Статистические свойства квазимультифрактальных случайных процессов
Диссертация
Во втором разделе главы вводится понятие самовозбуждающегося мультифрактального процесса, явным образом описывающего зависимость последующих значений процесса от предыдущих. Данная «эндогенность» является отличительной чертой последовательностей первичных толчков и порожденных ими «афтершоков». Отличительным свойством самовозбуждающегося мультифрактального процесса от других мультифрактальных… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Мультифрактальные случайные процессы — описание и модели
- 1. 1. Мультифрактальный формализм
- 1. 2. Теория мультифрактальных случайных процессов
- 1. 3. Мультифрактальное случайное блуждание
- 1. 4. Выводы
- Глава 2. Диффузионный квазимультифрактальный случайный процесс. Аналитико-численное описание
- 2. 1. Определение диффузионного квазимультифрактального процесса
- 2. 2. Диффузионные свойства квазимультифрактального процесса
- 2. 3. Определение высших моментов приращений
- 2. 4. Эффективные масштабные показатели
- 2. 5. «Сокращенная» формула для вычисления локальных показателей
- 2. 6. Результаты численных расчетов. Инерционный интервал и квазимультифрактальные спектры
- 2. 7. Коэффициент перемежаемости и универсальный вид квазимультифрактального спектра
- 2. 8. Выводы
- Глава 3. Численное моделирование диффузионного квазимультифрактального случайного процесса
- 3. 1. Дискретная модель диффузионного квазимультифрактального процесса
- 3. 2. Некоторые аспекты численного моделирования
- 3. 3. Результаты численного моделирования реализаций
- 3. 4. Функции распределения приращений квазимультифракталь-ного процесса
- 3. 5. Оценка кавзимультифрактальных спектров процесса по полученным реализациям
- 3. 6. Выводы
- Глава 4. Расширения квазимультифрактальной модели
- 4. 1. Дробный квазимультифрактальный процесс
- 4. 2. Самовозбуждающийся мультифрактальный процесс
- 4. 3. Выводы
Список литературы
- Richardson L. F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
- Колмогоров A. H. О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // ДАН СССР. 1941. Т. XXXI, № 2. С. 99−101.
- Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т. XXX, № 4. С. 299−303.
- Колмогоров А. Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // ДАН СССР. 1941. Т. XXXI, № 6. С. 538−541.
- Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности // ДАН СССР. 1941. Т. XXXII, № 1. С. 19−21.
- Kolmogorov А. N. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 1962. Vol. 13, no. 1. P. 82−85.
- Argoul F., Arneodo A., Grasseau G. et al. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of the Richardson cascade // Nature. 1989. Vol. 338, no. 6210. P. 51−53.
- Frisch U. Turbulence: the legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press, 1995.
- Benzi R., Ciliberto S., Baudet C. et al. Extended Self-Similarity in the
- Dissipation Range of Fully Developed Turbulence // Europhysics Letters. 1993. Vol. 24, no. 4. P. 275−279.
- Benzi R., Ciliberto S., Baudet C., Chavarria G. R. On the scaling of three-dimensional homogeneous and isotropic turbulence // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1995. Vol. 80, no. 4. P. 385−398.
- Biferale L., Boffetta G., Celani A. et al. Multifractal Statistics of La-grangian Velocity and Acceleration in Turbulence // Physical Review Letters. 2004. Vol. 93, no. 6. P. 64 502+.
- Xu H., Ouellette N. Т., Bodenschatz E. Multifractal Dimension of La-grangian Turbulence // Physical Review Letters. 2006. Vol. 96, no. 11. Р. 114 503+.
- Yakhot V. Probability densities in strong turbulence // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2006. Vol. 215, no. 2. P. 166−174.
- Pandit R., Ray S., Mitra D. Dynamic multiscaling in turbulence // The European Physical Journal В Condensed Matter and Complex Systems. 2008. Vol. 64, no. 3. P. 463−469.
- Lux T. The Markov-Switching Multifractal Model of Asset Returns // Journal of Business and Economic Statistics. 2008. Vol. 26, no. 2. P. 194−210.
- Zunino L., Tabak В., Figliola A. et al. A multifractal approach for stock market inefficiency // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2008. Vol. 387, no. 26. P. 6558−6566.
- Calvet L. E., Fisher A. J. Multifractal Volatility: Theory, Forecasting, and Pricing. Academic Press, 2008.
- Calvet L., Fisher A. Multifrequency news and stock returns // Journal of Financial Economics. 2007. Vol. 86, no. 1. P. 178−212.
- Bacry E., Kozhemyak A., Muzy J. F. Log-Normal continuous cascades: aggregation properties and estimation. Application to financial time-series. 2008. E-print arXiv:0804.0185.
- Muzy J. F., Delour J., Bacry E. Modelling fluctuations of financial time series: from cascade process to stochastic volatility model // The European Physical Journal В Condensed Matter and Complex Systems. 2000. Vol. 17, no. 3. P. 537−548.
- Bacry E., Delour J., Muzy J. F. A multivariate multifractal model for return fluctuations. 2000. E-print arXiv: cond-mat/9 260.
- Pochart В., Bouchaud J.-P. The skewed multifractal random walk with applications to option smiles // Quantitative Finance. 2002. Vol. 2, no. 4. P. 303−314.
- Sornette D., Ouillon G. Multifractal Scaling of Thermally Activated Rupture Processes // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, no. 3. P. 38 501+.
- Ouillon G., Sornette D. Magnitude-Dependent Omori Law: Empirical Study and Theory // Journal of geophysical research. 2005. Vol. 110, no. B4. P. B04306+.
- Ouillon G., Sornette D., Ribeiro E. Multifractal Omori law for earthquake triggering: new tests on the California, Japan and worldwide catalogues // Geophysical Journal International. 2009. Vol. 178, no. 1. P. 215−243.
- Afraimovich V., Zaslavsky G. M. Fractal and multifractal properties ofexit times and Poincare recurrences // Physical Review E. 1997. Vol. 55, no. 5. P. 5418−5426.
- Silchenko А., Ни С. K. Multifractal characterization of stochastic resonance // Physical Review E. 2001. Vol. 63, no. 4. P. 41 105+.
- Anishchenko V. S., Astakhov V., Neiman A. et al. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems: Tutorial and Modern Developments. Second edition. Springer, 2007.
- Pavlov A., Sosnovtseva O., Ziganshin A. et al. Multiscality in the dynamics of coupled chaotic systems // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. Vol. 316, no. 1−4. P. 233−249.
- Ivanov P. C., Amaral L. A., Goldberger A. L. et al. Multifractality in human heartbeat dynamics // Nature. 1999. Vol. 399, no. 6735. P. 461−465.
- Ivanov P. С. C., Nunes Amaral L. A. A., Goldberger A. L. L. et al. From 1/f noise to multifractal cascades in heartbeat dynamics. // Chaos (Woodbury, N.Y.). 2001. Vol. 11, no. 3. P. 641−652.
- Nunes Amaral L. A., Ch P., Aoyagi N. et al. Behavioral-Independent Features of Complex Heartbeat Dynamics // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 26. P. 6026−6029.
- Ching E. S. C., Tsang Y. K. Multifractality and scale invariance in human heartbeat dynamics // Physical Review E. 2007. Vol. 76, no. 4.
- Riedi R. H., Vehel J. Multifractal Properties of TCP Traffic: a Numerical Study. INRIA research report #3129. Rice University, 1997. URL: http://www.stat.rice.edu/~riedi/Publ/PDF/ts.pdf (дата обращения: 17.02.2010).
- Vehel J. L., Sikdar B. A multiplicative multifractal model for TCP traffic // Computers and Communications, 2001. Proceedings. Sixth IEEE Symposium on. 2001. P. 714−719.
- Veitch D., Hohn N., Abry P. Multifractality in TCP/IP traffic: the case against // Computer Networks. 2005. Vol. 48, no. 3. P. 293−313.
- Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors // Physics Letters A. 1983. Vol. 97, no. 6. P. 227−230.
- Benzi R., Paladin G., Parisi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1984. Vol. 17, no. 18. P. 3521−3531.
- Feigenbaum M. J. Some characterizations of strange sets // Journal of Statistical Physics. 1987. Vol. 46, no. 5. P. 919−924.
- Jensen M. H., Kadanoff L. P., Procaccia I. Scaling structure and thermodynamics of strange sets // Physical Review A. 1987. Vol. 36, no. 3. P. 1409−1420.
- Feder J. Fractals. Springer, 1988.
- Harte D. Multifractals: Theory and Applications. Chapman & Hall, 2001.
- Sornette D. Critical Phenomena in Natural Sciences. Chaos, Fractals, Selforganization and Disorder: Concepts and Tools. Second edition. Springer, 2006.
- Beran J. Statistics for long-memory processes. Chapman & Hall, 1994.
- Mandelbrot В. B. Les objets fractals: forme, hasard et dimension. Flam-marion, 1975.
- Mandelbrot В. В. Fractals: Form, Chance and Dimension. W. H. Freeman, 1977.
- Mandelbrot B. Possible refinement of the lognormal hypothesis concerning the distribution of energy dissipation in intermittent turbulence // Statistical Models and Turbulence. 1972. P. 333−351.
- Mandelbrot В. B. Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier // Journal of Fluid Mechanics. 1974. Vol. 62, no. 2. P. 331−358.
- Parisi G., Frisch U. On the singularity structure of fully developed turbulence // Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi». 1985. P. 84−87.
- Muzy J. F., Bacry E., Arneodo A. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data // Physical Review Letters. 1991. Vol. 67, no. 25. P. 3515−3518.
- Muzy J. F., Bacry E., Arneodo A. Multifractal formalism for fractal signals: The structure-function approach versus the wavelet-transform modulus-maxima method // Physical Review E. 1993. Vol. 47, no. 2. P. 875−884.
- Павлов A. H., Анищенко В. С. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // Успехи физических наук. 2007. Т. 177, № 8. С. 859−876.
- Riedi R. Н. Multifractal processes // Theory and applications of long range dependence. 2003. P. 625−716.
- Muzy J. F., Bacry E. Multifractal stationary random measures and multi-fractal random walks with log infinitely divisible scaling laws // Physical Review E. 2002. Vol. 66, no. 5. P. 56 121+.
- Bacry E., Muzy J. F. Log-Infinitely Divisible Multifractal Processes // Communications in Mathematical Physics. 2003. Vol. 236, no. 3. P. 449−475.
- Mandelbrot В. В., Fisher A. J., Calvet L. E. A Multifractal Model of Asset Returns. Cowles Foundation Discussion Paper #1164. 1997. URL: http: //ideas.uqam. ca/ideas/data/Papers/cwlcwldppl 164. html (дата обращения: 17.02.2010).
- Mandelbrot В. В., Fisher A. J., Calvet L. E. Large Deviations and the Distribution of Price Changes. Cowles Foundation Discussion Paper #1165. 1997. URL: http://ideas.repec.org/p/cwl/cwldpp/1165. html (дата обращения: 17.02.2010).
- Mandelbrot В. В. Fractals and Scaling In Finance. Springer, 1997.
- Calvet L. E., Fisher A. J. How to Forecast Long-Run Volatility: Regime Switching and the Estimation of Multifractal Processes // Journal of Financial Econometrics. 2004. Vol. 2, no. 1. P. 49−83.
- Bacry E., Delour J., Muzy J. F. Multifractal random walk // Physical Review E. 2001. Vol. 64, no. 2. P. 26 103+.
- Saichev A., Sornette D. Generic multifractality in exponentials of long memory processes // Physical Review E. 2006. Vol. 74, no. 1. P. 11 111'+.
- Malcai O., Lidar D. A., Biham O., Avnir D. Scaling range and cutoffs in empirical fractals // Physical Review E. 1997. Vol. 56, no. 3. P. 2817−2828.
- Tsonis A. A., Biham O., Malaci O. et al. Fractality in Nature // Science. 1998. Vol. 279, no. 5357. P. 1611.
- Mandelbrot В. В., Pfeifer P., Biham О. et al. Is Nature Fractal? // Science. 1998. Vol. 279, no. 5352. P. 783.
- Лапинова С. А., Саичев А. И. Универсальный спектр логнормально-го мультифрактального процесса // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2008. Т. 51, № 1. С. 171−179.
- Mandelbrot В. В. The Fractal Geometry of Nature. Updated edition. W. H. Freeman, 1982.
- Peano G. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathema-tische Annalen. 1890. Vol. 36, no. 1. P. 157−160.
- Mandelbrot В. B. Self-Affine Fractals and Fractal Dimension // Physica Scripta. 1985. Vol. 32, no. 4. P. 257−260.
- Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise. W. H. Freeman, 1992.
- Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Second edition. Wiley, 2003.
- Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts // Verh. Nederl. Akad. Wetensch. Afd. Natuurk. Sect. I. 1929. Vol. 14. P. 1−96.
- Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971.
- Minkowski Н. Uber die Begriffe Lange, Oberflache und Volumen // Jahresbericht der Deutschen Mathe. Vereinigung. 1901. Vol. 9. P. 115−179.
- Hausdorff F. Dimension und ausseres Mass // Mathematische Annalen. 1919. P. 157−179.
- Crownover R. M. Introduction to Fractals and Chaos. Jones & Bartlett Publishers, 1995.
- Edgar G. A. Classics On Fractals. Westview Press, 2003.
- Молчан Г. M. Фракталы и мультифрактальный формализм. Курс лекций. 2006. URL: http://www.mccme.ru/~ansobol/teaching/complex. html (дата обращения: 17.02.2010).
- Farmer J., Ott E., Yorke J. The dimension of chaotic attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 7, no. 1−3. P. 153−180.
- Halsey Т. C., Jensen M. H., Kadanoff L. P. et al. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets // Physical Review A. 1986. Vol. 33, no. 2. P. 1141−1151.
- Muzy J. F., Bacry E., Arneodo A. The multifractal formalism revisited with wavelets // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1994. Vol. 4, no. 2. P. 245−302.
- Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: РХД, 2001.
- Pesin Y. В. Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views and Applications. University Of Chicago Press, 1997.
- Stanley H. E., Meakin P. Multifractal phenomena in physics and chemistry // Nature. 1988. Vol. 335, no. 6189. P. 405−409.
- Borodin A. N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion: Facts and Formulae. Birkhauser, 1996.
- Mandelbrot В. В., Van Ness J. W. Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications // SIAM Review. 1968. Vol. 10, no. 4. P. 422−437.
- Muzy J. F., Bacry E., Kozhemyak A. Extreme values and fat tails of multifractal fluctuations // Physical Review E. 2006. Vol. 73, no. 6. P. 66 114+.
- Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Ed. by M. Abramowitz, I. A. Stegun. Dover Publications, 1965.
- Shlesinger M. F., Zaslavsky G. M., Klafter J. Strange kinetics // Nature. 1993. Vol. 363, no. 6424. P. 31−37.
- Klafter J., Shlesinger M. F., Zumofen G. Beyond Brownian Motion // Physics Today. 1996. Vol. 49, no. 2. P. 33−39.
- Samorodnitsky G., Taqqu M. S. Stable non-Gaussian random processes: stochastic models with infinite variance. Chapman & Hall, 1994.
- Molchan G. M. Scaling exponents and multifractal dimensions for independent random cascades // Communications in Mathematical Physics. 1996. Vol. 179, no. 3. P. 681−702.
- Molchan G. M. Turbulent cascades: Limitations and a statistical test of the lognormal hypothesis // Physics of Fluids. 1997. Vol. 9, no. 8. P. 2387−2396.
- Kahane J. P., Peyriere J. Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot // Advances in mathematics. 1976. Vol. 22, no. 2. P. 131−145.
- Castaing В., Gagne Y., Hopfinger E. Velocity probability density functions of high Reynolds number turbulence // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1990. Vol. 46, no. 2. P. 177−200.
- Meneveau C., Sreenivasan K. R. Simple multifractal cascade model forfully developed turbulence // Physical Review Letters. 1987. Vol. 59, no. 13. P. 1424−1427.
- Arneodo A., Bacry E., Muzy J. F. Random cascades on wavelet dyadic trees // Journal of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. P. 4142−4164.
- Arneodo A., Bacry E., Manneville S., Muzy J. F. Analysis of Random Cascades Using Space-Scale Correlation Functions // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 4. P. 708−711.
- Crow E. L., Shimizu K. Lognormal Distributions. CRC Press, 1987.
- Рытов С. M. Введение в статистическую радиофизику. 4.1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976.
- Фихтенгольц F. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т. 3.
- Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1978.
- Deboor С. A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K, 1978.103. von Seggern D. H. CRC Standard Curves and Surfaces with Mathernat-ica. Second edition. Chapman and Hall/CRC, 2006.
- Touchette H., Beck C. Nonconcave Entropies in Multifractals and the Thermodynamic Formalism // Journal of Statistical Physics. 2006. Vol. 125, no. 2. P. 455−471.
- Thomas D. В., Luk W., Leong P. H. W., Villasenor J. D. Gaussian random number generators // ACM Computing Surveys. 2007. Vol. 39, no. 4. P. 11+.
- Devroye L. Non-Uniform Random Variate Generation. 1 edition. Springer, 1986.
- Wichura M. J. Algorithm AS 241: The Percentage Points of the Normal Distribution // Journal of the Royal Statistical Society. Series С (Applied Statistics). 1988. Vol. 37, no. 3. P. 477−484.
- Box G. E. P., Muller M. E. A note on the generation of random normal deviates // The Annals of Mathematical Statistics. 1958. Vol. 29, no. 2. P. 610−611.
- Golder E. R., Settle J. G. The Box-Muller Method for Generating Pseudo-Random Normal Deviates // Journal of the Royal Statistical Society. Series С (Applied Statistics). 1976. VoL 25, no. 1. P. 12−20.
- Bell J. R. Algorithm 334: Normal random deviates // Communications of the ACM. 1968. Vol. 11, no. 7. P. 498+.
- Knop R. Remark on algorithm 334 G5.: normal random deviates // Communications of the ACM. 1969. Vol. 12, no. 5. P. 281+.
- Marsaglia G., Tsang W. W. A Fast, Easily Implemented Method for Sampling from Decreasing or Symmetric Unimodal Density Functions // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1984. Vol. 5, no. 2. P. 349−359.
- Marsaglia G., Tsang W. W. The Ziggurat Method for Generating Random Variables // Journal of Statistical Software. 2000. Vol. 5, no. 8. P. 1−7.
- Marsaglia G. Generating a Variable from the Tail of the Normal Distribution // Technometrics. 1964. Vol. 6, no. 1. P. 101−102.
- Schindler W. Random Number Generators for Cryptographic Applications // Cryptographic Engineering / Ed. by с. K. Ko?. Springer Boston, 2009. P. 5−23.
- Gentle J. E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Second edition. Springer, 2004.
- Marsaglia G. Random numbers fall mainly in the planes // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1968. Vol. 61, no. 1. P. 25−28.
- Lehmer D. H. Mathematical methods in large-scale computing units // Proceedings of the Second Symposium on Large Scale Digital Computing Machinery. 1951. P. 141−146.
- Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ: В 3 т. Т.2: Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977.
- Lewis Т. G., Payne W. Н. Generalized Feedback Shift Register Pseudorandom Number Algorithm // Journal of the ACM. 1973. Vol. 20, no. 3. P. 456−468.
- Marsaglia G., Zaman A. A New Class of Random Number Generators // The Annals of Applied Probability. 1991. Vol. 1, no. 3. P. 462−480.
- Marsaglia G. Random number generators // Journal of Modern Applied Statistical Methods. 2003. Vol. 2, no. 1. P. 2−13.
- Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne twister: a 623-dimensional-ly equidistributed uniform pseudo-random number generator // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 1998. Vol. 8, no. 1. P. 3−30.
- Matsumoto M., Nishimura Т. Dynamic Creation of Pseudorandom Number Generators I j Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods. 1998. P. 56−69.
- Боровков А. А. Математическая статистика. M.: Наука, 1984.
- Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.
- Marsaglia G., Zaman A. Monkey tests for random number generators // Computers and Mathematics with Applications. 1993. Vol. 26, no. 9. P. 1−10.
- Marsaglia G. The Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. 1995. URL: http://www. stat.fsu.edu/pub/diehard/ (дата обращения: 17.02.2010).
- Davis M. Production of conditional simulations via the LU triangular decomposition of the covariance matrix // Mathematical Geology. 1987. Vol. 19, no. 2. P. 91−98.
- Shinozuka M., Jan C. Digital simulation of random processes and its applications // Journal of Sound Vibration. 1972. Vol. 25. P. 111−128.
- Dietrich C. R., Newsam G. N. Fast and Exact Simulation of Stationary Gaussian Processes through Circulant Embedding of the Covariance Matrix // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. Vol. 18, no. 4. P. 1088−1107.
- Chan G., Wood A. T. A. Simulation of stationary Gaussian vector fields // Statistics and Computing. 1999. Vol. 9, no. 4. P. 265−268.
- Percival D. Exact simulation of complex-valued Gaussian stationary processes via circulant embedding // Signal Processing. 2006. Vol. 86, no. 7. P. 1470−1476.
- Gray R. M. Toeplitz and Circulant Matrices: A review. Now Publishers Inc, 2006.
- Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
- Dembo A., Mallows С. L., Shepp L. A. Embedding nonnegative definite Toeplitz matrices in nonnegative definite circulant matrices, with application to covariance estimation // IEEE Transactions on Information Theory. 1989. Vol. 35, no. 6. P. 1206−1212.
- Cont R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quantitative Finance. 2001. Vol. 1. P. 223−236.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964. Т. 1.
- Fishman G. Monte Carlo. Corrected edition. Springer, 2003.
- Колмогоров A. H. Избранные труды: Математика и механика, Под ред. С. М. Никольский. М.: Наука, 1985.
- She Z. S., Leveque Е. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Physical Review Letters. 1994. Vol. 72, no. 3. P. 336−339.
- Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Пермь: Изд-во ПГТУ, 1998.
- Dubrulle В. Intermittency in fully developed turbulence: Log-Poisson statistics and generalized scale covariance // Physical Review Letters. 1994. Vol. 73, no. 7. P. 959−962.
- Van Atta C., Park J. Statistical self-similarity and inertial subrange turbulence // Statistical Models and Turbulence / Ed. by M. Rosenblatt, C. Atta. Springer Berlin Heidelberg, 1972. Vol. 12 of Lecture Notes in Physics. P. 402−426.
- Anselmet F., Gagne Y., Hopfinger E. J., Antonia R. A. High-order velocity structure functions in turbulent shear flows // Journal of Fluid Mechanics. 1984. Vol. 140. P. 63−89.
- Perrin E., Harba R., Jennane R., Iribarren I. Fast and exact synthesis for 1-D fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises // Signal Processing Letters, IEEE. 2002. Vol. 9, no. 11. P. 382−384.
- Engle R. F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. 1982. Vol. 50, no. 4. P. 987−1007.
- Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. Vol. 31, no. 3. P. 307−327.
- Bollerslev Т., Chou R. Y., Kroner K. F. ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 52, no. 1−2. P. 5−59.
- Handbook of Financial Time Series, Ed. by T. G. Andersen, R. A. Davis, J.-P. Kreiss, T. Mikosch. Springer, 2009. I
- Jeanblanc M., Yor M., Chesney M. Mathematical Methods for Financial Markets. Springer, 2009.
- Oksendal В. К. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Fifth edition. Springer, 2002.
- Holden H., Oksendal В., Uboe J., Zhang T. Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach. Second edition. Springer, 2009.
- Bouchaud J.-P., Potters M. Theory of financial risks: from statistical physics to risk management. First edition. Cambridge University Press, 2000.
- Bouchaud J.-P., Matacz A., Potters M. The leverage effect in financial markets: retarded volatility and market panic // Physical Review Letters. 2001. Vol. 87, no. 22. P. 228 701+.
- Sornette D. Dragon-Kings, Black Swans and the Prediction of Crises // International Journal of Terraspace Science and Engineering. 2009. Vol. 2, no. 1.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. О спектре диффузионного мультифрактального процесса // ЖЭТФ. 2007. Т. 132, № 5. С. 1235−1244.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. Изучение симметричного мультифрактального процесса // Вестник ННГУ Радиофизика. 2007. Т. 3. С. 53−57.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. Численное моделирование диффузионного квазимультифрактального процесса // ЖЭТФ. 2008. Т. 134, № 2. С. 381−389.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. Численное моделирование реализаций и спектры квазимультифрактального диффузионного процесса // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 87, № 9. С. 592−596.
- Saichev A., Filimonov V. The Study of the Discrete Quasi-Multifractal Process // Proc. of the International Conference on Noise and Fluctuations (ICNF'2009). AIP, 2009. P. 515−518.
- Филимонов В. А. Моделирование симметричного мультифрактального процесса // Труды 13-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Таганрог: АСФ России, 2007. С. 576−577.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. Численное моделирование симметричного квазимультифрактального процесса // Труды 12-й научной конференции по радиофизике. 7 мая 2008 г / Под ред. проф. А. В. Якимова. Н. Новгород: 2008. С. 250−252.
- Саичев А. И., Филимонов В. А. К вопросу численного моделирования процессов с долгой памятью // Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Материалы конференции / Под ред. проф. В. П. Гергеля. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. С. 385−387.
- Филимонов В. А. Расчет фрактальной размерности реализаций квазимультифрактального процесса // 4-я всероссийская молодежная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». Тезисы докладов. Саров: Изд-во «Альфа», 2010. С. 20−22.