Метод направляющих функций в задаче о периодических и ограниченных решениях

Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.

С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных, периодических, почти-периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей вещественной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.

Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов. Первую группу методов, будем ее называть методы пространства состояний, составляют: метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метода Важевского. Вторую группу, будем ее называть функционально-аналитические методы, образуют метод интегральных уравнений, вариационный метод и другие подобные им методы. Если первая группа методов имеет дело с множествами и отображениями в конечномерных пространствах, то вторая группа методов уже имеет дело с множествами и отображениями в бесконечномерных функциональных пространствах (пространствах Чебышева, Лебега или Соболева) или в абстрактных пространствах — гильбертовых или банаховых.

Метод направляющих функций служит для доказательства существования периодических или ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Этот метод в своей топологической части существенно опирается на классическое понятие степени отображения, введенное и изученное в ряде работ Кронекера JL, Брауэра JI. и Хопфа X., и связанных с нею понятиями (гомотопные отображения, индекс Пуанкаре особой точки т.п.). Этим он отличается от применяемого в указанном круге вопросов топологического метода Важевского, предложенного в 1947 г. и опирающегося на теорию ретрактов К. Борсука. Сами направляющие функции по свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются в задачах, не связанных с устойчивостью, и во многих случаях важную роль играет степень соответствующего градиентного отображения. Идея метода была высказана А. И. Перовым в 1956 году, а сам метод был опубликован М. А. Красносельским и А. И. Перовым в совместном сообщении в 1958 году.

Результаты, полученные методом направляющих функций, нашли приложения в теории дифференциальных уравнения с запаздывающим аргументом, при изучении некоторых задач автоматического регулирования и уравнений с нелинейностями гистерезисного типа. Они нашли развитие и обобщение при изучении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию топологических методов в теории нелинейных колебаний в рамках развития и уточнения метода направляющих функций.

В работе последовательно изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: стационарные, периодические, ограниченные, рекуррентные. В каждом из указанных выше случаев акцент делается на изучение решений определенного типа: стационарных, периодических, ограниченных, рекуррентных.

Первая глава посвящена изучению стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также условий существования стационарных решений у таких системы. Кроме того, приведена полная картина поведения решений стационарной системы, обладающей направляющей функцией.

Во второй главе исследуются периодические системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводится понятие неубывающей и возрастающей направляющей функции, а также неубывающей направляющей функции, удовлетворяющей условию Барбашина-Красовского. Дается полная картина поведения в целом решений системы указанного выше вида, обладающей направляющей функцией. Приводятся признаки диссипативности периодической системы.

В третьей главе исследуются ограниченные и рекуррентные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Описывается поведение решений таких систем, обладающих направляющей функцией. Указываются условия существования ограниченных и рекуррентных решений, признаки диссипативности рекуррентной системы.

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, выполнены в рамках проекта VZ-010 «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах» Минобразования РФ и CRDF (США).

1. Александров П. С. Комбинаторная топология / П. С. Александров. -Москва-Ленинград: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947. — 660 с.

2. Барабанова А. А. Векторные функции Ляпунова в задачах о нелинейных колебаниях / А. А. Барабанова, М. А. Красносельский, Ж. Мовен, И. В. Фоменко, X. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1996. -№ 3. — С. 26−34.

3. Барбашин Е. А. Об устойчивости движения в целом / Е. А. Барбашин, Н. Н. Красовский // Докл. АН СССР. 1952. — Т.86, № 3. — С. 453−456.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. М.: Наука, 1970. — 240 с.

5. Берштейн И. К вопросу о периодических решениях нелинейных систем с малым параметром / И. Берштейн // Докл. АН СССР. 1957. — Т.113, т. — с. 9-и.

6. Бобылёв Н. А. Правильные направляющие функции для уравнений на плоскости / Н. А. Бобылёв // Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж, 1968. — № 2. — С. 7−17.

7. Бобылёв Н. А. Направляющие функции и колебания в системах с сильными нелинейностями / Н. А. Бобылёв, Э. М. Мухамадиев // Тр. пятой Международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев. Киев, 1970. — Т.1. — С. 72−77.

8. Борисович Ю. Г. О приложении слабой топологии к задаче о периодических и ограниченных решениях дифференциальных уравнений / Ю. Г. Борисович // Докл. АН Азерб. ССР. 1964. — Т.20, № 10. — С.7−11.

9. Борисович Ю. Г.

Введение

в топологию / Ю. Г. Борисович, Н.М. Близ-няков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980. -296 с.

10. Борисович Ю. Г.

Введение

в теорию многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. — 101 с.

11. Боровских А. В. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / А. В. Боровских, А. И. Перов. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. — 540 с.

12. Воротников Д. А. Теория степени конечного отображения: Учеб. пособие для студентов III курса математического факультета / Д. А. Воротников, В. Г. Звягин. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2002. — 58 с.

13. Ганго Е. А. Правильные направляющие функции для дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / Е. А. Ганго, А.И. По-волоцкий // Теория функций и функциональный анализ. JL, 1975. -С. 35 — 41.

14. Демидович Б. П. Об ограниченных решениях некоторой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. П. Демидович // Мат. сборник. 1956. — Т. 40(82), вып. 1. — С. 73−94.

15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. — 472 с.

16. Евченко В. К. Об одной теореме метода направляющих функций / В. К. Евченко // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. — № 3. — С. 21−29.

17. Евченко В. К. Достаточное условие диссипативности для периодических систем / В. К. Евченко // Воронежская зимняя математическаяшкола 2004, Воронеж, 24−28 янв. 2004 г.: тез. докл. — Воронеж, 2004. — С. 43−45.

18. Евченко В. К. Достаточное условие диссипативности для почтипериодических систем/ В. К. Евченко // Воронежская зимняя математическая школа 2004, Воронеж, 24−28 янв. 2004 г.: тез. докл. — Воронеж, 2004. — С. 45−47.

19. Евченко В. К. Об одной топологической теореме метода направляющих функций / В. К. Евченко, А. И. Перов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. — № 3. — С. 46−53.

20. Евченко В. К. Оценка^{-периодического} решения систем дифференциальных уравнений второго порядка / В. К. Евченко // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. — Вып. 4. — С. 45−48.

21. Евченко В. К. Метод направляющих функций / В. К. Евченко, А.И. ПеровВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. — 36 с. — Деп. В ВИНИТИ 21.11.03, № 2021;В2003.

22. Евченко В. К. Метод направляющих функций и топологический метод Важевского / В. К. Евченко // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XV», Воронеж, 3−9 мая 2004 г.: тез. докл. — Воронеж, 2004. — С. 79.

23. Евченко В. К. О поведении решений стационарной системы нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих направляющейфункцией / В. К. Евченко // Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2004. — т. — С. 110−114.

24. Евченко В. К. Об одном критерии диссипативности / В. К. Евченко // Труды молодых ученых. Воронеж, 2004. — Вып. 1. — С. 10−15.

25. Евченко В. К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В. К. Евченко, И. Д. Коструб, А. И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2004. — Вып. 5. С. 191−202.

26. Евченко В. К. О возможности замены п направляющих функций одной направляющей функцией / В. К. Евченко // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2004. — Вып. 5. — С. 90−96.

27. Евченко В. К. Об основной топологической теореме метода направляющих функций / В. К. Евченко, А. И. Перов // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XIV», Воронеж, 3−9 мая 2003 г.: тез. докл. — Воронеж, 2003. — С. 111−112.

28. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высшая школа, 1979. 400 с.

29. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: Иностр. лит., 1958. — 476 с.

30. Константинов М. С. Применение направляющих функций к качественному исследованию некоторых систем дифференциальных уравнений: автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук / М. С. Константинов. М., 1979. — 16 с.

31. Корнев С. В. Об интегральных направляющих функциях для функционально-дифференциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Топологические методы нелинейного анализа (к 70 -летию со дня рождения проф. Ю.Г. Борисовича). Воронеж, 2000. -С. 87−96.

32. Корнев С. В. Геометрические методы анализа в теории периодических решений дифференциальных включений: дисс.. канд. физ.-мат. наук / С. В. Корнев. Воронеж, 2004. — 136 с.

33. Красносельский М. А. О применении методов нелинейного функционального анализа в некоторых задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М. А. Красносельский. // Докл. АН СССР. 1956. — Т. 111, т. — С. 283−286.

34. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // Докл. АН СССР. 1958. — Т. 123, № 2. — С. 235−238.

35. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. М.: Физ-матгиз, 1963. — 248 с.

36. Красносельский М. А. О вычислении вращения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, В. В. Стрыгин // Докл. АН СССР. 1963. — Т. 152, № 3. — С.540−543.

37. Красносельский М. А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / М. А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1963. — Т. 152, Ш. — С. 801 — 804.

38. Красносельский М. А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, В. В. Стрыгин // Докл. АН СССР. -1964. Т. 156, № 5. — С.1022 — 1024.

39. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1966. — 332 с.

40. Кущев А. Б. Метод направляющих функций в задаче о периодических решений дифференциальных уравнений: дисс.. канд. физ.-мат. наук / А. Б. Кущев. Воронеж, 1983. — 109 с.

41. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953. — 396 с.

42. Лефшиц С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления / С. Лефшиц. М.: Мир, 1967. — 184 с.

43. Миллионщиков В. М. О рекуррентных и почти-периодических предельных решениях неавтономных систем /В.М. Миллионщиков // Диф. уравнения. 1968. — Т. 4, № 9. — С. 1155−1159.

44. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. M.-JL: Гостехиздат, 1949. — 550 с.

45. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. — 560 с.

46. Перов А. И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: дисс.. канд. физ.-мат. наук / А. И. Перов. Воронеж, 1959. — 129 с.

47. Перов А. И. Периодические, почти-периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х= f (t, x) / А. И. Перов // Докл. АН СССР. 1960. — Т. 132, т. — С.531−534.

48. Перов А. И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка / А. И. Перов // Диф. уравнения. 1967. — Т. 3, № 3. — С. 524−528.

49. Перов А. И. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти-периодических колебаниях/ А. И. Перов, И. Д. Костру б / / Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. — № 1. — С. 163−171.

50. Перов А. И. Об ограниченных решениях нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А. И. Перов // Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2003. — № 1. — С. 165−168.

51. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. М.: Наука, 1964. — 272 с.

52. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс. -M.-JL: Наука, 1964. 368 с.

53. Рачинский Д. И. Вынужденные колебания в системах управления в условиях, близких к резонансу / Д. И. Рачинский // Автоматика и телемеханика. 1995. — № И. — С. 87−98.

54. Рачинский Д. И. Многолистные направляющие функции в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений: автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук / Д. И. Рачинский. М., 1996. — 18 с.

55. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рессиг, Дж. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. — 320 с.

56. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розенвассер. -М.: Наука, 1969. 576 с.

57. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: Иност. лит., 1962. — 352 с.

58. Филиппов В. В. Замечание о направляющих функциях и периодических решениях / В. В. Филиппов // Диф. уравнения. 2001. — Т. 37, т. — С. 458−469.

59. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. — 720 с.

60. Чезари J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / J1. Чезари. М.: Мир, 1964. — 480 с.

61. Avramescu С. Asymptotic behavoir of solutions of nonlinear diferential equations and generalized guiding functions / C. Avramescu // Electronic journal of analitative theory of differential equations. 2003. — № 13. — P. 1−9.

62. De Blasi F.S. Topological degree and periodic solutions of differential inclusions / F.S. de Blasi, L. Gorniewicz, G. Pianigiani // Nonlinear Analysis. 1999. — V. 37. — P. 217−245.

63. Fonda А. Направляющие функции и периодические решения функционально-дифференциальных уравнений / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. — 99, № 1. — P. 79−85.

64. Gorniewicz L. Periodic solutions of differential inclusions in Rn / L. Gorniewicz, S. Plaskacz // Bollettino U.M.I. 1993, (7), 7-A. — P. 409−420.

65. Kamenskii M. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in nonlinear analysis and applications / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin — New-York, 2001. — 232 p.

66. Krasnosel’skii A.M. Differential inequalities in problems on forced nonlinear oscillations / A.M. Krasnosel’skii, M.A. Krasnosel’skii, J. Mawhin // Nonlinear Analysis. Theory, methods and applications. 1995. — 25, 9−10. — P. 1029−1031.

67. Mawhin J. Periodic solutions of ordinary differential equations with onesided growth restrictions / J. Mawhin // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. -1978, A82, № 1−2. P. 95−106.

68. Urabe M. Galerkin’s procedure for non-linear periodic systems / M. Urabe // Arch. Rational. Mech. Anal. 1965. — Vol.20. — P. 120−152.

69. Wazewski T. Sur un principle topologique de l’examine de Failure asymptotique des equations differentielles ordinaires / T. Wazewski // Ann. Soc. Polon. Math. 1947. — 20. — P. 279−313.