от постоянной площадей построена бифуркационная диаграмма Смейла.
В главе 4, состоящей из трех параграфов путем исключения циклической координаты получены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса. Здесь же произведен подробный качественный анализ возможных типов движения приведенной задачи, в который переменные разделяются по Лиу-виллю.
В параграфе 4.1. даны необходимые сведения и выведены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса.
В параграфе 4.2. в эллиптических координатах уравнения движения Рауса сведены к квадратурам и выписаны их полная система первых интегралов.
В параграфе 4.3. произведен подробный качественный анализ методам Алексеева В. М. 32], путем построения бифуркационных диаграмм (состоящих в основном из кривых кратных корней) в плоскости g, h в зависимости от постоянной интеграла площадей к2.
Эта методика уже применялась в работах Е. Г. Смирновой [46], Р. М. Бебенина [48].
Типы движения, которые здесь возникают, получают несколько иное освещение в следующей главе.
В главе 5, состоящей из четырех параграфов, проведен качественный анализ траекторий, при котором рассматривается кривые кратных корней на плоскости g, k2 в зависимости от значения постоянной интеграла энергии Л. Заметим, что аналогичный метод применялся в работах [1,11,15,16,45 и ДР-1.
В параграфе 5.1. рассмотрен общий вид многочленов, входящих в квадратуры.
Параграф 5.2 посвящен эллиптическому типу движения (/г<0) и найдено, что все траектории ограничены и делятся на два типа:
1. Траектории, которые лежат внутри эллипсоида вращения и внутри од-нополостного гиперболоида вращения.
2. Траектории, которые лежат внутри однополостного гиперболоида вращения и между двумя софокусными эллипсоидами вращения.
В параграфе 5.3. рассмотрен параболический случай движения (h = 0) и показано, что можно выделить три типа движений:
1. Траектории, которые расположены внутри гиперболоида и не ограничены.
2. Неограниченные траектории, которые находятся вне эллипсоида и внутри гиперболоида.
3. Ограниченные траектории, расположенные внутри гиперболоида и внутри эллипсоида.
В параграфе 5.4. рассмотрен гиперболический случай движения (ft > 0) и показано, что можно выделить следующие качественно типы движений:
1. Неограниченные траектории, которые находятся между двумя одно-полостными гиперболоидами вращения.
2. Неограниченные траектории, расположенные внутри однополосного гиперболоида вращения.
3. Неограниченные траектории внутри однополосного гиперболоида и вне эллипсоида вращения.
4. Ограниченные траектории внутри эллипсоида и внутри гиперболоида навивающиеся на окружность особых точек.
Движение во всех случаях условно-периодическое в общем случае с тремя несоизмеримыми периодами.
Апробация работы. Результаты диссертации частично и целиком докладывались на научно-исследовательских семинарах следующих организаций:
1. Кафедра теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова:
1.1. «Гамильтоновы системы и статистическая механика». Руководители академик В. В. Козлов, член-корреспондент РАН Д. В. Трещёв, проф. С. В. Болотин.
1.2. «Аналитическая механика и устойчивость движения». Руководители академик В. В. Румянцев, член-корреспондент РАН В. В. Белецкийпроф. А. В. Карапетян.
1.3." Механика космического полета" (им. В.А. Егорова). Руководители член-корреспондент РАН В. В. Белецкий, проф. В. В. Сазонов.
1.4. «Динамика относительного движения». Руководители член-корреспондент РАН В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. К. Е. Якимова, доц. Е. В. Мелкумова.
2. Отдел механики ВЦ РАН им. А. А. Дородницына. Руководители проф. С. Я. Степанов, проф. А. В. Карапетян.
3. Совет по небесной механике и астрометрии Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга при МГУ им. М. В. Ломоносова. Руководитель доц. Л. Г. Лукьянов.
4. Кафедра астрономии и космической геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии. Руководитель проф. С. Н. Яшкин.
5. Кафедра геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству. Руководитель проф. В. Н. Баранов.
6. Кафедра высшей математики Московского автомобильно-дорожного института (государственного технического университета). «Дифференциальные уравнения и их приложения в теории не линейных колебаний и небесной механики» Руководители проф. Ю. А. Рябов, проф. С. Г. Журавлев.
Публикации по теме диссертации.
Основные научные результаты диссертации опубликованы в статьях.
1. Васкез Б. X. А., Кочиев А. А. Промежуточная орбита точки в поле тяготения твердого тела. Космические исследования, 2005, том 43, № 5, с. 395 398.
2. Васкез Б. X. А. Потенциал поля сил в одной модельной задаче небесной механики и космической геодезии. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка 2006,.№ 5- с. 107−112.
3 Васкез Б. X. А. Устойчивость круговых орбит в модельной задаче небесной механики. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2006, № б-с.115−121.
4 Васкез Б. X. А. Качественный анализ модельной задачи небесной механики. Эллиптический тип движения. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2007, № l-c.94−116.
Личный вклад автора. В статьях, написанных в соавторстве с А. А. Кочиевым, последнему принадлежит постановка задачи.
Результаты, выносимые на защиту, указаны в «Заключении».
2. Общая постановка задачи.
Математическая формулировка задачи состоит в следующем: проинтегрировать в квадратурах уравнения движения материальной точки в гравитационном поле абсолютно твердого тела, записанные в неподвижной прямоугольной системе координат Oxyz: дх' ду' dz ' где U — силовая функция towwfl у А.
Здесь и ниже обозначены: p{x', y', z') — плотность тела в текущей точке M (x', y', z'), V-объем, занимаемый телом, f — постоянная тяготения, а.
А = -ylix-x'Y+ix-x'f+iz-z')2 (7) есть расстояние между точкой M (x', y', z') и внешней по отношению к телу точкой P (x, y, z), движение которой, собственно, и исследуется.
Разложение в ряд по сферическим функциям силовой функции дается известной формулой [1].
U{x, y, z) = ^[-Yj{rA v «? V Г).
8).
00 «Л. V tz — ^(sin^XQ.cosM+^sinH)] и=2 k=IV J где М — масса притягивающего тела, а г0 его средний экваториальный радиусJn, Cnk, Snk безразмерные постоянные, характеризующие отличие тела от тела сферической структурыРп (sin <р pj^(sin ср) — полиномы и присоединенные функции Лежандра-Л — соответственно длина радиус-вектора, широта и долгота движущейся точки Р, связанные с прямоугольными координатами x, y, z, (соответствующие оси Ox, Оу, Oz направлены по главным осям центрального эллипсоида инерции тела), формулами: x = rcosq>cosX, у = 7* COS sin Д, (9) z = rsin^.
В случае, если тело имеет три взаимно-перпендикулярные плоскости геометрической и динамической симметрии, то J2(+,=.
C2/+i, 2y+i = = = 1,., n, j = 1.,-и = 1,.,-* = 1ии потенциал (14) примет вид [2,3].
2л.
U (x, y, z) = ^-[-f, J2n Р2п{sm.
V /.
10) ZI — P2™(sm.
00 и п п=2к=I.
V' / а если тело вдобавок обладает геометрической и динамической осью симметрии (осесимметричное тело), то С2пЛк = 0 и потенциал (16) будет иметь вид.
U{r,.
Г ~г.
Ряды (8), (10) и (11) абсолютно сходятся при г>?, где г — расстояние наиболее удаленной точки поверхности тела от его центра масс и любых.
7t 7t р и, А (~—<<рй—, -со<�А< +оо) для любого тела [2,3].
Поставим вопрос: найти наиболее общий набор постоянных Jn, СпЛ, Sn k, при которых какая-нибудь из приведенных задач может быть решена либо полностью в квадратурах, либо приближенно. Задача Кеплера.
Естественно, что здесь первой должна быть упомянута задача Кеплера [4], которая получается, если в качестве параметров взять.
В результате имеем потенциал задачи Кеплера U-&-.
Задача Кеплера — наиболее полно разработанная задача теоретической и прикладной небесной механики [4,5,6].
Промежуточные потенциалы, которые имеют вид.
Ф (<�р).
V = F{r) + г2 как известно, допускают интегрируемость в квадратурах уравнении движения. Кроме этого, все потенциалы обладают тем важным свойством, что дают возможность построить промежуточные орбиты, учитывающие вековые возмущения первого порядка относительно сжатия Земли. Отметим задачи Т. Штерна [7],[8], Б. Гарфинкеля [9] и К. Акснеса, [10], в которых рассмотрены потенциалы, содержащие, однако, еще и параметры первоначальной орбиты. Поэтому мы их подробно обсуждать не будем.
Потенциалы, указанные ниже, обладают важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала Земли членами порядка выше первого относительного сжатия. Во-вторых, соответствующие дифференциальные уравнения движения строго интегрируются в квадратурах. В-третьих, потенциалы зависят только от постоянных гравитационного поля Земли и не зависят от элементов орбиты спутника. В-четвертых, соответствующая возмущающая функция не содержит второй зональной гармоники.
Рассмотрим эти задачи поподробнее.
Задача Р. Баррара.
Потенциал задачи Баррара [13], записанный в прямоугольных координатах, имеет вид.
Как показано в [13], если в качестве 8 взять r0 JT2 (8 = то возмущающая функция R имеет вид т. е. V отличается от (1.4) членами порядка JJ^ и следовательно, хорошо аппроксимирует потенциал Земли.
Задача Винти и Кислика. Эти две задачи, по существу совпадающие друг с другом, можно задать с помощью потенциала [14,15].
Р Р где 8 подлежит определению, а p = ^x2+y2+(z-8)2. r = U~V = -^[1 — JP"{sn.
V = — [1 + S (-1)V2 -i P2n (siM] f n=2 yr l.
12) при этом возмущающая функция R имеет вид.
Ли+1 = ~Лл+1> Ля = Uln + (~0 J2 ] и как показано в работах [14,15], они удовлетворяют всем приведенным четырем условиям.
Задача Аксенова, Гребеникова, Демина.
В 1961 г. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников, и В. Г. Демин предложили [15,16,50] для построения теории движения искусственных спутников Земли использовать обобщенную задачу двух неподвижных центров с потенциалом.
W =.
JM.
1 + ia 1 -ia -+.
V 1.
14).
2 У где / = а г2 = x2+y2+[z-c (a + i) f [г2 =х2 + у2 +[z-c{a-i)]2 причем с и, а вещественные постоянные. Разложение потенциала (20) в ряд по многочленам Лежандра в системе сферических координат будет [1] г п=0 гг У" .
— A"(siM] г J.
15).
Выбрав теперь с и оиз условий с = г.
J2.
1 ?
2Л1.
J3 / а = —*-/. aY можно добиться совпадения потенциала обобщенной задачи с потенциалом (8) с точностью до третьей зональной гармоники, при условии, что c", k=snk=o.
Тем самым возмущающая функция R я-^Ы г п=4.
Ч' У.
Р&bdquo-(sinp),.
16).
Jn = -{Jn~Jn), a J" - коэффициенты разложения в формуле (21). В заключение этого небольшого обзора отметим, что в работе [11] также доказано, что потенциал обобщенной задачи двух неподвижных центров содержит в себе, как частные случаи, потенциалы Винти и Кислика и, как предельный случай, потенциал Р. Баррара.
Таким образом, все предложенные промежуточные потенциалы аппроксимировали только осесимметричное тело Спк = S&bdquo-л = 0, и никак не учитывали долготные члены.
Однако, если этот факт можно интерпретировать как большой недостаток, имея ввиду аппроксимацию с помощью такого потенциала потенциалов тел, имеющих трехосную и более сложную форму, в небесной механике, то в звездной динамике имеется огромное количество астрофизических объектов, для которых осесимметричный потенциал вполне адекватно отражает поле действующих сил, причем как в стационарных [36, 37], так и нестационарных [38] задачах.
Итак, как уже отмечалось во введении в нашей работе рассматривается потенциал, предложенный А. А. Кочиевым (1),.
Потенциал описывает некоторый новый вариант задачи двух неподвижных центров и его механический и физический смысл будет описан позже. где (2).
Глава 2. Постановка задачи, интегрирование уравнений движения.
В настоящей главе, установлен механический смысл нового интегрируемого приближения потенциала.
Построена система сжатых сфероидальных координат, которые применены к интегрированию методом Гамильтона-Якоби уравнений движения задачи.
Доказано, что потенциал задачи может с высокой степенью точности, лучше, чем существующие, аппроксимировать потенциал реального тела. Особенно он близок к потенциалу однородного кольца гауссова, для которого приведены две качественно разные аппроксимации потенциалом задачи.
Заключение
.
Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:
1. Рассмотрена постановка новой модельной задачи о движении материальной точки в поле притяжения двух центров, определенном образом расположенных в плоскости. Показано, что потенциал этой модельной задачи учитывает вторую зональную гармонику потенциала поля тяготения осесиммеирич-ного твердого тела.
2. Доказано, что построенный потенциал мало отличается от потенциала гауссова кольца.
3. Методом разделения переменных двумя способами найден полный интеграл уравнений движений:
— применением теоремы Штекеля в пространственном случае,.
— путем исключения циклической координаты Рауса и выявления лувилле-ва вида приведенной системы.
Написаны общие решения соответствующей системы уравнений в квадратурах.
4. Выявлен класс стационарных (круговых) движений и установлена их устойчивость или неустойчивость по Ляпунову. Найдены бифуркационные значения параметров и построены диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.
5. На плоскостях констант первых интегралов построены бифуркационные диаграммы возможных типов движений.
— по Алексееву для приведенных систем в зависимости от постоянной интеграла площадей,.
— в зависимости от постоянной интеграла энергии.
Выявлены следующие классы траекторий: (А) движение между гиперболоидом и эллипсоидом., (Б) движение между двумя эллипсоидами и внутри гиперболоидом. (В) неограниченное движение внутри гиперболоида, (Г) неограниченное движение внутри гиперболоида и вне эллипсоида, (Д) неограниченное движение вне эллипсоида и между двумя гиперболоидами.