Теория и методика обучения арифметике в гимназии

В ходе исследования были рассмотрены различные подходы к решению важных методических проблем, связанных с обучением арифметике в общеобразовательной средней школе, а также в школах и классах с углубленным изучением математики в некоторых негосударственных средних учебных заведенияхвыявлены оптимальные пути их решения применительно к современной гимназии.

Цель исследования. Разработать теорию и методику обучения арифметике в гимназии и проверить эффективность ее применения в учебном процессе.

Объект исследования. Математическое образование в отечественной гимназии.

Предмет исследования. Методические основы обучения арифметике в современной отечественной гимназии.

Гипотеза исследования. Целостная методическая система обучения арифметике в гимназии (включающая в себя преемственность, выявленные методические особенности, взаимосвязь числовой линии с алгебраической и геометрической пропедевтикой, решение текстовых задач, воспитание и развитие в процессе обучения), которая реализована в представленном учебно-методическом комплекте и интегрирует позитивный опыт прошлого и настоящего, обеспечивает качественную математическую подготовку учащихся.

Задачи исследования:

1.Осуществить научно-методический анализ обучения арифметике в отечественной школе прошлого и настоящего и выявить позитивные традиции обучения, отвечающие современным требованиям к математической подготовке учащихся гимназии.

2.Разработать целостную методическую систему обучения арифметике в гимназии (ее научную концепцию, ведущие принципы и пути реализации).

3.Подготовить учебно-методический комплект по арифметике для 5 — 6 классов, реализующий предлагаемую систему обучения арифметике в гимназии.

4.Провести экспериментальную проверку и опытное внедрение подготовленного учебно-методического комплекта по арифметике в гимназии.

Научная новизна и теоретическая значимость данного исследования состоит в разработке новой концепции системы обучения арифметике в 5 — 6 классах отечественной гимназии. Сформулированные автором принципиальные положения предлагаемой системы обучения систематическому курсу арифметики реализованы в оригинальном учебно-методическом комплекте по математике (арифметике) для 5−6 классов отечественной гимназии. Их реализация позволила существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения арифметике.

Практическая значимость исследования состоит в том, что интегративный подход к реализации позитивных традиций обучения арифметике в гимназии прошлого с учетом современных педагогических условий, позволил разработать целостную методическую систему обучения арифметике, реализовать ее в подготовленном учебно-методическом комплекте для 5−6 классов и осуществить опытное внедрение в гимназии России.

Результаты исследования могут быть использованы авторами программ и учебников математики, методистами и учителями математики, студентами и преподавателями педагогических вузов.

На защиту выносится:

1. Новая концепция методической системы обучения арифметике в 56 классах отечественной гимназии.

2.Принципиальные положения методической системы обучения арифметике, которые реализованы в учебно-методическом комплекте.

3.Учебно-методический комплект по арифметике для 5−6 классов гимназии.

Концепция исследования представлена следующими исходными положениями.

Преемственность школьного обучения математике должна обеспечиваться в достаточно широком диапазоне:

— содержанием, формами и методами обучения математике при переходе от одного этапа обучения к другому (от начального этапа к базовому);

— учетом психолого-педагогических особенностей, связанных с переходом школьников от изучения начального курса математики к изучению систематического курса арифметики;

— взаимосвязью обучения арифметике в отечественной школе прошлого и настоящего;

— осуществлением систематического и непрерывного контроля за качеством обучения;

— единой системой обучения, воспитания и развития, осуществляемой средствами учебного предмета «математика» .

2. Условия, связанные с организацией учебного процесса в гимназии, позволяют усилить теоретический уровень и практическую направленность изучения арифметики в 5 6 классах. В частности, оказывается возможным:

— реализовать органическую взаимосвязь числовой линии с алгебраической и геометрической пропедевтикой, призванную обеспечить эффективный переход к изучению систематических курсов алгебры и геометрии в основной школе;

— повысить качество формирования вычислительной культуры учащихся;

— обеспечить полноценное математическое развитие школьников, осуществляемое в процессе решения текстовых задач;

— повысить уровень внутрипредметных и межпредметных связей в процессе обучения арифметике.

3. Методика изучения арифметики в гимназии предполагает значительное усиление роли самостоятельной работы учащихся, формирование их познавательного интереса и личностную ориентацию процесса обучения. Это осуществляется через:

— систему дифференцированного обучения, реализуемую как при изложении теоретического материала курса, так и в упражнениях к нему;

— широкое использование сведений из истории математики, занимательных задач, задач «на сообразительность» и т. п.

— систему разноуровневого контроля знаний, умений и навыков учащихся с акцентом на оперативную соответствующую коррекцию методики обучения.

Данная концепция получила свое реальное отражение в представленном учебно-методическом комплекте по арифметике для 5−6 классов современной отечественной гимназии.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на заседаниях лаборатории математического образования ИОО МО РФ, а также на курсах повышения квалификации учителей средней школы при Российском институте непрерывного образования. С 1996 года по настоящее время в ряде гимназий Российской Федерации успешно проходит экспериментальную проверку и опытное внедрение учебно-методический комплект по арифметике для 5−6 классов. За этот период по данному УМК обучались около 25 тысяч учащихся и работали более 200 учителей математики г. Москвы, Московской области, г. Санкт-Петербурга, Республики Татарстан, Краснодарского и Ставропольского краев, Волгоградской, Ивановской, Иркутской, Калининградской, Калужской, Кемеровской, Ленинградской, Липецкой, Нижегородской, Новгородской, Оренбургской, Ростовской, Тверской, Тюменской областей, Ненецкого автономного округа.

Основное содержание исследования.

I. Обучение арифметике в отечественной средней школе (исторический обзор).

Математика в XVII и начале XVIII века считалась очень трудным предметом и, если вводилась в школьную практику, то в старших классах. Уже арифметическое деление считалось почти недоступным для многих. По этой причине до XVIII века ни у нас, ни на Западе мы практически не встречаем учебников по арифметике. В обращении были собрания правил для проведения различных житейских расчетов, связанных с разделом имущества, торговлей и т. п. Кроме того, встречались отдельные «ученые сочинения» — для особых любителей математических вычислений.

Можно сказать, что только в XVIII веке была поставлена задача создания учебника по математике. Арифметика Л. Ф. Магницкого была практически единственным учебником на протяжении полувека. За это время в геометрии, как учебном предмете, были сделаны большие достижения и появилось много учебников, посвященных ее изложению. По этой причине геометрия сравнительно рано выделилась в отдельную дисциплину, тогда как алгебра в течение всего века тесно сливалась с арифметикой, возможно, благодаря таким авторитетам, как И. Ньютон и Л. Эйлер, каждый из которых написал свой учебник по универсальной арифметике.

В 1766 году член Петербургской академии наук по математике С. ККотелъников (1723 — 1806 гг.) издал книгу «Первых оснований математических наук часть первая, содержащая в себе арифметику». Автор стремился «предложить и доказать все кратко, сколько возможно, и ясно, сколько дозволяет краткость» на достаточном для того времени теоретическом уровне. В книге излагалась арифметика целых и дробных чисел (последние в буквенном обозначении), разные «правила» из прежних учебников (в том числе, «одного и двух ложных положений»), степени, корни, прогрессии, ряды и логарифмы.

Таким образом, арифметика являлась основанием и ведущим стержнем всего учебного курса математики. Сказанное практически стало традиционным для преподавания математики в XVIII веке.

Академик-астроном С. Я. Румовский (1734 — 1812 гг.) в 1760 году напечатал «Сокращения математики часть первая, содержащая начальные сведения арифметики, геометрии и тригонометрии». Важно отметить, что автор уже стремился все правила снабдить доказательствами. С первых страниц вводились одновременно понятия о целых и дробных числах. Действия над дробями излагались в особой главе, которой предшествовала глава об отношениях и пропорциях. Свойствами отношений и пропорций обосновывались действия над дробями. Заметим, что действия над десятичными дробями в книге вводились без пояснений. Своеобразно вводились и отрицательные числа, как продолжение прогрессии 12, 9, 6, 3, 0 и далее: -3, -6, -9,. .

В отличие от С. Я. Румовского, профессор Н. Г. Курганов (1725 — 1796 гг.) большее значение придавал прагматической стороне обучения арифметике. Он считал, что «начинающему учиться молодому отроку, по слабости разума больше пользы принесть может употребление таких книг, в коих есть одни правила, изъясняемые примерами и утвержденные поверением». Следует отметить, что арифметика Н. Г. Курганова значительно ближе к современным учебникам. Изложение нумерации (включая римскую и славянскую), действий над целыми числами и дробями отличалось от современного лишь некоторыми способами записи.

Таким образом, книги Н. Г. Курганова послужили отправным моментом, с которого началось выделение арифметики в самостоятельный учебный предмет.

В 1764 году в Москве была напечатана книга Д. С. Аничкова (1733 -1778 гг.) «Теоретическая и практическая арифметика в пользу и употребление юношества». В ней изложение теории арифметики иллюстрировалось практическими, зачастую, историческими задачами. Арифметические действия выполнялись обычными для нас способамиприводились правила проверки действий. Раздел, посвященный арифметике целых чисел, включал в себя подробное изложение теории пропорций. Все правила и свойства доказывались в виде теорем. В книге Д. С. Аничкова также рассматривались обыкновенные и десятичные дроби, извлечение корней, логарифмы.

В отличие от арифметики «четырех действий», которая стала рассматриваться в школьном курсе, здесь рассматривались и действия третьей ступени, которые в дальнейшем перешли в школьный курс алгебры.

В 1802 году Т. Ф. Осиповский (1765 — 1832 гг.) написал «Курс математики» в трех томах. В I томе была изложена начальная арифметика. Здесь подробно излагалась арифметика именованных чиселсюда же впервые в русских учебниках, были включены непрерывные дроби.

На рубеже XIX — XX веков В. А. Латышев (1850 — 1912 гг.) -преподаватель Петербургского учительского института и издатель журнала «Русский народный учитель» предложил целостную методику обучения арифметике, в ходе изложения которой он подверг критике сложившуюся к тому времени систему преподавания арифметики. В «Руководстве к преподаванию арифметики» (1887 г.) В. А. Латышев отмечал ряд важных недостатков всех русских книг о методах преподавания арифметики, а именно, «что авторы руководств обыкновенно подробно описывают предлагаемые приемы работы, но очень мало выясняют характер всего курса и значение каждого отдельного упражнения в ряду другихчто авторы руководств мало внимания обращают на объяснение того, как добиться от учащихся хорошего понимания целого курса, а не отдельных тем курса».

Далее В. А. Латышев подчеркивал, что хороший результат преподавания — не многочисленные, а основательные знания. Он отмечал, что не следует приписывать методу преподавания всемогущество, что еще большая сила лежит в самом предмете, в ясности, стройности и законченности его теории и призывал больше внимания обращать на эту внутреннюю силу самого предмета.

Вопросам методики преподавания арифметики было уделено большое внимание на I Всероссийском съезде преподавателей математики, в частности, методист-математик Ф. А. Эрн в своем докладе «Спорные вопросы в методике арифметики» отмечал, что известный немецкий методист Симон, рассматривая план изучения десятичных дробей тотчас после ознакомления с действиями над целыми числами, «находит такой план обучения аналогичным плану обучения письму, начинающемуся со стенографии. Он приводит 7 доводов против прохождения десятичных дробей раньше обыкновенныхиз них наиболее существенные указывают на невозможность при таком порядке курса выяснить надлежащим образом сущность умножения и деления на дробь и на несоответствие такого порядка курса историческому развитию учения о дробях» .

На рубеже первого и второго десятилетий XX в. появился курс теоретической арифметики в старших классах гимназий. Естественно, что тогда же появились, и в немалом количестве, специальные учебные руководства по теоретической арифметике: это учебники А. Н. Глаголева, Н. В. Вельского, В. Стрекалова, Н. И. Билибина, А. К. Жбиковского и др.

После революций 1917 года, особенно после Октябрьской революции, школа была кардинальным образом перестроена.

Период с 1934/35 по 1945/55 годы — период стабильности. Содержание и методика обучения математике в школе были восстановлены в своих правах. Программа (1935 г.) содержала традиционные для отечественной школы вопросы арифметики.

В условиях уже восстановленного предметного преподавания и перехода на стабильные программы и учебники в 1938 г. был переиздан учебник «Арифметика» А. П. Киселева, впервые появившийся в 1884 году и занявший прочное место среди основных учебников математики для гимназий и реальных училищ.

Педагоги-математики того времени рассматривали теоретический материал как важный элемент практической подготовки учащихся в связи с преподаванием арифметики и геометрии. В 1954 году была принята новая программа по математике, основанная на принципах политехнического обучения. В этот период (1956 г.) учебник А. П. Киселева был заменен аналогичным учебником И. Н. Шевченко со сборником задач и упражнений по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева. Новые учебники практически не нарушали сложившихся традиций изложения, характерных для учебников А. П. Киселева, и тем самым обновление содержания и методики преподавания арифметики проходило эволюционным путем. Учебники, заменившие учебники А. П. Киселева, принимались учительством, они не требовали ломки учительских представлений в курсах математики.

Шестидесятые годы характеризуются различными экспериментами в педагогике, в психологии и методике. Тогда же появился учебник арифметики для 5−6 классов И. К. Андронова и В. М. Брадиса, построенный на теоретико-множественной основе.

Семидесятые годы — годы кардинальной реформы математического образования. Начались, по словами академика РАО Ю. М. Калягина, «программные потрясения». В 1968 году официально утверждена Министерством просвещения СССР новая программа по математике для 4−10 классов, предусматривавшая коренное изменение идеологии и содержания обучения всей математики.

Так, курс арифметики начальной школы был усилен за счет более ранней алгебраической и геометрической пропедевтики (изучения простейших уравнений и т. п.). Бывший курс арифметики 5−6 классов был заменен курсом математики, в котором учебный материал начинался с изучения элементов теории множеств, а традиционный арифметический материал стал играть второстепенную роль.

Десять лет «потрясений» (1969 — 1979 гг.) завершились шоком общественности от результатов этой реформы. Повсеместно было отмечено, что математические знания выпускников школ страдают формализмомнавыки вычислений, элементарных алгебраических преобразований, решения уравнений практически отсутствуют. Все действующие в то время учебники математики объявились неудовлетворительными, и было предложено МП РСФСР начать разработку новой программы по математике и новых учебников по математике, в которых позитивные традиции школьного обучения математике, характерные для отечественной школы, стали бы опять ведущими.

Были созданы, под руководством академика А. Н. Тихонова учебники математики, в частности, для 4−5 классов (ныне это 5−6 классы) под ред. Н. М. Матвеева.

Особенностью этих учебников была их тесная взаимосвязь с учебниками по математике начальной школы авт. М. И. Моро и др. и с учебниками алгебры 6−8 классов авт. Ш. А. Алимов и др. В дальнейшем эти учебники были заменены на учебники других авторов, но в целом традиционный курс арифметики был восстановлен.

На рубеже советского и постсоветского периода в 1988 году были подведены итоги Всесоюзного конкурса на создание школьных учебников.

В числе победителей этого конкурса оказались учебники математики 5−6 классов авт. Э. Р. Нурк, А. Э. Тельгмаа, (I место) — Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд (П место).

Естественно, что в ходе эволюции учебного предмета «арифметика» существенно менялось его содержание, последовательность изучения отдельных тем, расставляемые методические акценты. Так, в учебниках математики для 5−6 классов, действующих в нашей школе в течение последних десяти лет, практически отсутствует традиционное для отечественной школы решение текстовых типовых задач арифметическим способомизлишнее внимание уделяется методу уравнений и решению уравнений как таковых. До сих пор ведутся дискуссии о порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей в школе и т. д.

Между тем, эти и многие другие методические проблемы, связанные с обучением арифметике в школе, могут быть решены на основе исторического опыта работы отечественной школы, оправдавших себя традиций.

Анализ опыта преподавания арифметики в отечественной школе свидетельствует о следующих содержательно-методических традициях:

1.Школьный курс арифметики всегда считался фундаментальной составляющей всего школьного курса математики. На его основе строился систематический курс алгебры (включая и изучение элементарных функций), а также — изучение основных геометрических величин и их свойств. Кроме того, при изучении курса арифметики формировались важные навыки вычислений и алгебраических преобразований, начальной алгоритмической культуры. Более того, школьный курс алгебры, по существу, выделился из курса арифметики, который длительное время включал в себя такие вопросы, как корни, логарифмы, прогрессии и т. д.

2.В отечественной средней школе курс арифметики всегда выступал в качестве самостоятельного курса, он традиционно разделялся на два учебных курса: подготовительный (курс математики начальной школы) и систематический (курс арифметики основной школы) — предпринимались попытки усиления систематического курса за счет введения обобщающего курса теоретической арифметики в старших классах гимназии.

3.Научность изложения систематического курса арифметики в учебных пособиях традиционно отвечала требованиям доступности его изложения для учащихся данного возраста. Этому во многом способствовало рассмотрение большого числа практических и прикладных задач, задач «на сообразительность» — сведений занимательного и исторического характераконцентризм в изложении учебного материала.

4.Традиционно школьный курс арифметики характеризовался реализацией в нем историко-генетического метода при изложении учебного материала (изучение математических понятий, возникающих из потребностей практикирешение текстовых типовых арифметических задачпорядок изучения обыкновенных и десятичных дробейширокое обращение к различным средствам наглядности). А также — вниманием к одновременному формированию моторной, слуховой и зрительной памяти учащихся.

5.Школьный курс арифметики всегда имел практическую направленность. Так, для курса арифметики конца XIX — начала XX веков было характерно большое внимание к коммерческим вычислениям (простые и сложные проценты, начисления по вкладам, учеты векселей, кредиты и т. п.), что остается весьма актуальным и в настоящее время.

П. Методические основы обучения арифметике в гимназии и их реализация.

1. Любая позитивно ориентированная эволюция школы предполагает соблюдение определенной преемственности в целях, содержании, формах и методах обучения. Говоря об обучении арифметике в глобальном плане, преемственность обучения проявляется в том, что этот курс традиционно остается основой начальной математической грамотности учащихся и первой ступенью при изучении систематического школьного курса математики.

Кроме того, будучи органически связанным с традиционным курсом алгебры, курс арифметики фактически играет роль аксиоматики начального курса алгебры (практически каждое преобразование алгебраического выражения, уравнения или неравенства обосновано тем или иным законом или свойством арифметических действий). Опыт показывает, что попытки нарушить эту взаимосвязь ни к чему хорошему не приводили. Так, усиление функциональной линии школьного курса алгебры (В.Л.Гончаров «Начальная алгебра», 1955 г.), нарушающее это единство, в школе не прижилось. Более того, попытки в 60 — 70-х годах создать единый школьный курс математики (и в нашей отечественной школе, и в мировой практике) не привели к позитивному результату во многом потому, что существенно снизили роль арифметики и резко сократили объем ее содержания в этом едином курсе математики. Поэтому преемственность между школой сегодняшней и отечественной школой прошлого должна, прежде всего, проявиться в сохранении курса арифметики, как фундаментальной составляющей всего школьного курса математики.

Заметим также, что преемственность существует между различньши ступенями обучения: (между начальной школойосновной базовой школой и старшей средней школой). Если мы говорим о преемственности в обучении арифметике, то это — преемственность между I и П ступенями.

Естественно, что преемственность в обучении математике и, в частности, в обучении арифметике проявляется и в конкретнометодическом плане в самых разнообразных аспектах.

Прежде всего, она обеспечивается наличием внутрипредметных и межпредметных связей.

В обучении арифметике внутрипредметные связи определяются не только логикой построения систематического курса арифметики (связанной, например, с постепенным расширением понятия числа от натурального числа до рационального), но и преемственностью этого курса с эмпирическим курсом арифметики начальной школы, систематизацией и обобщением уже имеющихся у школьников арифметических знанийв частности, с единым стилем соответствующей терминологии и символики.

Межпредметные связи арифметики проявляются через алгебраическую и геометрическую пропедевтику, через практическую ориентацию курса арифметики, через рассмотрение в курсе арифметики основных физических величин, географических понятий (масштаб и т. п.), работу с чертежными инструментами и т. д.

Особняком стоит проблема преемственности в решении текстовых задач. Этот вопрос выходит на преемственность между нынешней школой и русской школой прошлого. Сущность его заключается в том, что современной школой утеряно обучение учащихся решению задач, так называемым, арифметическим способом (то есть способом выполнения определенным образом упорядоченных арифметических действий с необходимыми вопросами или пояснениями к ним). Это существенно ограничило возможности полноценного умственного развития школьников,.

Если в течение длительного времени содержание курса арифметики 5−6 классов обеспечивает полную преемственность с начальным курсом арифметики и должную преемственность с программой и курсом математики 7−9 классов, но тем самым обеспечивается не только должная взаимосвязь курсов математики на различных ступенях ее изучения, но и необходимая стабильность в содержании, идеях, формах и методах изложения учебного материалаего систематичность и целостность. При этом следует иметь в виду, что гимназический курс математики изначально предполагается курсом расширенным и углубленным по сравнению с соответствующим курсом математики для массовой школы.

Формирование достаточно высокой вычислительной культуры у школьников средствами арифметики и алгебры — давняя традиция отечественной школы и она, безусловно, должна быть продолжена.

Отметим теперь один из аспектов преемственности, связанных с психологией обучения арифметике. Проблема преемственности в обучении напрямую выходит на некоторые вопросы, связанные с адаптацией школьника к основной школе при его переходе из начальной школы. Как правило, этот переход бывает для детей достаточно трудным и потому каждый учитель-предметник основной школы должен учитывать особенности этого периода обучения ребенка. Этот период труден для учащихся в самых разнообразных аспектах. Первая особенность состоит в том, что ребенок переходит от обучения под руководством, практически, одного учителя к предметной системе обучения, где учителя отличаются друг от друга не только своей квалификацией, но и чисто психологическими особенностями личности. Вторая особенность проявляется при переходе учащегося от изучения эмпирически построенных курсов арифметики, русского языка и чтения и др. к изучению тех же предметов, но уже в определенной системе, в определенной логике, в определенной последовательности. И если концентризм в изучении арифметики, постоянный возврат к ранее рассмотренному на новом уровне, — это характерная черта начального обучения в целом, то в 5 классе уже начинается во многом линейная система построения учебного материала. Третья особенность связана с тем, что систематический курс арифметики призван обобщить, углубить, упорядочить ту систему знаний, умений и навыков, которая была приобретена школьниками в начальных классах.

И еще один психологический момент здесь следует отметить: нередко ребенку, пришедшему из начальной школы в 5 класс, кажется, что рассматриваемый учебный материал ему уже знаком (он знает разряды натуральных чисел, их построение до тысячи, умеет складывать, вычитать, умножать и делить и т. п.). У учащихся часто возникает иллюзия о том, что они все знают, и потому им становится скучно: вроде бы нет ничего нового на уроках. Поэтому опытный учитель уже на первых уроках арифметики в 5 классе «работает» на интерес учащихся.

Очень важно, также, обращать внимание на то, чтобы первые уроки арифметики в 5 классе по своей структуре и по объему посильного для учащихся учебного материала были близки к урокам, наиболее характерным для последней ступени начального обучения. Исходя из положения Д. Д. Галанина о том, что «процесс усвоения не логический, а психологический, то есть мы усваиваем не путем построения логического силлогизма, а путем психологического ассоциирования новых понятий с имеющимися», следует стремиться к большей наглядности в обучении, которую следует понимать по Д. Д. Галанину шире: «путем конкретного восприятия проникнуть во внутреннюю лабораторию познавательного интереса ребенка и возбудить его психические силы. Дайте ребенку переживания, заденьте его внутренний мир познания и он создаст идею, даже оформит ее словами «.

Предлагаемый нами гимназический курс арифметики (как и курс математики 5−6 классов современной массовой школы) строится с опорой на преемственность с курсом математики 4-х летней начальной школы, реализованном в учебниках М. И. Моро, С. В. Степановой, С. И. Волковой и др

Таким образом, широко понимаемая преемственность в обучении арифметике становится важнейшей методической особенностью ее преподавания.

Перейдем к характеристике других методических особенностей предлагаемой нами системы обучения арифметике в гимназии.

2. Прежде всего, отметим, что в систематическом курсе арифметики происходит неформальное обобщение и расширение того учебного материала, который изучен учащимися в начальной школе. В этом состоит важное отличие систематического курса арифметики от начального. В самом деле, выполняя, например, в младших классах арифметические действия над натуральными числами, учащиеся понимали знак равенства как «буде!'» ' или «получится». В их учебной практике идея равенства чисел еще окончательно не сформировалась. Однако, свойства числовых равенств, наряду с законами арифметических действий, которые в начальной школе явно не формулируются, а в неявном виде широко используются, практически входят важной частью в «аксиоматику школьной алгебры» (речь идет о таких свойствах равенства, как рефлексивность, обратимость, транзитивность).

Методически тонким вопросом курса арифметики является вопрос определений умножения, которых приходится различать четыре: умножение на натуральное число, на нуль, на единицу, на дробь.

Тот факт, что равенства m-1 m и т-0 = 0 верны по определению, не просто усвоить школьникам (нередко они, этого не понимая, ссылаются на то, что равенства следуют из персместительного закона умножения, в то время как соблюдение этого закона лишь мотивирует разумность сделанных определений). С определением умножения на дробь дело обстоит еще серьезнее.

Весьма непросто обстоит дело и с обобщением знаний учащихся о величинах, полученных ими в начальной школе. В разделе «Величины» учащиеся знакомятся с однородными положительными величинами и действиями над ними (сложение, вычитание, отношение), которые сводятся к сложению, вычитанию и делению соответствующих именованных чиселрешают задачи практического содержания. Кроме того, в курсе арифметики рассматриваются неоднородные величины, которые связаны между собой прямой или обратной пропорциональной зависимостью. Изучение этого раздела обобщает умения учащихся (из начальной школы) выполнять действия над некоторыми простыми или составными именованными числами. В связи с этим, учащиеся имеют возможность еще раз рассмотреть такие операции над именованными числами, как «раздробление» и «укрупнение», и расширить свои представления о метрической системе мер.

Новое в содержании учебного материала требует и изменения в способах его изложения, а значит — внимания к воспитанию у учащихся определенной культуры речи. Существенно возрастает роль слова как средства уточнения своей мысли и овладения математической терминологией.

3. Важным дидактическим требованием к современному обучению является осуществление дифференциации обучения. На уровне базового образования речь идет, практически, лишь об уровневой дифференциации. Известно, что дифференциацию обучения можно осуществить на различных уровнях. В условиях массового обучения трехуровневая дифференциация является, на наш взгляд, максимально возможной. Больший уровень дифференциации может быть осуществлен лишь в ходе частного или индивидуального обучения. Внимание к уровневой дифференциации является следующей методической особенностью нашей системы.

В программе и учебных пособиях нашего курса арифметики для 5−6 классов реализуется возможность трехуровневой дифференциации обучения школьников (от минимального — обязательного уровня математической подготовки до повышенного). Благодаря этому, удается приобщить всех учащихся к простейшим рассуждениям и дедуктивным умозаключениям и даже знакомить их со сведениями, выходящими за рамки программы, действующей в общеобразовательной школе.

Первый уровень составляет содержание курса арифметики массовой школывторой уровень выражается в некоторых дополнениях к этому курсу. Возможность изучения этого учебного материала всеми учащимися объясняется тем, что этот курс предназначен для гимназии, где учатся дети с лучшей общеобразовательной подготовкой, в частности, — умеющие достаточно свободно читать и писать. Третий уровень представлен учебным материалом и задачами повышенной трудности, рассчитанными на учащихся, проявляющих особую склонность к арифметике.

Проиллюстрируем трехуровневую дифференциацию, характерную для нашей системы обучения арифметике, на содержании и требованиях к знаниям, умениям и навыкам учащихся на одной из конкретных тем курса, Так, например, вопрос о переходе от обыкновенной дроби к десятичной и обратно (6 класс, I полугодие), представлен следующими уровневыми блоками:

I.Запись и чтение десятичных дробей. Переход от обыкновенной дроби к десятичной записи дроби и обратно (в некоторых случаях).

II.Приближенное значение числа. Обращение обыкновенной дроби в десятичную, когда в результате получается приближенное число. Округление десятичных дробей.

Ш. Понятие чистой и смешанной периодической десятичной дроби. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную. Примеры бесконечных десятичных непериодических дробей.

Изучение той же темы предполагает следующие три уровня требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся.

Уровни Зиять Уметь Выполнять.

I 1) Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные дроби. 2) Как сравниваются дробные числа. 3) В каком случае можно заменять обыкновенные дроби на равные им десятичные, а в какомдесятичные дроби следует заменял, обыкновенными при выполнении совместных действий с десятичными и обыкновенными дробями. Обращать обыкновенные дроби в десятичные и обратно. Сравнивать обыкновенную дробь с десятичной дробью. Выполнять вычисления с обыкновенными и десятичными дробями при совместных действиях с ними. Записать дробь % в виде десятичной дроби. Записать дробь 2,075 в виде обыкновенной дроби. 5 Сравнить — и 0,875- 7 — и 0,78. 9 Вычислить: 16—-12,7:10 — 8 ' ^ - 0,005−70oj: 0,125. Решить задачу: В первый день Филипп прочитал 1/3 книги, во второй день — ее половину. Какую часть книги ему осталось прочитать?

П. 1) Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные дроби, а какие — в бесконечные десятичные дроби. 2) Как выполняется округление дробных чисел с заданной точностью. Обращать обыкновенные дроби в десятичные (точно или приближенно). Округлять десятичные дроби. Представить в виде десятичных дробей: 7 .5.104 20'б' 9 ' Дроби 2,176- 0,9021- 10,1254 округлить с точностью до сотых. Вычислить: 4—:13 + 20:1—+ 0,125 -40. 3 4 Решить задачуВ первый день Лима прочитал 3/11 всех книги, во второй день — 0,625 оставшихся страниц, а в третий день — последние 42 страницы. Сколько страниц в згой книге?

Щ. 1) Какие десятичные дроби периодические (чистые и смешанные). 2) Как обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную и обратно. Обращать бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную и обратно. Представить бесконечную десягачную периодическую дробь в виде обыкновенной: а) 0,5(16) — б) 3,15(2). Сравнить числа: 11,12 и 0,91 (7). Решить задачу: Аня прочитала книгу за три дня. В первый день -2/5, а во второй день — 0,3 всей книги. В третий день Аня прочитала на 12 страниц меньше, чем в первый день. Сколько страниц было в этой книге?

4. Важнейшей методической особенностью предлагаемой системы обучения арифметике является органическая взаимосвязь числовой линии курса с алгебраической и геометрической пропедевтикой. Во многом благодаря этой взаимосвязи удается обеспечить «плавный» переход учащихся от изучения курса математики 5 — 6 классов к изучению систематических курсов алгебры и геометрии в 7 классе. Итак, ведущей содержательно-методической линией курса арифметики 5−6 классов является числовая линия. В частности, это означает, что свойства различных чисел и действий над ними — идейно-содержательный стержень курса арифметики.

Числовая линия курса имеет своей целью обобщить и систематизировать знания учащихся по арифметике натуральных чисел из начальной школы, расширить понятие числа до рационального, закрепить вычислительные навыки действий с дробными числами, а также с числами рациональными.

Известно, что о наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. Использование же прикидки результата, различных приемов проверок решения повышает вычислительную культуру учащихся.

Следует заметить, что в настоящее время происходит переориентация акцента с письменных вычислений на устные в результате широкого распространения калькуляторов во все сферы жизни и деятельности человека. Исчезает значимость сложных письменных вычислений, но не исчезает значимость знаний их алгоритмов (которые, как известно, для письменных и устных вычислений не совпадают: письменные вычисления, как правило, проводятся с младших разрядов, а устные — со старших разрядов). Однако, в обучении арифметике применение калькуляторов следует ограничить проверкой результатов выполненных письменных или устных вычислений. Использование калькуляторов не должно заменять формирование личностных вычислительных навыков у каждого школьника.

В более широком плане в систематическом курсе арифметики рассматриваются законы и свойства арифметических действий, показывается не только их универсальность на числовых множествах, но и их применение для убыстрения, облегчения вычислений, тем самым лишний раз подчеркивается значимость устных вычислений.

Особенно большое значение имеют устные вычисления для формирования сознательного усвоения учащимися законов и свойств арифметических действий. Учащимся показывается, что устные вычисления часто легко проводятся там, где письменные — гораздо дольше и труднее. Обращая внимание учащихся на возможности применения теоретических знаний в практике вычислений, можно добиться осознанных умений рациональной организации вычислений Опыт показывает, что иногда яркой иллюстрации способа вычисления достаточно, чтобы он был воспринят учащимися, остался в их памяти и в дальнейшем использовался в качестве вычислительного приема. Например, учащимся предлагается проследить за следующими быстрыми вычислениямиустановить, какие законы и свойства арифметических действий используются в каждом из нихпривести свои примеры, на которых можно показать применение того или иного приема вычисления:

1) 215 + 2694 + 385 + 306 = (215 + 385) + (2694 + 306) = 600 + 3000 = = 3000 + 600 = 3600;

2) 199 + 1598 + 375 + 425 = (200 — 1) + (1600 — 2) + (375 + 425) = =1800 + 800 — 3 = 2600 — 3 = 2597;

3) 125 • 16 • 8 • 4 = (125 • 8) • (16 • 4) — 1000 • 64 = 64 000;

4) 598 • 500 = 299 • 1000 -= 299 000;

5) 21 700: 50 = 43 400: 100 = 434- и т. п.

Практика показывает, что целенаправленная работа учителя по формированию вычислительной культуры школьников, обучающихся по УМК по арифметике, разработанному для гимназий, достигает позитивного результата. Так, в Нижегородской области (в которой по данным учебникам в период 1996;1999 гг. обучались около 4 тыс. учащихся) наблюдается следующая динамика развития вычислительных навыков учащихся:

Число учащихся (%), выполнивших безошибочно (из 260 чел.) 5 класс (1997/98 уч. год) 6 класс (1998/99 уч. год).

I полугодие П полугодие I полугодие II полугодие.

Действия с натуральными числами 50,9% 75,3% 85,8% 95,9%.

Действия с дробями Не было 75,9% 93,2% 97,3%.

Действия с десятичными дробями Не было Не было 86,0% 95,0%.

Совместные действия с дробями Не было Не было 68,8% 92,8%.

Известно, что в содержании школьного курса математики выделяется несколько сквозных идейных линий: числовая, функциональная, формально-оперативная, содержательноприкладная, вычислительнографическая, алгоритмическая и другие. Не все они одинаково воплощаются на разных этапах обучения математике, но все значимы. В систематическом курсе арифметики они реализуются на числовом, алгебраическом и геометрическом материале. Числовая линия курса арифметики не только является ведущей линией на этом этапе обучения, но и вместе с тем, она тесно взаимодействует с алгебраической и геометрической пропедевтикой.

Алгебраическая пропедевтика выражается в применении букв для записи законов и свойств арифметических действий: в знакомстве учащихся с простейшими уравнениями в конце систематического курса арифметикив использовании формул, имеющих практическое значение и т. д. Назначение алгебраической пропедевтики — тесно связать в дальнейшем начальную алгебру и арифметику, показать учащимся, что начальная алгебра — это обобщение арифметики, показать им на примере записи свойств, законов арифметических действий, что эти записи — есть обобщение определенных числовых выражений.

Связь между числовой линией курса и алгебраической пропедевтикой особенно ярко проявляется при нахождении значения числового выражения и простейших буквенных выражений, в вычислениях по формулам, при рассмотрении диаграмм, графиков и т. д.

Мы не предполагаем выработку навыков решения уравнений, сводящихся к линейным. Мы акцентируем внимание учащихся на выработке лишь таких навыков, которых им будет достаточно для решения простейших задач, решаемых методом уравнений. При этом имеется в виду познакомить учащихся с новым для них аналитическим методом решения текстовых задач, который в дальнейшем станет основным. Умеренная алгебраизация систематического курса арифметики содействует обеспечению соответствующего данному возрасту учащихся развития логического мышления, функциональных представлений, способностей к абстрактному мышлению, формированию алгоритмической культуры, а также — совершенствованию устной и письменной математической речи.

Геометрическая пропедевтики выражается в знакомстве учащихся с основными геометрическими фигурами как на плоскости, так и в пространстве, прежде всего — с прямой, лучом, отрезком, ломаной, углом, окружностью, кругом и т. д. Ее назначением является формирование у учащихся первых правильных целостных представлений о геометрических формах окружающего мира в их сравнении, сопоставлении свойств (например, «прямая», «ломаная», «кривая»). А также, — приобщение учащихся к простейшим построениям с помощью чертежных инструментовк рассуждениям на геометрическом материалеосуществление связи арифметики с практикой: вычисление площадей и объемов.

При изучении дробных чисел перед учащимися ставятся совсем новые задачи, связанные с измерением особенных геометрических величин: длины кривой линии (окружности), площади криволинейной фигуры (круга), объема круглого тела (цилиндра). Решение вычислительных задач на геометрическом материале не только оживляет изучение начал геометрии, но и позволяет тесно связать изучение геометрических образов с практикой. Ярким примером тому является изучение площадей фигур и объемов простейших тел на примерах практических задач, связанных с покраской пола, оклейкой комнаты и т. д.

В систематическом курсе арифметики с помощью геометрической пропедевтики готовится база для изучения школьниками систематического курса геометрии в 7 классе, главной характеристикой которого является его дедуктивное построение. Так, в курсе арифметики мы знакомим учащихся с некоторыми видами многоугольников, и это знакомство в систематическом курсе геометрии будет расширено, в частности, за счет изучения их свойств, доказательств самой структуры.

Кроме того, изучение многих вопросов арифметики проводится с использованием геометрической интерпретации: при сравнении чисел, введении понятия модуля числа и т. д. Также, нри сложении и вычитании рациональных чисел активно используются числовой луч, числовая прямая, что определенным образом готовит к изучению школьного курса алгебры.

Такое «проникновение» алгебраической и геометрической пропедевтики в систематический курс арифметики способствует наилучшему раскрытию содержания изучаемых вопросов и взаимосвязей между ними. К тому же, пропедевтика алгебры и геометрии «украшает» курс арифметики 5−6 классов, делает его еще более интересным для изучения, еще более практически ориентированным.

Практика показывает, что к изучению систематического курса геометрии в 7 классе учащиеся приходят хорошо подготовленными. Так, в Нижегородской области среди учащихся, которые обучаются по разработанному для гимназий УМК по арифметике, за период 1997;1999 гг. наблюдался значительный рост числа учащихся верно решивших.

Число учащихся (%), выполнивших безошибочно (из 256 чел.) 5 класс (1997/98 уч. год) 6 класс (1998/99 уч. год).

I полугодие II полугодие I полугодие П полугодие.

34,9% 58,6% 70,8% 92,0%.

5. Известно, что текстовые арифметические задачи несут разнообразные функции: связывают вычисления с практикойпобуждают, повышают, поддерживают познавательный интерес школьников к арифметикеразвивают мышление учащихсяусиливают практическую и прикладную направленность обучения.

Программа для гимназии возрождает традиционное для отечественной школы внимание к решению текстовых типовых арифметических задач, которых не стало на переходе от советской эпохи через «теоретико-множественную реформу» и которые сейчас практически отсутствуют в школьном курсе.

В гимназическом курсе арифметики роль и место текстовых задач существенно повышены. Мы считаем, что накопление опыта в решении различных задач играет большую роль в достижении целей обучения. Так как задачи решаются в основном арифметическим способом, то, естественно, более широко представлены различные типы задач, среди которых встречаются задачи и неординарные. При этом, в отличие от школы прежних лет, не предполагается разучивание учащимися типов и способов решения задач данного типа (задачи на сумму и разность, задачи на сумму и отношение т.д.), но предполагается знакомство, практически, со всеми традиционными типами задач и способами их решения. В нашем учебно-методическом комплекте реализуется разумная методическая установка: тип задачи не запоминается, способ ее решения не разучивается, но учащимся предоставляется возможность упражняться в решении задач данного типа. При этом приводятся образцы решения задач всех рассмотренных типов как простых, так и более сложных, способы оформления решения (по действиям, с постановкой вопросов к каждому действию, или с пояснениями к нимс помощью связного текста, схемы, диаграммы).

В современном звучании все эти способы решения типовых задач выступают как некие эвристические алгоритмы, например: чтобы решить задачу на пропорциональное деление, разделить число на части пропорционально данным числам, нужно найти сумму данных чисел, разделить число на эту сумму, а потом результат умножить на каждое из данных чисел, то есть, фактически говорится об алгоритме решения такого рода задач. И вот этим алгоритмам обучать учащихся надо, но не требовать заучивания «алгоритмов ради алгоритмов» .

Известно, что использование уравнений при решении текстовых задачэто работа на развитие аналитического мышления, тогда как решение задач арифметическим способом — работа на развитие синтетического (логического) мышления. В реальном процессе мышления оба эти способа рассуждений тесно переплетаются, часто неразделимы друг от друга. Но в практике обучения они нередко разводятся тем, что делается акцент на одном из них в ущерб другому.

Нормальное развитие детского мышления должно быть двусторонним. А так как, начиная с 7 класса, в соответствии с традицией и программами, превалирует метод уравнений, то на уровне 5−6 классов, с нашей точки зрения, необходимо отдавать предпочтение решению текстовых задач по действиям.

В тексте учебного пособия по арифметике предлагаются, как отмечалось ранее, разновариантные образцы записей решения задач. А также, рассматриваются задачи, решение которых проводится и арифметическим, и алгебраическим) в их сопоставлении, в частности, -задачи, решение которых арифметическим способом явно значительно проще. Например, предлагается решить задачу: мальчики пошли купаться на реку. Сначала реку переплыли 8 мальчиков, затем — еще половина оставшихся на берегу. После этого переплывших реку стало вдвое больше оставшихся на берегу. Сколько мальчиков купалось?

Арифметическим способом эта задача решается практически одним действием: 8 • 3 = 24 (чел.) Тогда как при решении алгебраическим способом (обозначив через х число всех купающихся мальчиков) придем к уравнению:

Применение же уравнений к решению текстовых задач рассматривается в нашем курсе арифметики в конце курса (там, где решить данную задачу с помощью уравнения проще, чем арифметически) и, тем самым, создается педагогический «мостик» к обучению решению задач методом уравнений в систематических курсах алгебры и геометрии.

Несмотря на то, что систематический курс арифметики закладывает более слабую аналитическую пропедевтику, опыт по решению задач у учащихся накапливается больший. Опыт показывает, что если учащийся умеет решать текстовые задачи арифметическим способом, то он гораздо лучше ориентируется и при решении задач методом уравнений.

Этот факт отмечают учителя математики гимназий, где преподавание арифметики ведется по разработанному для гимназий УМК. Так, в Нижегородской области было зафиксировано следующее повышение знаний учащихся по теме «Решение текстовых задач».

Верно решили текстовую задачу (из 250 чел.) 5 класс (1997/98 уч. год) 6 класс (1998/99 уч. год).

I полугодие П полугодие I полугодие П полугодие.

42,7% 79,9% 79,7% 93,8%.

К сожалению, практика обучения в массовой школе показывает, что ученик, переходя к изучению алгебры, теряет связь с арифметикой в области решения текстовых задач. Было бы желательно, чтобы он владел тем и другим способом и, в зависимости от поставленной задачи, думал бы, каким способом целесообразнее эту задачу решить. Но, опять же, к сожалению, в действующих учебниках алгебры, как правило, рассматриваются только те задачи, которые легче решаются алгебраически. Итак, мы рассматриваем текстовые задачи, решаемые арифметическим способом, как мощное средство развития мышления учащихся на материале арифметики. Интересующиеся учащиеся знакомятся и с некоторыми необычными способами решения задач.

Например, в учебном пособии рассматривается старинная задача, которая решается при помощи предположения:

Нерадивому ученику задачи на каникулы 22 задачи. Отец, желая все же поддержать сына, обещал ему платить за каждую решенную задачу 0,25 р., но за каждую нерешенную задачу вычитать 0,3 р. Сын трудился все каникулы, но в результате не получал от отца никаких денег. Сколько же задач решт сын?

В учебнике приводится следующее решение этой задачи.

А Оредлоложим, что сын решил все 22 задачи, тогда он получил бы от отца 0,25 • 22 = 5,5 (р.). Но по условию сын не получил ничего, так как решил не все задачи.

За каждую нерешенную задачу сын не только не получал от отца 0,25р., но и должен был отдавать отцу 0,3 р., то есть терпел убыток, равный 0,25 + 0,3 = 0,55 (р.).

Следовательно, 5,5 рубля, которые он должен был бы получить, решив все задачи, пошли на погашение этого убытка.

Таким образом, ученик не решил 5,5: 0,55 = 10 (задач).

Значит, он решил 22 — 10= 12 (задач). ^.

Кроме того, задачи используются в нашем курсе как средство усиления практической и прикладной направленности обучения. Это достигается, например, за счет фабулы задачи: задачи с геометрической фабулой, задачи с физической фабулой, задачи с практическим содержанием. К таким задачам можно также отнести задачу, которую решал Карл Гаусс в своем детстве (о сумме всех натуральных чисел от 1 до 100) или известную задачу С. А. Рачинского. Или — задачу, в которой, например, надо узнать частоту пульса у ребенказадачи — рецепты, по которым можно сварить варенье, приготовить сиропзадачи на определение через сколько времени повторится, например, встреча друзей при определенных условиях и т. п.

Особо выделим контролирующую функцию задач и упражнений. Их роль в системе контроля знаний весьма велика. Под контролем будем понимать не просто фиксирующий (то есть не только диагностирующий кошроль), но и контроль коррекционный, контроль обучающий. В процессе выполнения любых задач и упражнений школьник обучается. С другой стороны, учитель, проведя диагностик}' знаний, умений и навыков учащихся по изучаемой теме, корректирует соответствующим образом свою методику обучения. Опыт показывает, что пробелы в знаниях учащихся и недостатки в уровне овладения ими не всегда зависят от учебного материала (от его содержания, от того, как он изложен в учебнике). Нередко они зависят от методики, которую использовал учитель на урокеот времени, которое учитель уделил тому или иному вопросу на урокеот темпа изложения учебного материала и т. д. И, безусловно, правильная организация система контроля предполагает наличие определенным образом упорядоченной системы упражнений. Для системы контролирующих упражнений важнейшим ориентиром являются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при изучении конкретной темы, конкретной главы. Эти требования обычно формулируются в программе. Однако, нередко бывает так, что их существенно корректирует и детализирует сам учитель, в зависимости от математической подготовки учащихсяот того, какой уровень усвоения может быть достигнут ими сразу же после изучения конкретной темы курса.

Практика показывает, что формирование математических навыков, зафиксированных в итоговых требованиях к математической подготовке школьников, происходит не одномоментно в процессе изучения того или иного учебного материала. За этот промежуток времени достигается, может быть, лишь минимальный уровень усвоения. Далее учащиеся под руководством учителя приобретают все более прочные навыки на протяжении всего курса обучения, возвращаясь к этим вопросам, используя эти вопросы в дальнейшем изложении материала.

6. Остановимся теперь на вопросе — воспитывающем и развивающем характере обучения арифметике. В школе, наряду с обучением, всегда, естественно, ставится вопрос о воспитании и развитии учащихся. То, что обучение должно быть воспитывающим — это характерная черта русской отечественной школы. Конечно, воспитание может быть понимаемо достаточно широко. В частности, оно может быть понимаемо как воспитание идеологическое, которое непременно присутствует в школе при любой власти и в любое время. Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности, развитого воображения, математика развивает такие нравственные черты личности, как настойчивость, целеустремленность, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления, а также умение аргументированно отстаивать свои взгляды и убеждения. Знакомство с биографиями выдающихся отечественных ученых-математиков способствует воспитанию патриотизма, гордости за свое Отечество.

На практике воспитание осуществляется повседневно в процессе обучения, в процессе общения учащихся и учителя и учащихся между собой. Оно проявляется в разнообразных формах: в организации обучения, в конкретной методике построения урока, в различных способах его организации и т. д. Здесь мы не будем касаться идеологических аспектов воспитания, мы будем рассматривать воспитание, как формирование определенных качеств личности, которые должны быть присущи каждому человеку. При этом речь пойдет не о воспитании вообще, а о воспитании средствами учебного предмета «математика», в частности, — арифметики.

Каждый урок, в определенной степени, решает триединую дидактическую задачу обучения, воспитания и развития. Кропотливая, целенаправленная работа учителя по формированию общеучебных умений и навыков учащихся: развитие устной и письменной монологической речи, умение вести диалог, анализировать, аргументировать, сравнивать и обобщать вносит свой вклад в дело воспитания и развития учащихся. Таким образом, воспитание неразрывно связано с обучением. Также неразрывно с обучением связано и развитие. Порой приходится слышать, что развитие должно опережать обучение. Это не верно. Большинство отечественных психологов говорят о том, что развитие не может быть достигнуто без обучения, оно должно идти в ногу с обучениемобучение в какой-то степени всегда опережает развитие. Поэтому, если мы говорим о развитии учащихся средствами обучения арифметике, то мы должны говорить о развитии, которое получит школьник, изучая теоретический материал (знакомясь, например, со свойствами чисел), постепенно приобщаясь к обоснованию сделанных утверждений, сначалаодношаговому (почему это правильно? Потому, что .), потомдвухшаговому (почему это правильно? Потому, что ., а то правильно потому, что .).

Например:

1. 50 107 > 4280, так как первое число пятизначное, а второечетырехзначное;

2. 87 536 > 79 935, так как оба числа пятизначные и 8> 7;

Приобщаются к рассуждению учащиеся также при обосновании приемов устно выполненных вычислений.

Как уже отмечалось, естественно говорить о развитии, которое получает школьник при решении текстовых задач и преимущественноарифметическим способом — с тем, чтобы затем плавно перейти к аналитическому решению задач.

Современный этап в жизни нашей страны таков, что высокое образование не всегда является важной ступенькой к получению определенного достатка в жизни и поэтому образование часто становится не престижным для ребенка и даже для родителей ребенка. И, пожалуй, единственным мотивом, стимулирующим учение школьников, является возбуждение и развитие их познавательного интереса.

Маленьким детям и даже учащимся начальной школы он присущ изначально и его не нужно гасить, его надо поддерживать и развивать всяческими путями. На этом интересе зиждется успешность изучения любого учебного предмета, в том числе и арифметики.

Воспитание особенно успешно осуществляется в процессе обучения тогда, когда оно интересно, познавательно для детей. Этому способствуют: рассмотрение в курсе арифметики текстовых задач практического содержания, которые показывают им связь арифметики с жизньюрассмотрение занимательных задач — загадокрешение интересных в информационном плане задачтакже, — знакомство с историческими сведениями в курсе арифметики. Следует отметить, что в связи с гуманизацией образования проблема историзма в обучении математике получает новое звучание, существенно повышающее роль этого аспекта в обучении.

Так, учащиеся с интересом воспринимают еще один способ нахождения НОД двух чисел, — способ Евклидаинформацию об единицах измерения массы вещества, которые издавна были на Русиоб истории возникновения дробных чиселоб истории появления отрицательных чисел и т. д.

Итак, средствами учебного предмета «математика» учитель всегда решает триединую задачу обучения, воспитания и развития. Важнейшим средством обеспечения успешного решения этой задачи является возбуждение и развитие у учащихся познавательного интереса к предмету и к самому процессу учения. Поэтому вся методика работы учителя математики должна быть «живой», неформальной и интересной для школьника.

Предваряя изучение систематических курсов математики, обучение арифметике позволяет своевременно начать решение этих важных задач.

Ш. Краткая характеристика разработанного учебно-методического комплекта.

Учебно-методический комплект по арифметике для 5−6 классов гимназии включает в себя программу обучения и учебные пособия:

— Математика (Арифметика). Учебное пособие для 5 класса. Части I и П.

— Математика (Арифметика). Учебное пособие для 6 класса. Части I и П.

— Рабочая тетрадь для 5 класса. Части I и П.

— Рабочая тетрадь для 6 класса. Части I и П.

— Тесты по математике. 5 класс.

— Тесты тто математике. 6 класс.

— Книга для учителя «Методические рекомендации по преподаванию арифметики в 5 — 6 классах гимназии» .

1. Остановимся на краткой характеристике учебников.

В начале учебников приводится описание условных обозначений, используемых в тексте. В приложениях к учебникам помещены справочные таблицы, которые могут быть использованы на различных этапах обучения. Каждый учебник разбит на главы и параграфы.

Изложение нового учебного материала обычно начинается с рассмотрения конкретной задачи, основное предназначение котороймотивировать полезность его изучения, разъяснить смысл вводимых математических понятий. По ходу изложения теоретического материала, в тексте каждого параграфа приводятся решения типовых задач.

Текст учебника (в том числе и рассматриваемые в нем задачи), как правило, трехуровневый (основной, дополнительный (набран мелким шрифтом) и «для любознательных»).

Упражнения к параграфам учебника также разделены на три части (основные — раздел «Упражнения», «Дополнительные упражнения» и упражнения повышенной трудности, отмеченные звездочками).

В каждом параграфе имеется рубрика «Упражнения для повторения» .

В конце каждой главы даны задания для самопроверки учащихся — в рубрике «Проверь себя!» .

Кратко прокомментируем фрагмент текста учебника для 5 класса (Часть П) по теме «Простые и составные числа» .

Изложение данной темы в тексте учебника начинается с вводного упражнения. В этом упражнении учащимся предлагается установить, на какие числа делится каждое из данных натуральных чисел. В результате решения этой задачи школьники убеждаются, что у разных чисел имеется разное число делителей: есть числа, которые имеют два и только два делителячисла, которые имеют более двух делителей и, наконец, — число, которое делится только само на себя. Эти выводы используются учащимися при решении следующей мотивационной задачи:

Каким образом учитель физкультуры может построить 36 учеников класса в колонну? Какие возможны случаи построения этих же учеников в колонну, если класс поделен на две группы: 17 и 19 человек?

В ходе решения этой задачи учащиеся выявляют делители чисел 36, 17 и 19. Рассмотренные упражнения убеждают учащихся в том, что все натуральные числа можно разделить на три группы, в зависимости от числа их делителей. После этого вводятся определения простого и составного числа, подчеркивается особая роль единицы. Далее, с целью закрепления этих определений, в тексте учебника подробно разбирается решение задачи, связанной с выявлением всех простых чисел в заданном числовом промежутке.

Этим исчерпывается учебный материал, обязательный для усвоения.

В тексте параграфа в разделе «Для любознательных!» рассказывается об изобретении древнегреческого ученого Эратосфена, о «решете Эратосфена», с помощью которого можно находить простые числа. Показано, как с помощью решета Эратосфена «просеять» все натуральные числа первой сотни. Далее рассматривается другая модель «решета Эратосфена» и предлагается задача, в которой выясняется, какими цифрами не может оканчиваться запись простого многозначного числа.

Завершается текст данного параграфа историческими сведениями, где указываются имена некоторых математиков прошлого, в том числе и отечественных, интересовавшихся свойствами простых чисел и получивших интересные результатыотмечается роль ЭВМ при составлении таблиц простых чисел в настоящее время.

В числе обязательных упражнений по данной теме предлагаются следующие: установить, является ли данное число простымобосновать, пользуясь признаками делимости, что данное число составноевыявить все простые числа в определенном числовом промежутке. Кроме того, -задачи, связанные с записью простых чисел в десятичной нумерации.

Например, какими цифрами может оканчиваться запись простого числа, большего 5? Почему запись только одного простого числа оканчивается цифрой 2?

В разделе «Дополнительные упражнения» содержатся как традиционные упражнения, дополняющие обязательные, так и упражнения следующего уровня сложности.

Например, предлагается задача: установить, при каких значениях п значение выражения 11>п будет простымсоставным числом.

Среди задач повышенной трудности (Ш уровень) рассматривается, в частности, задача на доказательство: доказать, что сумма двух простых чисел, болъшга 2, — четное число.

Завершает данный параграф, как и все другие, раздел «Упражнения для повторения» .

2. Прежде, чем рассмотреть структуру рабочей тетради, отметим, что «Рабочая тетрадь» (РТ) не заменяет учебника и обычную школьную тетрадь ученика. Содержание рабочей тетради полностью соответствует содержанию учебника (так же, как и в учебнике, материал здесь располагается по главам и по параграфам). Структура данной рабочей тетради такова: учебный материал к каждому параграфу имеет четыре раздела.

I раздел (А) — задания, направленные на актуализацию знаний учащихся, необходимых для успешного изучения учебного материала данного параграфа.

II раздел (У) символизирует работу по изучению нового учебного материала, которая проводится зрителем с использованием текста учебника. При этом учащиеся работают в своих обычных тетрадях.

III раздел (3) предназначен для выполнения заданий по учебному материалу параграфа. Задания этого раздела преследуют несколько целей: дополняют упражнения учебникадублируют наиболее важные упражнения из негорасширяют систему упражнений учебникаспособствуют реализации дифференцированного подхода к учащимся, индивидуализации обучениянаправляют самостоятельную учебную деятельность учащихся.

IV раздел © предназначен для контроля и самоконтроля учащихся по основному материалу изучаемого параграфа.

Прокомментируем фрагмент «Рабочей тетради» по теме «Простые и составные числа». В соответствии с представленной ранее структурой, он содержит упражнения на актуализацию знаний учащихся, необходимых для изучения данного учебного материалаупражнения, направленные на закрепление изученного нового материалаупражнения контролирующего характера. Так, в первом разделе приводится ряд задач, связанных с напоминанием учащимся о делителях и кратных натурального числа, об основных признаках делимости натуральных чисел.

Особенности данного учебного пособия дают возможность учащимся выполнить большее число упражнений, затратив меньше учебного времени. Поэтому во втором разделе пособия кроме упражнений, дублирующих некоторые упражнения учебника, предлагаются и дополнительные упражнения, которые отличаются от упражнений у чебника как по номенклатуре, так и по форме предъявления учащимся.

Например, учащимся предлагается записать все простые числа, доя которых верно некоторое данное неравенство. Более того, здесь же даны и задачи повышенной трудности. Например, предлагается записать все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух одинаковых множителейиз трех одинаковых множителей.

Последний раздел «Рабочей тетради» для учащихся ориентирует их (а также и молодого учителя) на то, какие вопросы темы и упражнения по теме являются наиболее важными, позволяет провести самоконтроль, а учителю — осуществить оперативный, в определенной степени диагностический, контроль знаний, умений и навыков учащихся по материалу параграфа. Это упражнения, связанные с умением выписать делители данного натурального числас умением определить, является ли данное число простым или составным, используя признаки делимости натуральных чиселс умением записать простые или составные числа в указанном числовом промежутке. Здесь же даются задачи более высокого уровня сложности. Например, задачи на подбор таких двух чисел, сумма которых была бы простым числом, или их частное было бы простым числом, то есть, — задачи, отличающиеся тем. что допускают неоднозначное решение.

3. Охарактеризуем теперь часть учебно-методического комплекта, предназначенную, главным образом, для осуществления оперативного контроля знаний, умений и навыков учащихся: «Тесты» по математике для 5−6 классов.

Здесь предлагаются тематические и итоговые тестовые задания в двух вариантах. Представлены три вида тестов, в зависимости от целей контроля и формы их предъявления учащимся.

Первый вид тестовых заданий (Т-1) в основном направлен на контроль за уровнем усвоения обязательного теоретического материала. Предполагается верное заполнение учащимися «пропусков» в формулировках утверждений, определений и правил.

Второй вид тестовых заданий (Т-2) в основном направлен на контроль за уровнем понимания изученного учебного материала. Предлагается установить истинность шш ложность сформулированного утверждения.

Третий вид тестовых заданий (Т-3) в основном направлен на проверку умений учащихся применять полученные знания на практике. Учащимся предлагается выбрать из трех данных ответов (А, Б, В) верный.

После каждого варианта теста приводится таблица баллов, присвоенных каждому заданиюиз расчета 18 баллов за всю работу, исключая нестандартные задания (за которые при успешном выполнении учащиеся получают дополнительную отметку).

Примерная шкала балловой оценки работ учащихся такова: 12−14 баллов — «удовлетворительно», 15−17 баллов — «хорошо», 18 баллов -" отлично" .

Приведем фрагменты каждого вида тестовых заданий по теме «Делимость натуральных чисел» (5 класс, П полугодие), в которую входит рассмотренная ранее тема «Простые и составные числа» .

Т-1. Заполнить пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.

Вариант 1 (всего 14 заданий).

5. Натуральные числа называют составными, если они имеют.

6. Взаимно простыми числами называют числа,.

7. Наименьшим кратным любого натурального числа является.

8. Четное число, кратное 5, оканчивается цифрой.

9. На 25 и 50 делятся только те числа, в записи которых.

10. Наименьшее из чисел, кратное 3 и 125, является число.

11. Число 30 имеет всегоделителей.

12. Числа 22,15, 8, 10 являются.

Т-2. Установить, истинны иди ложны следующие утверждения.

Вариант 1 (всего 14 заданий).

1. Каждое натуральное число имеет не менее двух делителей.

2. Существуют натуральные числа, не имеющие кратных.

3. 816 336 180 кратно 3.

4. 126 делитель 6.

5. Сумма нечетных чисел всегда является четным числом.

6. Если число делится на 3, то оно делится и на 9.

7. Число 368 040 делится на 15.

8. Число, кратное 25, делится на 5.

9. Произведение простых чисел является простым числом.

Т-3. В каждом задании установить верный ответ из числа предложенных,.

Вариант 1 (всего 9 заданий).

1. Выбрать число, которое является делителем 96. Ответы: А) 192- Б) 5- В) 3.

2. Выбрать из предложенных чисел те, которые делятся на 2 и на 3.

Ответы: А) 428- Б) 9371- В) 1632.

3. Найти общее кратное чисел: 1, 3,6, 12. Ответы: А) 6- Б) 1-В) 360.

4. По скольку человек можно построить в шеренги для марша 1932 солдата?

Ответы: А) по 9 человекБ) по 4 человекаВ) по 5 человек.

4. Методические рекомендации учителю по преподаванию курса арифметики в 5 — 6 классах, подготовленные к изданию, содержат предложения по организации урока, самостоятельной работы учащихся, работы с учебником и т. д., а также — тематическое планирование учебного материала, тексты тематических и итоговых контрольных работ, решение задач повышенной трудности. Их содержание неоднократно апробировалось в текстах лекций для учителей, работающих по данному учебно-методическому комплекту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В ходе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с целями и задачами исследования получены следующие выводы и результаты:

1. На основе анализа преподавания арифметики в отечественной школе, отвечающего современным требованиям к математической подготовке учащихся, установлено:

— Школьный курс арифметики всегда считался фундаментальной составляющей всего школьного курса математики. На его основе строился систематический курс алгебры (включая и изучение элементарных функций), а также — изучение основных геометрических величин и их свойств. Кроме того, при изучении курса арифметики формировались важные навыки вычислений и алгебраических преобразований, начальной алгоритмической культуры.

— В отечественной средней школе курс арифметики всегда выступал в качестве самостоятельного курса, он традиционно разделялся на два учебных курса: подготовительный (курс математики начальной школы) и систематический (курс арифметики основной школы) — предпринимались попытки усиления систематического курса за счет введения обобщающего курса теоретической арифметики в старших классах гимназии.

— Научность изложения систематического курса арифметики в учебных пособиях традиционно отвечала требованиям доступности его изложения для учащихся данного возраста. Этому во многом способствовало рассмотрение большого числа практических и прикладных задач, задач «на сообразительность» — сведений занимательного и исторического характераконцентризм в изложении учебного материала.

— Традиционно школьный курс арифметики характеризовался реализацией в нем историко-генетического метода в изложении учебного материала (изучение математических понятий, возникающих из потребностей практикирешение текстовых типовых арифметических задачпорядок изучения обыкновенных и десятичных дробейширокое обращение к различным средствам наглядности).

2. На основе результатов теоретического исследования и апробации в практике работы школы разработана новая концепция обучения арифметике в современной отечественной гимназии, которая представлена следующими основными положениями:

— Преемственность школьного обучения математике должна обеспечиваться в достаточно широком диапазоне (по сохранению позитивных традиций обученияпо содержанию, формам и методам обученияпо осуществлению тесной взаимосвязи обучения, воспитания и развитияпо психолого-педагогическим особенностямпо системе контроля за качеством обучения).

— Условия, связанные с организацией учебного процесса в гимназии, позволяют усилить теоретический уровень и практическую направленность изучения арифметики в 5 — 6 классах (за счет органической взаимосвязи числовой линии с алгебраической и геометрической пропедевтикой, качества формирования вычислительной культуры, особого внимания к решению текстовых задач, повышения уровня внутрипредметных и межпредметных связей).

— Методика изучения арифметики в гимназии предполагает значительное усиление роли самостоятельной работы учащихся, формирование их познавательного интереса и личностную ориентацию процесса обучения (через дифференциацию обучения, усиление элементов занимательности и историзма, систему разноуровневого контроля).

3. Методическая система обучения арифметике получила свою реализацию в представленном комплекте, в состав которого входят: программа, учебные пособия (четыре книги), рабочие тетради (четыре книги), тесты (2 книги), методические рекомендации для учителя (2 книги).

4. В результате экспериментальной проверки и опытного внедрения данного учебно-методического комплекта в практику работы российских гимназий (с 1996/97 учебного года), была подтверждена гипотеза исследования о том, что целостная методическая система обучения арифметике в гимназии, которая реализована в УМК и интегрирует позитивный опыт прошлого и настоящего, обеспечивает качественную математическую подготовку учащихся.

За рамками настоящего доклада осталось обсуждение многих важных методических проблем преподавания математики в отечественной школе, решение которых примыкает к теме данного исследования. К их числу принадлежат такие проблемы, как:

— Разработка единого курса арифметики в рамках 6-ти летней начальной школы.

— Разработка объединенного курса арифметики и алгебры в рамках основной школы.

— Создание единой системы в постановке текстовых задач в начальной и основной школе.

Список работ автора по теме диссертации:

1. Преподавание систематического курса арифметики в гимназии. Монография. — М.: ВИНИТИ, 1999. — 153 с.

2. Математика. Учебное пособие для 5 класса. Часть I, — М.: Валент, 1996 -246 с. (с соавт., авт. 35%).

3. Математика. Учебное пособие для 5 класса. Часть П.- М.: Рекорд, 1997.

— 256 с. (с соавт., авт. 35%).

4. Математика. Учебное пособие для 6 класса. Часть I. — М.: Рекорд, 1997.

— 319 с. (с соавт., авт. 35%).

5. Математика. Учебное пособие для 6 класса. Часть П. — М.: Рекорд, 1997.

— 264 с. (с соавт., авт. 35%).

6. Математика. (Арифметика). Учебное пособие для 5 класса. Часть I. (Издание 2-е, исправленное и дополненное). — М.: РИНО, 2000. — 250с. (с соавт., авт. 35%).

7. Математика. (Арифметика). Учебное пособие для 5 класса. Часть П. (Издание 2-е, исправленное и дополненное). — М.: РИНО, 2000. — 260с. (с соавт., авт. 35%).

8. Математика. Рабочая тетрадь. 5 класс. Часть I. — М.: РИНО, 1998. — 183с. (с соавт., авт. 25%).

9. Математика. Рабочая тетрадь. 5 класс. Часть II. — М.: РИНО, 1998. -189с. (с соавт., авт. 25%).

10. Математика. Рабочая тетрадь. 6 класс. Часть I. — М.: РИНО, 1998. — 210с. (с соавт., авт. 25%).

11. Математика. Рабочая тетрадь. 6 класс. Часть П. — М.: РИНО, 1998. -145с. (с соавт., авт. 25%).

12. Тесты по математике. 5 класс. — М.: РИНО, 1998. — 94 с. (с соавт., авт. 50%).

13. Тесты по математике. 6 класс. — М.: РИНО, 1998. — 64 с. (с соавт., авт. 50%).

14. Геометрия. Рабочая тетрадь. 7 класс. — М.: РИНО, 2000. — 192 с.(с соавт., авт. 50%).

15. Тесты по алгебре. 7 класс. — М.'. Рекорд, 1997. — 63 с. (с соавт., авт. 50%).

16. Тесты по математике. Рабочая тетрадь. 5 класс. — М.: Айрис Пресс, Ральф, 1998. — 95 с. (с соавт., авт. 50%).

17. Тесты по математике. Рабочая тетрадь. 6 класс. — М.: Айрис Пресс, Рольф, 1998. — 79 с. (с соавт.).

18. Тесты по алгебре. Рабочая тетрадь. 7 класс. — М.: Айрис Пресс, Рольф, 1999. — 127 с. (с соавт., авт. 50%).

19. Тесты по геометрии. Рабочая тетрадь. 7 класс. — М.: Айрис Пресс, Рольф, 1999. — 90 с. (с соавт., авт. 50%).

20. Проверочные задания по математике для учащихся 5 — 8 и 10 классов средней школы, — М.: Просвещение, 1992. — 79 с. (с соавт., авт. 12%).

21. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1992. -160 с. (с соавт., авт. 30%).

22. Математический практикум как средство усиления прикладной и практической направленности обучения математике. Автореферат канд. диссертации. — М.: ОНТИ, ВНИИАЭС, 1992. -16 стр.

23. Рекомендации учителю по подготовке учащихся к пробным переводным экзаменам. — М.: Математика в школе, 1998. — № 2. — с. 21 -25.

24. Действительные числа. Тождественные преобразования выражений. Требования к математической подготовке учащихся 7−9 классов. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994. — № 2.

25. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Требования к математической подготовке учащихся 7−9 классов. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994. — № 4.

26. Элементарные функции. Требования к математической подготовке учащихся 7−9 классов. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994. — № 7.

27. Дидактические материалы по алгебре 7 класса для пооперационной текущей оперативной фронтальной проверки в базовых уровнях подготовки учащихся. (Алгебраические выражения). — М.: ИОО МО РФ, 1994.-18 с.

28. Задания для домашних работ по алгебре 7 класса и самостоятельного устранения недостатков в базовых уровнях подготовки учащихся. (Алгебраические выражения). — М.: ИОО МО РФ, 1994. — 18 с.

29. Дидактические материалы по алгебре 7 класса для пооперационной текущей оперативной фронтальной проверки в базовых уровнях подготовки учащихся. (Уравнения с одним неизвестным). — М.: ИОО МО РФ, 1994. -10 с.

30. Задания для домашних работ по алгебре 7 класса и самостоятельного устранения недостатков в базовых уровнях подготовки учащихся. (Уравнения с одним неизвестным). — М.: ИОО МО РФ, 1994. — 12 с.

31. Набор кодопозитивов и диапозитивов по курсу алгебры и начал анализа и рекомендации учителю по их использованию в учебном процессе. -М.: Софит, 1991. — 110 с. (с соавт., авт. 50%).

32. Тестовые задания по алгебре для 7 класса. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994. -№ 5, спецвыпуск. -19с. (с соавт., авт. 50%).

33. Целостная система дифференциации школьного математического образования. Тезисы доклада. — М.: Американо-Российская конференция по образованию, 1994. (с соавт., авт. 25%). Citizen Ambassador Program U.S. Russia Joint Conference on Education. Proceedings. 1994.

34. О прикладной и практической направленности обучения математике^ -М.: Народное образование, 1998. — № 12. — с.47−48. (с соавт., авт. 35%).

35. Об альтернативных учебниках по алгебре. — М.: Математика в школе, 1993. № 1. (с соавт., авт. 30%).

36. Об учебнике по алгебре и началам анализа для X — XI классов. — М.: Математика в школе, 1993. — № 4. — с. 34−38 (с соавт., авт.25%).

37. Практикум по алгебре для 8 класса. — Н. Новгород, 1992. — 124 с. (с соавт., авт. 25%).

38. Методика преподавания математики в школах и классах гуманитарного направления. — М.: Институт Сельэнергопроект, 1993. — 194 с. (с соавт., авт. 15%).

39. Задачник по математике. Экспериментальное учебное пособие по направлению «Основы сельскохозяйственного производства». — М.: НИИ школ МП РСФСР, 1991. — 119 с. (с соавт., авт. 20%).

40. Учебные задания по математике для IX — X классов. Сборник задач с прикладным и практическим содержанием. — М.: НИИ школ МП РСФСР, 1989. — 91 с. (с соавт., авт. 10%).

41. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. Часть П. — М.: ВДНХ, 1990. — 65 с. (с соавт., авт.25%).

42. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. Часть I. — М.: ВДНХ, 1990. — 65 с. (с соавт., авт. 25%).

43. Олимпиада закончена. Впереди — олимпиада (о Всероссийской физико-математической олимпиаде школьников). — Газета «Красноярский комсомолец», 1988, № 39, март.

44. Методические функции системы алгебраических упражнений и их реализация. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1999. — № 37.(с соавт., авт. 35%).

45. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса корекционно-развивающего обучения. — М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1997. № 11, 14, 18, 20, 22, 24. — с. 7−10. (с соавт., авт. 35%).

Общая характеристика исследования.3.

Основное содержание исследования.9.

I. Обучение арифметике в отечественной средней школе исторический обзор).9.

П. Методические основы обучения арифметике в гимназии и их реализация.14.

1 .Проблемы преемственности в обучении арифметике (14).

2. Методические особенности обучения арифметике (17). 3. О дифференциации обучения (18). 4. Взаимосвязь числовой линии с алгебраической и геометрической пропедевтикой (20). 5. О решении текстовых задач в систематическом курсе арифметики (24). 6. О воспитывающем и развивающем обучении в арифметике (27).

Ш. Краткая характеристика разработанного учебнометодического комплекта.29.

1. Характеристика учебников (30). 2. Характеристика «Рабочей тетради» (31). З. О тестовых заданиях (32).

Заключение

35.

Список работ автора.37.